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1 如图，C是$\odot O$劣弧AB上一点，$OA = 2$，$∠ ACB = 120°$，则劣弧AB的长度为（
A.$\frac{1}{3}π$
B.$\frac{2}{3}π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$\frac{8}{3}π$
（第1题图）（第2题图）
C
）A.$\frac{1}{3}π$
B.$\frac{2}{3}π$
C.$\frac{4}{3}π$
D.$\frac{8}{3}π$
（第1题图）（第2题图）
答案
【解析】如
,将$\odot O$补充完整,作劣弧 AB 所对的圆周角$∠ ADB$,使 D 在优弧 AB 上.$\because A,D,B,C$四点共圆,$∠ ACB=120^{\circ },\therefore ∠ ACB+∠ D=180^{\circ },\therefore ∠ D=60^{\circ },\therefore ∠ AOB=2∠ D=120^{\circ },\therefore$ 劣弧 AB 的长度为$\frac{120π× 2}{180}=\frac{4π}{3}$. 故选 C.解析
【分析】
要求劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径。本题已知半径$OA=2$，因此核心是求出劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$∠ AOB$的度数。题目给出$∠ ACB=120°$，C在劣弧AB上，此时可构造圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补求出优弧AB对应的圆周角，再根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”求出$∠ AOB$，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
将$\odot O$补充完整，作劣弧AB所对的圆周角$∠ ADB$，使D在优弧AB上。
$\because$A、D、B、C四点共圆，$∠ ACB=120°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ D=180°$，解得$∠ D=60°$。
根据圆周角定理可得$∠ AOB=2∠ D=120°$。
代入弧长公式，劣弧AB的长度为$\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的常考基础题，解题关键是通过构造辅助得到对应圆周角，结合圆的基本性质求出圆心角，再代入弧长公式求解，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要求劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径。本题已知半径$OA=2$，因此核心是求出劣弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$∠ AOB$的度数。题目给出$∠ ACB=120°$，C在劣弧AB上，此时可构造圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补求出优弧AB对应的圆周角，再根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”求出$∠ AOB$，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
将$\odot O$补充完整，作劣弧AB所对的圆周角$∠ ADB$，使D在优弧AB上。
$\because$A、D、B、C四点共圆，$∠ ACB=120°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ D=180°$，解得$∠ D=60°$。
根据圆周角定理可得$∠ AOB=2∠ D=120°$。
代入弧长公式，劣弧AB的长度为$\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的常考基础题，解题关键是通过构造辅助得到对应圆周角，结合圆的基本性质求出圆心角，再代入弧长公式求解，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2 新考向跨学科综合 [2026江苏无锡调研]如图，滑轮圆心为O，半径为3 cm，若在力F的作用下，滑轮上一点A绕点O顺时针旋转120°，则图中物块上升
2π
cm.（结果保留π）答案
【解析】由题意得物块上升的高度为$\frac{120× π × 3}{180}=2π(\mathrm{cm})$,故答案为$2π$.
解析
【分析】
解题时首先要明确，滑轮边缘与绳子无相对滑动，因此点A绕O旋转走过的弧长等于绳子被拉动的长度，也就是物块上升的高度。接下来只需确定旋转的圆心角和滑轮半径，代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，物块上升的高度等于点A绕点O顺时针旋转120°所经过的弧长。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），已知$n=120°$，$r=3\mathrm{cm}$，代入得：
$l=\frac{120×π×3}{180}=2π(\mathrm{cm})$
【答案】
$2π$
【知识点】
弧长计算；定滑轮的特点
【点评】
本题是跨学科综合题，结合物理中滑轮的相关知识考查弧长公式的实际应用，解题的核心是找到物块上升高度与滑轮上点转过的弧长的等量关系，侧重对知识迁移运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确，滑轮边缘与绳子无相对滑动，因此点A绕O旋转走过的弧长等于绳子被拉动的长度，也就是物块上升的高度。接下来只需确定旋转的圆心角和滑轮半径，代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，物块上升的高度等于点A绕点O顺时针旋转120°所经过的弧长。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），已知$n=120°$，$r=3\mathrm{cm}$，代入得：
$l=\frac{120×π×3}{180}=2π(\mathrm{cm})$
【答案】
$2π$
【知识点】
弧长计算；定滑轮的特点
【点评】
本题是跨学科综合题，结合物理中滑轮的相关知识考查弧长公式的实际应用，解题的核心是找到物块上升高度与滑轮上点转过的弧长的等量关系，侧重对知识迁移运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3 如图,将△ABC绕点B顺时针旋转$60°$得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.
