1[2026江苏南京质检,中]如图,$\odot O$的半径为$r$,点$P$在$\odot O$外.求作一条直线$l$,使$l$过点$P$,交$\odot O$于点$A,B$,且满足$PB-PA=r$.
要求:①用无刻度的直尺和圆规作图;②保留作图痕迹,并简要说明你的依据.

【解】如图所示,直线l即为所求。
说明如下:
连接OA,OB.由作图知⊙O'是等边△POQ的外接圆,
∴∠PBO=∠PQO=60°.
∵OA=OB,
∴△OAB是等边三角形,
∴AB=OA=r,
∴PB-PA=AB=r.

【分析】
首先转化题目条件：点P在$\odot O$外，直线l过P交$\odot O$于A、B，三点顺序为P、A、B，因此$PB=PA+AB$，故$PB-PA=AB$，即要满足题意只需弦AB的长度为r。已知$\odot O$半径为r，弦长$AB=r$时$△ OAB$为等边三角形，可得$∠ OBA=60°$，因此问题转化为在$\odot O$上找点B使$∠ PBO=60°$。接下来通过构造等边$△ POQ$，作其外接圆，利用同弧所对圆周角相等即可得到$∠ PBO=60°$，确定点B的位置后即可作出所求直线。
【解析】
作图步骤：
1. 连接OP，分别以点P、O为圆心，OP的长为半径画弧，两弧交于点Q，得到等边$△ POQ$；
2. 作$△ POQ$的外接圆$\odot O'$；
3. 取$\odot O'$与$\odot O$的一个交点为B，作直线PB，交$\odot O$于另一点A，直线PB即为所求直线l。
依据：连接OA、OB，由作图知$\odot O'$是等边$△ POQ$的外接圆，根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ PBO=∠ PQO=60°$。又$\because OA=OB=r$，$\therefore △ OAB$是等边三角形，$\therefore AB=OA=r$。$\because PB=PA+AB$，$\therefore PB-PA=AB=r$，满足要求。
【答案】
如图所示，直线l即为所求。
【知识点】
尺规作图、等边三角形的判定与性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆相关的尺规作图综合题，解题核心是将线段差的条件转化为弦长条件，再结合圆周角定理构造特殊角确定交点位置，能有效考查几何性质的灵活运用和作图实践能力。
【难度系数】
0.6

2[2026江苏淮安调研,中]请用无刻度的直尺和圆规,作出符合下列要求的图形(不写作法,保留作图痕迹).
(1)如图(1),已知线段AB,试确定一点C,使得$∠ ACB=90°$;

(2)如图(2),已知$△ ABD$,试确定一点C,使得$∠ ACB+∠ ADB=180°$.

【解】(1)如图(1),点C即为所求.(答案不唯一)
(2)如图(2),点C即为所求.(答案不唯一)

【分析】
(1) 要使∠ACB=90°，根据“直径所对的圆周角是直角”，只需将AB作为直径作圆，圆上除A、B外的任意点都满足条件。首先作AB的垂直平分线找到AB中点O（即圆心），再以O为圆心、OA为半径作圆，在圆上任取一点C即可。
(2) 要使∠ACB+∠ADB=180°，根据“圆内接四边形的对角互补”，只需让点C在△ABD的外接圆上，且与点D分别在AB的两侧。首先作△ABD任意两边的垂直平分线，交点即为外接圆圆心O，再以O为圆心、OA为半径作外接圆，在AB另一侧的弧上任取一点C即可。
【解析】
(1) ①作线段AB的垂直平分线，与AB交于点O，O即为AB的中点；②以O为圆心，OA的长度为半径作圆；③在所作的圆上（A、B两点除外）任取一点C，连接AC、BC，由圆周角定理推论可知，直径AB所对的圆周角∠ACB=90°，点C即为所求。
(2) ①分别作线段AB和BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为O，O即为△ABD外接圆的圆心；②以O为圆心，OA的长度为半径作△ABD的外接圆；③在AB下方的圆弧上（与点D分别在AB的两侧）任取一点C，连接AC、BC，由圆内接四边形的性质可知，四边形ADBC为圆内接四边形，对角互补，即∠ACB+∠ADB=180°，点C即为所求。
【答案】
(1)如图(1),点C即为所求.(答案不唯一)
(2)如图(2),点C即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 圆内接四边形性质
3. 尺规作外接圆
【点评】
本题属于圆相关的尺规作图题，解题核心是将角的数量关系转化为点的位置特征，熟练掌握圆的基本性质即可快速找到作图思路，作图结果不唯一，满足角度要求即可。
【难度系数】
0.6

