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1[中]如图,将扇形AOB翻折,使点A与圆心O重合,展开后折痕所在直线l与$\overset{\frown}{AB}$交于点C,连接AC.若OA=2,则图中阴影部分的面积是（
A.$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
C.$\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{π}{3}$
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.$\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
C.$\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{π}{3}$
（第1题图）
（第2题图）
答案
【解析】连接 $CO$, 设直线 $l$ 与 $AO$ 交于点 $D$, 如图所示. $\because$ 扇形 $AOB$ 中, $OA=2, \therefore OC=OA=2$. $\because$ 翻折后点 $A$ 与圆心 $O$ 重合, $\therefore AD=OD=1, CD ⊥ AO$
$\therefore OC=AC, \therefore OA=OC=AC=2, \therefore △ OAC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ COD=60°. \because CD ⊥ OA, \therefore CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}, \therefore$ 阴影部分的面积为 $\frac{60π × 2^2}{360}-\frac{2× \sqrt{3}}{2}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$,故选 B.
解析
【分析】
解题时首先添加辅助线：连接$CO$，设折痕$l$与$AO$交于点$D$。第一步利用翻折的性质：翻折后对应点的连线被折痕垂直平分，可得$CD$垂直平分$AO$，因此$AC=OC$，结合扇形半径相等的特点，可知$OA=OC=AC$，即可判定$△ OAC$为等边三角形，得到$∠ AOC=60°$。第二步观察阴影部分为不规则图形，利用割补法可知其面积等于扇形$OAC$的面积减去等边三角形$OAC$的面积，分别计算两个规则图形的面积作差即可得到结果。
【解析】
连接 $CO$, 设直线 $l$ 与 $AO$ 交于点 $D$, 如图所示.
$\because$ 扇形 $AOB$ 中, $OA=2, \therefore OC=OA=2$.
$\because$ 翻折后点 $A$ 与圆心 $O$ 重合, $\therefore AD=OD=1, CD ⊥ AO$
$\therefore AC=OC, \therefore OA=OC=AC=2, \therefore △ OAC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ AOC=60°$.
$\because CD ⊥ OA, \therefore CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $S_{扇形OAC}-S_{△ OAC}=\frac{60π × 2^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× \sqrt{3}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$,
故选 B.
【答案】
B
【知识点】
翻折的性质，等边三角形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是利用翻折的性质推导得出$△ OAC$为等边三角形，再通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形与三角形的面积差求解，能有效考查对几何变换和面积公式的掌握情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先添加辅助线：连接$CO$，设折痕$l$与$AO$交于点$D$。第一步利用翻折的性质：翻折后对应点的连线被折痕垂直平分，可得$CD$垂直平分$AO$，因此$AC=OC$，结合扇形半径相等的特点，可知$OA=OC=AC$，即可判定$△ OAC$为等边三角形，得到$∠ AOC=60°$。第二步观察阴影部分为不规则图形，利用割补法可知其面积等于扇形$OAC$的面积减去等边三角形$OAC$的面积，分别计算两个规则图形的面积作差即可得到结果。
【解析】
连接 $CO$, 设直线 $l$ 与 $AO$ 交于点 $D$, 如图所示.
$\because$ 扇形 $AOB$ 中, $OA=2, \therefore OC=OA=2$.
$\because$ 翻折后点 $A$ 与圆心 $O$ 重合, $\therefore AD=OD=1, CD ⊥ AO$
$\therefore AC=OC, \therefore OA=OC=AC=2, \therefore △ OAC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ AOC=60°$.
$\because CD ⊥ OA, \therefore CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $S_{扇形OAC}-S_{△ OAC}=\frac{60π × 2^2}{360}-\frac{1}{2}× 2× \sqrt{3}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$,
故选 B.