(1)求证:$BC// AD$.
(2)若$AB=4$,$BC=1$,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.
(1)求证:$BC// AD$.
(2)若$AB=4$,$BC=1$,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.
答案
(1)【证明】依题意,得$∠ ABD = ∠ CBE = 60°,AB = BD$,$\therefore △ ABD$是等边三角形,$\therefore ∠ DAB = 60°$,$\therefore ∠ CBE = ∠ DAB$,$\therefore BC// AD$.
(2)【解】依题意,得$AB = BD = 4, BC = BE = 1$,$∠ ABD = ∠ CBE=60°$,$\therefore A,C$两点旋转所经过的路径长之和为$\frac{60π × 4}{180}+\frac{60π × 1}{180}=\frac{5π}{3}$.
(2)【解】依题意,得$AB = BD = 4, BC = BE = 1$,$∠ ABD = ∠ CBE=60°$,$\therefore A,C$两点旋转所经过的路径长之和为$\frac{60π × 4}{180}+\frac{60π × 1}{180}=\frac{5π}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证BC//AD，可通过证明同位角相等推导。首先根据旋转的性质，可得旋转角∠ABD=∠CBE=60°，且对应边AB=BD，由此可判定△ABD为等边三角形，得到∠DAB=60°，即∠CBE=∠DAB，同位角相等即可推出两直线平行。
(2) 点旋转经过的路径为圆弧，路径长即对应弧长。A、C均绕点B旋转60°，A的旋转半径为AB=4，C的旋转半径为BC=1，分别代入弧长公式计算后求和即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：依题意，由旋转的性质得∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠CBE=∠DAB，
∴BC//AD。
(2) 解：依题意，得AB=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为旋转半径），
A点旋转经过的路径长为$\frac{60π×4}{180}$，
C点旋转经过的路径长为$\frac{60π×1}{180}$，
∴两点路径长之和为$\frac{60π×4}{180}+\frac{60π×1}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
(1) BC//AD得证；
(2) $\frac{5π}{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是基础综合题，结合了图形旋转、平行线判定和弧长计算的知识点，解题核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，准确套用弧长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BC//AD，可通过证明同位角相等推导。首先根据旋转的性质，可得旋转角∠ABD=∠CBE=60°，且对应边AB=BD，由此可判定△ABD为等边三角形，得到∠DAB=60°，即∠CBE=∠DAB，同位角相等即可推出两直线平行。
(2) 点旋转经过的路径为圆弧，路径长即对应弧长。A、C均绕点B旋转60°，A的旋转半径为AB=4，C的旋转半径为BC=1，分别代入弧长公式计算后求和即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：依题意，由旋转的性质得∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠CBE=∠DAB，
∴BC//AD。
(2) 解：依题意，得AB=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，
根据弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为旋转半径），
A点旋转经过的路径长为$\frac{60π×4}{180}$，
C点旋转经过的路径长为$\frac{60π×1}{180}$，
∴两点路径长之和为$\frac{60π×4}{180}+\frac{60π×1}{180}=\frac{5π}{3}$。
【答案】
(1) BC//AD得证；
(2) $\frac{5π}{3}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是基础综合题，结合了图形旋转、平行线判定和弧长计算的知识点，解题核心是抓住旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，准确套用弧长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆$O'$直径的一个端点与半圆$O$的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（
A.$\frac{4}{3}π - \sqrt{3}$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{2}{3}π - \sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}π - \frac{\sqrt{3}}{4}$
A
）A.$\frac{4}{3}π - \sqrt{3}$
B.$\frac{4}{3}π$
C.$\frac{2}{3}π - \sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}π - \frac{\sqrt{3}}{4}$
答案
【解析】如图,连接 $OA,AO'$,作 $AB ⊥ OO'$ 于点 $B$.