3[2026江苏南京质检,中]请用无刻度的直尺和圆规,作出符合下列要求的图形(不写作法,保留作图痕迹).
(1)如图(1),点B在$\odot A$上,过点B作$\odot A$的切线；

(2)如图(2),点D在$\odot C$外,过点D作$\odot C$的切线.

【解】(1)如图(1),BD即为所求.
(2)如图(2),DM即为所求(答案不唯一).连接CD,分别以点C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径作弧,分别交于点E,F,作直线EF交CD于点G,再以点G为圆心,CG的长度为半径作弧,交$\odot C$于点M,作直线DM,直线DM即为所求.理由如下:连接CM.$\because$EF垂直平分CD,$\therefore CG=DG=\frac{1}{2}CD$.当点M在以CD为直径的圆上时,$∠ CMD=90°$.又$\because CM$是$\odot C$的半径,$\therefore DM$是$\odot C$的切线.

【分析】
(1) 已知点B在$\odot A$上，根据圆的切线判定规则：过圆上一点的切线垂直于该点与圆心的连线，因此仅需过点B作直线AB的垂线，这条垂线就是所求的切线。
(2) 点D在$\odot C$外，切线需满足切点M与圆心C的连线垂直于DM，即$∠ CMD=90°$。根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此点M在以CD为直径的圆上，只需作出以CD为直径的圆，它与$\odot C$的交点即为切点，连接D与切点即可得到切线。
【解析】
(1) 作直线AB，过点B用尺规作直线BD垂直于AB，BD即为过点B的$\odot A$的切线。
(2) ①连接CD，分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径作弧，两弧分别交于点E、F；②作直线EF，EF为CD的垂直平分线，与CD交于点G，G就是CD的中点；③以G为圆心，CG的长度为半径作弧，交$\odot C$于点M；④作直线DM，DM即为所求的$\odot C$的切线。
理由：连接CM，由作图可知EF垂直平分CD，因此$CG=DG=\frac{1}{2}CD$，点M在以CD为直径的圆上，故$∠ CMD=90°$，即$CM⊥ DM$，又CM是$\odot C$的半径，因此DM是$\odot C$的切线。
【答案】
(1) 如图(1),BD即为所求.
(2) 如图(2),DM即为所求(答案不唯一).
【知识点】
切线的判定；尺规作图；圆周角定理
【点评】
本题是与圆相关的尺规作图题，解题核心是紧扣切线的判定条件，结合垂直平分线的作法、直径所对圆周角为直角的性质推导作图思路，作图时要注意保留作图痕迹，熟练掌握相关几何性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

4[2026江苏南京调研,较难]分别用两种方法作出三角形的外心与内心.(尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