【答案】
B
【知识点】
翻折的性质，等边三角形的判定，扇形面积计算
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是利用翻折的性质推导得出$△ OAC$为等边三角形，再通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则的扇形与三角形的面积差求解，能有效考查对几何变换和面积公式的掌握情况。
【难度系数】
0.6
2 [中]如图,在$3×3$的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点$△ ABC$外接圆的一部分,小正方形边长为1,则图中阴影部分的面积为 (
A.$\frac{5}{2}π - \frac{7}{4}$
B.$\frac{5}{2}π - \frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{4}π - \frac{7}{4}$
D.$\frac{5}{4}π - \frac{7}{2}$
D
)A.$\frac{5}{2}π - \frac{7}{4}$
B.$\frac{5}{2}π - \frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{4}π - \frac{7}{4}$
D.$\frac{5}{4}π - \frac{7}{2}$
答案
【解析】如图,作 $AB$ 的垂直平分线 $MN$, 作 $BC$ 的垂直平分线 $PQ$, 设 $MN$ 与 $PQ$ 相交于点 $O$, 连接 $OA,OB,OC$, 则点 $O$ 是 $△ ABC$ 外接圆的圆心. 由题意得 $OA^2=1^2+2^2=5, OC^2=1^2+2^2=5, AC^2=1^2+3^2=10, \therefore OA=OC=\sqrt{5}, OA^2+OC^2=AC^2, \therefore △ AOC$ 是直角三角形, 且 $∠ AOC=90°$.
$\because AO=OC=\sqrt{5}, \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}-S_{△ ABC}=\frac{90π × (\sqrt{5})^2}{360}-\frac{1}{2}OA · OC-\frac{1}{2}AB · 1=\frac{5π}{4}-\frac{1}{2}× \sqrt{5}× \sqrt{5}-\frac{1}{2}× 2× 1=\frac{5π}{4}-\frac{5}{2}-1=\frac{5}{4}π-\frac{7}{2}$,故选 D.
解析
【分析】
求解不规则阴影部分面积，可采用割补法转化为规则图形面积的差计算：首先，阴影部分位于△ABC的外接圆内，需先确定外接圆圆心，三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，因此分别作AB、BC的垂直平分线即可得到圆心O；其次利用勾股定理计算外接圆半径OA、OC及AC的长度，通过勾股定理逆定理判断∠AOC的度数，得到扇形AOC的圆心角；最后阴影部分面积等于扇形AOC的面积减去△AOC和△ABC的面积，代入数值计算即可。
【解析】
如图，作$AB$的垂直平分线$MN$，作$BC$的垂直平分线$PQ$，设$MN$与$PQ$相交于点$O$，连接$OA,OB,OC$，则点$O$是$△ ABC$外接圆的圆心。
由勾股定理得：$OA^2=1^2+2^2=5$，$OC^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=1^2+3^2=10$，
$\therefore OA=OC=\sqrt{5}$，且$OA^2+OC^2=AC^2$，
$\therefore △AOC$是直角三角形，$∠ AOC=90°$。
阴影部分面积为扇形AOC面积减去△AOC和△ABC的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}-S_{△ ABC}$
$=\frac{90π×(\sqrt{5})^2}{360}-\frac{1}{2}× OA× OC-\frac{1}{2}× AB× 1$
$=\frac{5π}{4}-\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}-\frac{1}{2}×2×1$
$=\frac{5π}{4}-\frac{5}{2}-1$
$=\frac{5}{4}π-\frac{7}{2}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形外接圆性质
2. 扇形面积计算
3. 割补法求不规则图形面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题关键是准确找到三角形外接圆的圆心，结合勾股定理逆定理确定扇形的圆心角和半径，再通过割补法将阴影面积转化为规则图形面积的差，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