$\because OA = OO' = AO' = 2$,
$\therefore △ AOO'$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ AOO' = ∠ AO'O = 60°$,
$OB = \frac{1}{2}OO' = 1, \therefore AB = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$, 则阴影部分的面积是 $S_{\mathrm{扇形}OAO'} + S_{\mathrm{扇形}O'AO} - S_{△ OO'A} = \frac{60π × 2^2}{360} + \frac{60π × 2^2}{360} - \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$,故选 A.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，阴影是两个半圆的重叠区域，属于不规则图形，需转化为规则图形的面积和差求解。已知两半圆半径均为2，且半圆$O'$的直径端点在半圆$O$的圆心$O$处，因此$OO'$长度等于半径2。我们可以先连接$OA$、$AO'$，作$AB⊥ OO'$于点$B$，先判断$△ AOO'$的形状得到扇形圆心角的度数，再用两个圆心角为$60°$的扇形面积之和减去重复计算的等边三角形的面积，即可得到阴影部分面积。
【解析】
如图，连接 $OA,AO'$，作 $AB ⊥ OO'$ 于点 $B$。
$\because OA = OO' = AO' = 2$，
$\therefore △ AOO'$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ AOO' = ∠ AO'O = 60°$，
$OB = \frac{1}{2}OO' = 1$，$\therefore AB = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
则阴影部分的面积是：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAO'} + S_{\mathrm{扇形}O'AO} - S_{△ OO'A}$
$= \frac{60π × 2^2}{360} + \frac{60π × 2^2}{360} - \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3}$
$= \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题重点考察不规则图形面积的求解方法，解题的核心是通过添加辅助线，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差运算，要求学生熟练掌握扇形面积公式和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，阴影是两个半圆的重叠区域，属于不规则图形，需转化为规则图形的面积和差求解。已知两半圆半径均为2，且半圆$O'$的直径端点在半圆$O$的圆心$O$处，因此$OO'$长度等于半径2。我们可以先连接$OA$、$AO'$，作$AB⊥ OO'$于点$B$，先判断$△ AOO'$的形状得到扇形圆心角的度数，再用两个圆心角为$60°$的扇形面积之和减去重复计算的等边三角形的面积，即可得到阴影部分面积。
【解析】
如图，连接 $OA,AO'$，作 $AB ⊥ OO'$ 于点 $B$。
$\because OA = OO' = AO' = 2$，
$\therefore △ AOO'$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ AOO' = ∠ AO'O = 60°$，
$OB = \frac{1}{2}OO' = 1$，$\therefore AB = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，
则阴影部分的面积是：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAO'} + S_{\mathrm{扇形}O'AO} - S_{△ OO'A}$
$= \frac{60π × 2^2}{360} + \frac{60π × 2^2}{360} - \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3}$
$= \frac{4π}{3} - \sqrt{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形性质，割补法求面积
【点评】
本题重点考察不规则图形面积的求解方法，解题的核心是通过添加辅助线，将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差运算，要求学生熟练掌握扇形面积公式和等边三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6
5[2026江苏连云港质检]如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，$O,A,B,C,D$是网格线交点，如果弧$AB$与弧$CD$所在圆的圆心都为点$O$，那么阴影部分的面积为（
A.$π$
B.$2π$
C.$\dfrac{3}{2}π -2$
D.$2π -2$
C
）A.$π$
B.$2π$
C.$\dfrac{3}{2}π -2$
D.$2π -2$
答案
【解析】如图, $\because AC = AO = 2, ∠ CAO = 90°$,
$\therefore ∠ AOC = ∠ ACO = 45°, OC = 2\sqrt{2}, \therefore ∠ COB = 45°$,
同理$∠ BOD = 45°, \therefore$ 阴影部分的面积 $S=(S_{\mathrm{扇形}COE}-S_{\mathrm{扇形}FOB})+(S_{\mathrm{扇形}EOD}-S_{△ OBD})=[\frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{45π × 2^2}{360}]+[\frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× 2]=π-\frac{1}{2}π+π-2=\frac{3π}{2}-2$,故选 C.