【解】(1)三角形的外心作法1:
①如图(1),分别以点B,C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作圆弧,两弧分别交于点P,Q,过P,Q两点作直线PQ;
②分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作圆弧,两弧分别交于点M,N,过M,N两点作直线MN;
③直线PQ与直线MN相交于点O,点O即为$△ ABC$的外心.
(2)三角形的外心作法2:
①如图(2),以点A为圆心,BC长为半径作圆弧,以点C为圆心,AB长为半径作圆弧,两弧交于点M,连接BM交AC于点P;
②以点P为圆心,适当长为半径作弧,交AC于两点,以此两点为圆心,大于这两点距离一半的长为半径画弧,两弧相交于点E;③过点P,E作直线PE;④同样方法作直线QF,直线PE与直线QF相交于点O,点O即为$△ ABC$的外心.
说明:由作图可知,$AM=BC,CM=AB$,$\therefore$四边形ABCM为平行四边形,$\therefore AP=CP$,即P点为AC的中点,由作图可知,$PE⊥ AC$,$\therefore PE$是线段AC的垂直平分线,同理,QF是线段BC的垂直平分线,$\therefore$点O即为$△ ABC$的外心.
(3)三角形的内心作法1:
①如图(3),以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,BC于两点,再分别以这两点为圆心,大于这两点距离一半的长为半径画弧,两弧相交于点M,过B,M两点作射线BM;②以点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于两点,再分别以这两点为圆心,大于这两点距离一半的长为半径画弧,两弧相交于点N,过C,N两点作射线CN;③射线BM与射线CN相交于点O,点O即为$△ ABC$的内心.
(4)三角形的内心作法2:
①如图(4),以点C为圆心,画两个不同半径的弧,得到点D,E,F,G,连接DG,EF交于点M,过C,M两点作射线CM;②以点B为圆心,画两个不同半径的弧,得到点P,Q,R,H,连接PH,RQ交于点N,过B,N两点作射线BN;③射线CM与射线BN相交于点O,点O即为$△ ABC$的内心.
说明:由作图可知,$CG=CF,∠ DCG=∠ ECF,CD=CE$,$\therefore △ DCG≌△ ECF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CDG=∠ CEF$.$\because CG=CF,CD=CE$,$\therefore CD-CF=CE-CG$,即$DF=EG$.$\because ∠ CDG=∠ CEF,∠ DMF=∠ EMG,DF=EG$,$\therefore △ DMF≌△ EMG(\mathrm{AAS})$,$\therefore DM=EM$.$\because CD=CE,DM=EM,CM=CM$,$\therefore △ CDM≌△ CEM(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ DCM=∠ ECM$,即CM是$∠ ACB$的平分线.同理可证,BN是$∠ ABC$的平分线,$\therefore$点O即为$△ ABC$的内心.