求解不规则阴影部分面积，可采用割补法转化为规则图形面积的差计算：首先，阴影部分位于△ABC的外接圆内，需先确定外接圆圆心，三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点，因此分别作AB、BC的垂直平分线即可得到圆心O；其次利用勾股定理计算外接圆半径OA、OC及AC的长度，通过勾股定理逆定理判断∠AOC的度数，得到扇形AOC的圆心角；最后阴影部分面积等于扇形AOC的面积减去△AOC和△ABC的面积，代入数值计算即可。
【解析】
如图，作$AB$的垂直平分线$MN$，作$BC$的垂直平分线$PQ$，设$MN$与$PQ$相交于点$O$，连接$OA,OB,OC$，则点$O$是$△ ABC$外接圆的圆心。
由勾股定理得：$OA^2=1^2+2^2=5$，$OC^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=1^2+3^2=10$，
$\therefore OA=OC=\sqrt{5}$，且$OA^2+OC^2=AC^2$，
$\therefore △AOC$是直角三角形，$∠ AOC=90°$。
阴影部分面积为扇形AOC面积减去△AOC和△ABC的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}-S_{△ ABC}$
$=\frac{90π×(\sqrt{5})^2}{360}-\frac{1}{2}× OA× OC-\frac{1}{2}× AB× 1$
$=\frac{5π}{4}-\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}-\frac{1}{2}×2×1$
$=\frac{5π}{4}-\frac{5}{2}-1$
$=\frac{5}{4}π-\frac{7}{2}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形外接圆性质
2. 扇形面积计算
3. 割补法求不规则图形面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题关键是准确找到三角形外接圆的圆心，结合勾股定理逆定理确定扇形的圆心角和半径，再通过割补法将阴影面积转化为规则图形面积的差，能有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
3[中]如图, 四边形ABCD是边长为$\frac{1}{2}$的正方形, 曲线$DA_1B_1C_1D_1A_2···$是由多段90°的圆心角所对的弧组成的. 其中, $\overset{\frown}{DA_1}$的圆心为A, 半径为AD; $\overset{\frown}{A_1B_1}$的圆心为B, 半径为$BA_1$; $···$; $\overset{\frown}{DA_1}$, $\overset{\frown}{A_1B_1}$, $···$的圆心依次按点A,B,C,D为一组进行循环, 则$\overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$的长是
2 022π
(结果保留π).答案
【解析】根据题意可得,$\overset{\frown}{DA_1}$的半径 $AA_1=\frac{1}{2}$;$\overset{\frown}{A_1B_1}$ 的半径 $BB_1=AB+AA_1=\frac{1}{2}× 2$;$\overset{\frown}{B_1C_1}$ 的半径 $CC_1=CB+BB_1=\frac{1}{2}× 3$;$\overset{\frown}{C_1D_1}$ 的半径 $DD_1=CD+CC_1=\frac{1}{2}× 4$;$\overset{\frown}{D_1A_2}$ 的半径 $AA_2=AD+DD_1=\frac{1}{2}× 5$;$\overset{\frown}{A_2B_2}$ 的半径 $BB_2=AB+AA_2=\frac{1}{2}× 6$;$\overset{\frown}{B_2C_2}$ 的半径 $CC_2=BC+BB_2=\frac{1}{2}× 7$;$\overset{\frown}{C_2D_2}$ 的半径 $DD_2=CD+CC_2=\frac{1}{2}× 8$;$···$;
以此类推可知,$\overset{\frown}{C_nD_n}$ 的半径为 $\frac{1}{2}× 4× n=2n$,
$\therefore \overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$ 的半径为 $DD_{2022}=2n=2× 2022=4044$,$\therefore \overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$ 的长是 $\frac{90× π × 4044}{180}=2022π$. 故答案为 $2022π$.
以此类推可知,$\overset{\frown}{C_nD_n}$ 的半径为 $\frac{1}{2}× 4× n=2n$,
$\therefore \overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$ 的半径为 $DD_{2022}=2n=2× 2022=4044$,$\therefore \overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$ 的长是 $\frac{90× π × 4044}{180}=2022π$. 故答案为 $2022π$.