解析
【分析】
求网格中不规则阴影部分的面积，通常采用割补法，将其转化为规则图形（扇形、三角形）的面积和差进行计算：第一步先确定两个同心圆的半径，由网格边长为1，可得出小圆半径OA=OB=2，用勾股定理求出大圆半径OC=OD=2√2；第二步求相关圆心角的度数，由正方形的内角性质可得∠AOC=∠BOD=45°；第三步将阴影面积拆分为两部分：一部分是圆心角为45°的大扇形与同圆心角小扇形的面积差，另一部分是圆心角为45°的大扇形与△OBD的面积差，分别计算两部分再相加即可得到结果。
【解析】
由网格性质可知，$AC = AO = 2$，$∠CAO = 90°$，
$\therefore ∠AOC = ∠ACO = 45°$，由勾股定理得$OC = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，可得$∠COB = 45°$，
同理可得$∠BOD = 45°$，
阴影部分的面积可拆分为两部分的和：
$S=(S_{\mathrm{扇形}COE}-S_{\mathrm{扇形}FOB})+(S_{\mathrm{扇形}EOD}-S_{△ OBD})$
代入扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπr^2}{360}$、三角形面积公式$S_{△}=\frac{1}{2}ah$计算：
$=[\frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{45π × 2^2}{360}]+[\frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× 2]$
$=π-\frac{1}{2}π+π-2$
$=\frac{3π}{2}-2$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，勾股定理
【点评】
本题是扇形面积相关的典型考题，核心是掌握不规则图形面积的转化思路，将阴影部分拆分为易计算的规则图形面积的和差，解题时要注意准确识别扇形的圆心角和半径，保证计算的准确性。
【难度系数】
0.7
求网格中不规则阴影部分的面积，通常采用割补法，将其转化为规则图形（扇形、三角形）的面积和差进行计算：第一步先确定两个同心圆的半径，由网格边长为1，可得出小圆半径OA=OB=2，用勾股定理求出大圆半径OC=OD=2√2；第二步求相关圆心角的度数，由正方形的内角性质可得∠AOC=∠BOD=45°；第三步将阴影面积拆分为两部分：一部分是圆心角为45°的大扇形与同圆心角小扇形的面积差，另一部分是圆心角为45°的大扇形与△OBD的面积差，分别计算两部分再相加即可得到结果。
【解析】
由网格性质可知，$AC = AO = 2$，$∠CAO = 90°$，
$\therefore ∠AOC = ∠ACO = 45°$，由勾股定理得$OC = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，可得$∠COB = 45°$，
同理可得$∠BOD = 45°$，
阴影部分的面积可拆分为两部分的和：
$S=(S_{\mathrm{扇形}COE}-S_{\mathrm{扇形}FOB})+(S_{\mathrm{扇形}EOD}-S_{△ OBD})$
代入扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπr^2}{360}$、三角形面积公式$S_{△}=\frac{1}{2}ah$计算：
$=[\frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{45π × 2^2}{360}]+[\frac{45π × (2\sqrt{2})^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× 2]$
$=π-\frac{1}{2}π+π-2$
$=\frac{3π}{2}-2$
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，勾股定理
【点评】
本题是扇形面积相关的典型考题，核心是掌握不规则图形面积的转化思路，将阴影部分拆分为易计算的规则图形面积的和差，解题时要注意准确识别扇形的圆心角和半径，保证计算的准确性。
【难度系数】
0.7
6 如图,四边形OABC的三个顶点A,B,C均在$\odot O$上,对角线AC,OB交于点D.若$\odot O$的半径是$2\sqrt{3}$,且四边形OABC是菱形,则图中阴影部分的面积是
2π
.答案
【解析】$\because$ 四边形 $OABC$ 是菱形, $\therefore BC = OC = OB$, $S_{△ ADB}=S_{△ OCD}$, $\therefore △ COB$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ COB = 60°$, $\therefore$ 题图中 $S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}COB}=\frac{60π × (2\sqrt{3})^2}{360}=2π$. 故答案为 $2π$.