【分析】
解题前首先明确两个核心概念：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；三角形的内心是三个内角角平分线的交点，到三边的距离相等。因此作图的核心逻辑为：作外心时，作出任意两条边的垂直平分线，交点即为外心；作内心时，作出任意两个内角的角平分线，交点即为内心。两类方法的区别是实现垂直平分线、角平分线的作图路径不同，第一种是教材要求掌握的常规作法，第二种是结合平行四边形、全等三角形的性质构造符合要求的线，最终都围绕核心定义完成作图。
【解析】
一、作三角形外心
外心是三角形三边垂直平分线的交点，通过两种方式作两条边的垂直平分线，交点即为外心：
方法1（常规作垂直平分线法）
1. 作BC的垂直平分线：分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}BC$的长度为半径画弧，两弧交于P、Q两点，过P、Q作直线PQ，PQ就是BC的垂直平分线；
2. 作AB的垂直平分线：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于M、N两点，过M、N作直线MN，MN就是AB的垂直平分线；
3. 直线PQ与MN的交点O就是$△ ABC$的外心。
方法2（构造中点作垂直平分线法）
1. 找AC中点：以A为圆心、BC长为半径画弧，以C为圆心、AB长为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于P。由作图可知$AM=BC、CM=AB$，因此四边形ABCM是平行四边形，可得P是AC中点；
2. 过P作AC的垂线PE：以P为圆心取适当长为半径画弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，取大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于E，过P、E作直线PE，PE就是AC的垂直平分线；
3. 同理作出BC的垂直平分线QF，PE与QF的交点O就是$△ ABC$的外心。
二、作三角形内心
内心是三角形三个内角角平分线的交点，通过两种方式作两个内角的角平分线，交点即为内心：
方法1（常规作角平分线法）
1. 作$∠ ABC$的平分线：以B为圆心取适当长为半径画弧，分别交AB、BC于两点，再分别以这两点为圆心，取大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于M，过B、M作射线BM，BM就是$∠ ABC$的平分线；
2. 作$∠ ACB$的平分线：以C为圆心取适当长为半径画弧，分别交AC、BC于两点，再分别以这两点为圆心，取大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于N，过C、N作射线CN，CN就是$∠ ACB$的平分线；
3. 射线BM与CN的交点O就是$△ ABC$的内心。
方法2（构造全等作角平分线法）
1. 作$∠ ACB$的平分线：以C为圆心画两个不同半径的弧，得到交点D、E、F、G，连接DG、EF交于M，过C、M作射线CM。通过全等三角形可证$∠ DCM=∠ ECM$，因此CM是$∠ ACB$的平分线；
2. 同理作出$∠ ABC$的平分线BN，射线CM与BN的交点O就是$△ ABC$的内心。
【答案】
(1)三角形的外心作法1:
①如图(1),分别以点B,C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$长为半径作圆弧,两弧分别交于点P,Q,过P,Q两点作直线PQ;
②分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作圆弧,两弧分别交于点M,N,过M,N两点作直线MN;
③直线PQ与直线MN相交于点O,点O即为$△ ABC$的外心.
(2)三角形的外心作法2:
①如图(2),以点A为圆心,BC长为半径作圆弧,以点C为圆心,AB长为半径作圆弧,两弧交于点M,连接BM交AC于点P;
②以点P为圆心,适当长为半径作弧,交AC于两点,以此两点为圆心,大于这两点距离一半的长为半径画弧,两弧相交于点E;③过点P,E作直线PE;④同样方法作直线QF,直线PE与直线QF相交于点O,点O即为$△ ABC$的外心.
说明:由作图可知,$AM=BC,CM=AB$,$\therefore$四边形ABCM为平行四边形,$\therefore AP=CP$,即P点为AC的中点,由作图可知,$PE⊥ AC$,$\therefore PE$是线段AC的垂直平分线,同理,QF是线段BC的垂直平分线,$\therefore$点O即为$△ ABC$的外心.
(3)三角形的内心作法1:
①如图(3),以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB,BC于两点,再分别以这两点为圆心,大于这两点距离一半的长为半径画弧,两弧相交于点M,过B,M两点作射线BM;②以点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于两点,再分别以这两点为圆心,大于这两点距离一半的长为半径画弧,两弧相交于点N,过C,N两点作射线CN;③射线BM与射线CN相交于点O,点O即为$△ ABC$的内心.
(4)三角形的内心作法2:
①如图(4),以点C为圆心,画两个不同半径的弧,得到点D,E,F,G,连接DG,EF交于点M,过C,M两点作射线CM;②以点B为圆心,画两个不同半径的弧,得到点P,Q,R,H,连接PH,RQ交于点N,过B,N两点作射线BN;③射线CM与射线BN相交于点O,点O即为$△ ABC$的内心.
说明:由作图可知,$CG=CF,∠ DCG=∠ ECF,CD=CE$,$\therefore △ DCG≌△ ECF(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ CDG=∠ CEF$.$\because CG=CF,CD=CE$,$\therefore CD-CF=CE-CG$,即$DF=EG$.$\because ∠ CDG=∠ CEF,∠ DMF=∠ EMG,DF=EG$,$\therefore △ DMF≌△ EMG(\mathrm{AAS})$,$\therefore DM=EM$.$\because CD=CE,DM=EM,CM=CM$,$\therefore △ CDM≌△ CEM(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ DCM=∠ ECM$,即CM是$∠ ACB$的平分线.同理可证,BN是$∠ ABC$的平分线,$\therefore$点O即为$△ ABC$的内心.
【知识点】
1. 尺规作图
2. 三角形外心与内心
3. 垂直平分线及角平分线性质
【点评】
本题既考查对三角形外心、内心概念的理解，也考查尺规作图的灵活运用能力，既要求掌握教材中的常规作图方法，也需要结合平行四边形、全等三角形的知识拓展作图思路，能有效锻炼动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3