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，本题中所有弧对应的圆心角都是90°，因此只需要求出该弧对应的半径即可。解题时先从已知的前几段弧的半径入手，总结出$\overset{\frown}{C_nD_n}$类弧的半径变化规律，再代入n=2022求出对应半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
根据题意，先分析前几段弧的半径：
$\overset{\frown}{DA_1}$的半径$AA_1=\frac{1}{2}$；
$\overset{\frown}{A_1B_1}$的半径$BB_1=AB+AA_1=\frac{1}{2}×2$；
$\overset{\frown}{B_1C_1}$的半径$CC_1=CB+BB_1=\frac{1}{2}×3$；
$\overset{\frown}{C_1D_1}$的半径$DD_1=CD+CC_1=\frac{1}{2}×4$；
$\overset{\frown}{C_2D_2}$的半径$DD_2=\frac{1}{2}×8$；
……
以此类推，可得$\overset{\frown}{C_nD_n}$的半径为$\frac{1}{2}×4n=2n$。
当n=2022时，$\overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$的半径为$2×2022=4044$，
代入弧长公式，弧长为$\frac{90×π×4044}{180}=2022π$。
【答案】
$2022π$
【知识点】
弧长计算，图形规律探究
【点评】
本题是规律探究与弧长计算的结合题，解题的核心是通过前几段弧的半径归纳出通用规律，再结合弧长公式求解，易错点是找错弧对应的半径变化规律。
【难度系数】
0.6
要计算弧$\overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，本题中所有弧对应的圆心角都是90°，因此只需要求出该弧对应的半径即可。解题时先从已知的前几段弧的半径入手，总结出$\overset{\frown}{C_nD_n}$类弧的半径变化规律，再代入n=2022求出对应半径，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
根据题意，先分析前几段弧的半径：
$\overset{\frown}{DA_1}$的半径$AA_1=\frac{1}{2}$；
$\overset{\frown}{A_1B_1}$的半径$BB_1=AB+AA_1=\frac{1}{2}×2$；
$\overset{\frown}{B_1C_1}$的半径$CC_1=CB+BB_1=\frac{1}{2}×3$；
$\overset{\frown}{C_1D_1}$的半径$DD_1=CD+CC_1=\frac{1}{2}×4$；
$\overset{\frown}{C_2D_2}$的半径$DD_2=\frac{1}{2}×8$；
……
以此类推，可得$\overset{\frown}{C_nD_n}$的半径为$\frac{1}{2}×4n=2n$。
当n=2022时，$\overset{\frown}{C_{2022}D_{2022}}$的半径为$2×2022=4044$，
代入弧长公式，弧长为$\frac{90×π×4044}{180}=2022π$。
【答案】
$2022π$
【知识点】
弧长计算，图形规律探究
【点评】
本题是规律探究与弧长计算的结合题，解题的核心是通过前几段弧的半径归纳出通用规律，再结合弧长公式求解，易错点是找错弧对应的半径变化规律。
【难度系数】
0.6
4[2026福建厦门期末,中]如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线(即圆弧),机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B,过点A,B的两条切线相交于点C,机动车在从点A到点B的行驶过程中转角为α.若这段圆弧的半径$OA=\sqrt{3}$,$α=60°$,则图中危险区(阴影部分)的面积为
$\sqrt{3}-\dfrac{π}{2}$
.答案
【解析】连接 $OC$. 由题意得 $AC ⊥ OA, BC ⊥ OB, \therefore ∠ OAC = ∠ OBC = 90°, \therefore ∠ OAC + ∠ OBC = 180°, \therefore ∠ AOB + ∠ ACB = 180°. \because ∠ ACB + α = 180°$,$α=60°, \therefore ∠ AOB = α = 60°$. 易得 $△ OAC ≌ △ OBC$,
$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ OBC}, ∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 30°$,
$\therefore AC=\frac{1}{2}OC. \because OA^2+AC^2=OC^2, OA=\sqrt{3}, \therefore AC=1$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}OACB}-S_{\mathrm{扇形}OAB}=2× \frac{1}{2}OA · AC - \frac{60π OA^2}{360}=\sqrt{3}-\frac{π}{2}$,故答案为$\sqrt{3}-\frac{π}{2}$.