$\therefore ∠ COB = 60°$, $\therefore$ 题图中 $S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}COB}=\frac{60π × (2\sqrt{3})^2}{360}=2π$. 故答案为 $2π$.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，直接计算不规则阴影的面积较复杂，可利用图形性质转化求解：首先根据菱形四边相等的性质，结合圆的半径处处相等，可推出△COB为等边三角形，得到圆心角∠COB的度数；再根据菱形的性质，得出△ADB和△OCD的面积相等，即可将阴影部分的面积转化为规则的扇形COB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ $BC = OC$，且$S_{△ ADB}=S_{△ OCD}$，
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，$\odot O$半径为$2\sqrt{3}$，
∴ $OB = OC = 2\sqrt{3}$，
∴ $BC = OC = OB$，即$△ COB$是等边三角形，
∴ $∠ COB = 60°$，
∴ 阴影部分的面积等于扇形COB的面积，
$S_{\mathrm{扇形}COB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π × (2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过菱形的性质将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积，体现了数学中的转化思想，需要熟练掌握菱形性质和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，直接计算不规则阴影的面积较复杂，可利用图形性质转化求解：首先根据菱形四边相等的性质，结合圆的半径处处相等，可推出△COB为等边三角形，得到圆心角∠COB的度数；再根据菱形的性质，得出△ADB和△OCD的面积相等，即可将阴影部分的面积转化为规则的扇形COB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ $BC = OC$，且$S_{△ ADB}=S_{△ OCD}$，
又
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径，$\odot O$半径为$2\sqrt{3}$，
∴ $OB = OC = 2\sqrt{3}$，
∴ $BC = OC = OB$，即$△ COB$是等边三角形，
∴ $∠ COB = 60°$，
∴ 阴影部分的面积等于扇形COB的面积，
$S_{\mathrm{扇形}COB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π × (2\sqrt{3})^2}{360}=\frac{60π×12}{360}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定；扇形面积计算
【点评】
本题重点考查不规则图形面积的求解，解题关键是通过菱形的性质将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积，体现了数学中的转化思想，需要熟练掌握菱形性质和扇形面积公式。
【难度系数】
0.6
7 如图,点C,D把半圆AB三等分.若阴影部分的面积是$\frac{3}{2}π$,则半圆的半径OA的长为
刷易错 小心有坑~
3
.刷易错 小心有坑~
答案
【解析】连接 $OC,OD,CD$, 则 $∠ AOC = ∠ COD = ∠ BOD = 60°$. 又 $\because OB = OD = OC, \therefore △ OCD$ 和 $△ OBD$ 均为等边三角形, $\therefore ∠ ODC = ∠ BOD = 60°$,
$\therefore AB// CD, \therefore S_{△ BCD}=S_{△ OCD}, \therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OCD}$. 设半圆的半径为 $r, \therefore \frac{60π · r^2}{360}=\frac{3π}{2}$, 解得 $r=3, \therefore$ 半圆的半径 $OA$ 的长为 3. 故答案为 3.
$\therefore AB// CD, \therefore S_{△ BCD}=S_{△ OCD}, \therefore S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OCD}$. 设半圆的半径为 $r, \therefore \frac{60π · r^2}{360}=\frac{3π}{2}$, 解得 $r=3, \therefore$ 半圆的半径 $OA$ 的长为 3. 故答案为 3.
解析
【分析】
观察到阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需用转化思想将其转化为规则图形求解。首先由C、D三等分半圆可得三段弧对应的圆心角均为60°，连接OC、OD、CD后可证CD与AB平行，根据同底等高的三角形面积相等，可推出阴影部分面积等于扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式即可求出半径。
【解析】
连接$OC,OD,CD$。
∵点C、D把半圆AB三等分，
∴$∠ AOC = ∠ COD = ∠ BOD = 180°÷3=60°$。
又
∵$OB = OD = OC$（均为半圆的半径），
∴$△ OCD$和$△ OBD$均为等边三角形，
∴$∠ ODC = ∠ BOD = 60°$，
∴$CD// AB$（内错角相等，两直线平行），
∴$△ BCD$和$△ OCD$同底等高，$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，因此$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OCD}$。
设半圆的半径为$r$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入已知条件得：
$\frac{60π · r^2}{360}=\frac{3π}{2}$
化简得$\frac{r^2}{6}=\frac{3}{2}$，解得$r^2=9$，
∵$r＞0$，
∴$r=3$。
【答案】
3
【知识点】
扇形面积计算，同底等高三角形面积相等，平行线的判定
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心是通过作辅助线将阴影面积转化为规则的扇形面积，体现了转化思想在几何计算中的应用，解题关键是发现两条平行线，得到等面积的三角形完成转化。
【难度系数】
0.6
观察到阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需用转化思想将其转化为规则图形求解。首先由C、D三等分半圆可得三段弧对应的圆心角均为60°，连接OC、OD、CD后可证CD与AB平行，根据同底等高的三角形面积相等，可推出阴影部分面积等于扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式即可求出半径。
【解析】
连接$OC,OD,CD$。
∵点C、D把半圆AB三等分，
∴$∠ AOC = ∠ COD = ∠ BOD = 180°÷3=60°$。
又
∵$OB = OD = OC$（均为半圆的半径），
∴$△ OCD$和$△ OBD$均为等边三角形，
∴$∠ ODC = ∠ BOD = 60°$，
∴$CD// AB$（内错角相等，两直线平行），
∴$△ BCD$和$△ OCD$同底等高，$S_{△ BCD}=S_{△ OCD}$，因此$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}OCD}$。
设半圆的半径为$r$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入已知条件得：
$\frac{60π · r^2}{360}=\frac{3π}{2}$
化简得$\frac{r^2}{6}=\frac{3}{2}$，解得$r^2=9$，
∵$r＞0$，
∴$r=3$。
【答案】
3
【知识点】
扇形面积计算，同底等高三角形面积相等，平行线的判定
【点评】
本题考查不规则图形的面积求解，核心是通过作辅助线将阴影面积转化为规则的扇形面积，体现了转化思想在几何计算中的应用，解题关键是发现两条平行线，得到等面积的三角形完成转化。
【难度系数】
0.6
8 在半径为1的$\odot O$中，弦$AB,AC$的长分别为$\sqrt{2},\sqrt{3}$，则$∠ BAC$所对的弧的长为（
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{5π}{12}$
C.$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{4}$
D.$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$
D
）A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{5π}{12}$
C.$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{4}$
D.$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$
答案
【解析】当弦 $AB,AC$ 在圆心的异侧时,如图(1),过 $O$ 作 $OD ⊥ AB$ 于点 $D,OE ⊥ AC$ 于点 $E$,连接 $OA$. $\because AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},OA=1, \therefore AD=\frac{\sqrt{2}}{2},AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore OD=\frac{\sqrt{2}}{2},OE=\frac{1}{2}, \therefore AD=OD, \therefore ∠ AOD=∠ OAD=45°$. 取 $OA$ 中点 $F$,连接 $EF$,易得 $EF=OF=OE=AF, \therefore △ OEF$ 是等边三角形, $\therefore ∠ EOF=60°$
$\therefore ∠ OAC=30°, \therefore ∠ BAC=∠ OAD+∠ OAC=45°+30°=75°, \therefore ∠ BAC$ 所对的弧的长为 $\frac{150 · π · 1}{180}=\frac{5π}{6}$.
当弦 $AB,AC$ 在圆心的同侧时,如图(2),连接 $OA$ 作 $OD ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $D,OE ⊥ AC$ 交 $AC$ 于 $E$. 易知 $∠ OAD=∠ AOD=45°$. 取 $OA$ 中点 $F$,连接 $EF$,易得 $EF=OF=OE=AF, \therefore △ EOF$ 是等边三角形
$\therefore ∠ EOF=60°, \therefore ∠ OAC=30°, \therefore ∠ BAC=∠ OAB-∠ OAC=45°-30°=15°, \therefore ∠ BAC$ 所对的弧的长为 $\frac{30 · π · 1}{180}=\frac{π}{6}$. 故选 D.
解析
【分析】
本题未给出明确图形，需先分类讨论弦AB、AC与圆心的位置关系：两条弦可在圆心同侧，也可在圆心异侧。解题时先利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理或特殊直角三角形的性质求出∠OAB、∠OAC的度数，进而得到∠BAC的度数；再根据圆周角定理得到∠BAC所对弧的圆心角度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当弦$AB,AC$在圆心的异侧时，如图(1)，过 $O$ 作 $OD ⊥ AB$ 于点 $D,OE ⊥ AC$ 于点 $E$，连接 $OA$。
$\because AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},OA=1$，由垂径定理得$AD=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},AE=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由勾股定理计算得$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\frac{\sqrt{2}}{2},OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AD=OD$，$Rt△ ADO$为等腰直角三角形，$\therefore ∠ AOD=∠ OAD=45°$。
取 $OA$ 中点 $F$，连接 $EF$，在$Rt△ AEO$中，$EF$是斜边$OA$的中线，$\therefore EF=OF=AF=\frac{1}{2}$，又$OE=\frac{1}{2}$，即$EF=OF=OE$，$\therefore △ OEF$ 是等边三角形， $\therefore ∠ EOF=60°$，$\therefore ∠ OAC=30°$。
$\therefore ∠ BAC=∠ OAD+∠ OAC=45°+30°=75°$，$∠ BAC$ 所对的弧的圆心角为$2×75°=150°$，弧长为 $\frac{150 · π · 1}{180}=\frac{5π}{6}$。
② 当弦 $AB,AC$ 在圆心的同侧时，如图(2)，连接 $OA$ 作 $OD ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $D,OE ⊥ AC$ 交 $AC$ 于 $E$。
同理可得 $∠ OAD=45°$，$∠ OAC=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OAB-∠ OAC=45°-30°=15°$，$∠ BAC$ 所对的弧的圆心角为$2×15°=30°$，弧长为 $\frac{30 · π · 1}{180}=\frac{π}{6}$。
综上，$∠ BAC$ 所对的弧的长为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于无图多解类题型，核心考查分类讨论思想，易错点是忽略两条弦与圆心的两种位置关系导致漏解。解题时结合垂径定理将弦长转化为直角三角形的边长，利用特殊三角形的性质求角度是解题关键。
【难度系数】
0.6
本题未给出明确图形，需先分类讨论弦AB、AC与圆心的位置关系：两条弦可在圆心同侧，也可在圆心异侧。解题时先利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理或特殊直角三角形的性质求出∠OAB、∠OAC的度数，进而得到∠BAC的度数；再根据圆周角定理得到∠BAC所对弧的圆心角度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当弦$AB,AC$在圆心的异侧时，如图(1)，过 $O$ 作 $OD ⊥ AB$ 于点 $D,OE ⊥ AC$ 于点 $E$，连接 $OA$。
$\because AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3},OA=1$，由垂径定理得$AD=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},AE=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
由勾股定理计算得$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\frac{\sqrt{2}}{2},OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AD=OD$，$Rt△ ADO$为等腰直角三角形，$\therefore ∠ AOD=∠ OAD=45°$。
取 $OA$ 中点 $F$，连接 $EF$，在$Rt△ AEO$中，$EF$是斜边$OA$的中线，$\therefore EF=OF=AF=\frac{1}{2}$，又$OE=\frac{1}{2}$，即$EF=OF=OE$，$\therefore △ OEF$ 是等边三角形， $\therefore ∠ EOF=60°$，$\therefore ∠ OAC=30°$。
$\therefore ∠ BAC=∠ OAD+∠ OAC=45°+30°=75°$，$∠ BAC$ 所对的弧的圆心角为$2×75°=150°$，弧长为 $\frac{150 · π · 1}{180}=\frac{5π}{6}$。
② 当弦 $AB,AC$ 在圆心的同侧时，如图(2)，连接 $OA$ 作 $OD ⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $D,OE ⊥ AC$ 交 $AC$ 于 $E$。
同理可得 $∠ OAD=45°$，$∠ OAC=30°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OAB-∠ OAC=45°-30°=15°$，$∠ BAC$ 所对的弧的圆心角为$2×15°=30°$，弧长为 $\frac{30 · π · 1}{180}=\frac{π}{6}$。
综上，$∠ BAC$ 所对的弧的长为$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题属于无图多解类题型，核心考查分类讨论思想，易错点是忽略两条弦与圆心的两种位置关系导致漏解。解题时结合垂径定理将弦长转化为直角三角形的边长，利用特殊三角形的性质求角度是解题关键。
【难度系数】
0.6