$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ OBC}, ∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 30°$,
$\therefore AC=\frac{1}{2}OC. \because OA^2+AC^2=OC^2, OA=\sqrt{3}, \therefore AC=1$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}OACB}-S_{\mathrm{扇形}OAB}=2× \frac{1}{2}OA · AC - \frac{60π OA^2}{360}=\sqrt{3}-\frac{π}{2}$,故答案为$\sqrt{3}-\frac{π}{2}$.
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：阴影面积=四边形OACB的面积-扇形OAB的面积。首先根据切线性质得到半径与切线垂直，结合已知转角推导圆心角∠AOB的度数；再通过全等三角形判定得到两个直角三角形全等，利用勾股定理求出直角边AC的长度，计算出四边形的面积；最后代入扇形面积公式求出扇形面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
连接$OC$，
由切线的性质得：$AC ⊥ OA, BC ⊥ OB$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ OBC = 90°$，
$\therefore ∠ OAC + ∠ OBC = 180°$，
在四边形$OACB$中，$∠ AOB + ∠ ACB = 360°-(∠ OAC + ∠ OBC)=180°$，
$\because ∠ ACB + α = 180°$，$α=60°$，
$\therefore ∠ AOB = α = 60°$。
在$Rt△OAC$和$Rt△OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB\\OC=OC\end{cases}$
$\therefore Rt△ OAC ≌ Rt△ OBC(HL)$，
$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ OBC}, ∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 30°$，
在$Rt△OAC$中，$∠AOC=30°$，$\therefore AC=\frac{1}{2}OC$，
由勾股定理得$OA^2+AC^2=OC^2$，代入$OA=\sqrt{3}$，
得$(\sqrt{3})^2+AC^2=(2AC)^2$，解得$AC=1$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}OACB}=2× S_{△OAC}=2× \frac{1}{2}×OA × AC =\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{60π ×OA^2}{360}=\frac{1}{6}π×(\sqrt{3})^2=\frac{π}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}OACB}-S_{\mathrm{扇形}OAB}=\sqrt{3}-\frac{π}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\frac{π}{2}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题为不规则图形面积计算的典型题型，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，要求熟练掌握切线性质、扇形面积公式，能准确推导角度关系并运用勾股定理计算边长，对几何图形的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，采用割补法求解：阴影面积=四边形OACB的面积-扇形OAB的面积。首先根据切线性质得到半径与切线垂直，结合已知转角推导圆心角∠AOB的度数；再通过全等三角形判定得到两个直角三角形全等，利用勾股定理求出直角边AC的长度，计算出四边形的面积；最后代入扇形面积公式求出扇形面积，二者作差即可得到阴影面积。
【解析】
连接$OC$，
由切线的性质得：$AC ⊥ OA, BC ⊥ OB$，
$\therefore ∠ OAC = ∠ OBC = 90°$，
$\therefore ∠ OAC + ∠ OBC = 180°$，
在四边形$OACB$中，$∠ AOB + ∠ ACB = 360°-(∠ OAC + ∠ OBC)=180°$，
$\because ∠ ACB + α = 180°$，$α=60°$，
$\therefore ∠ AOB = α = 60°$。
在$Rt△OAC$和$Rt△OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB\\OC=OC\end{cases}$
$\therefore Rt△ OAC ≌ Rt△ OBC(HL)$，
$\therefore S_{△ OAC}=S_{△ OBC}, ∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = 30°$，
在$Rt△OAC$中，$∠AOC=30°$，$\therefore AC=\frac{1}{2}OC$，
由勾股定理得$OA^2+AC^2=OC^2$，代入$OA=\sqrt{3}$，
得$(\sqrt{3})^2+AC^2=(2AC)^2$，解得$AC=1$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}OACB}=2× S_{△OAC}=2× \frac{1}{2}×OA × AC =\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{60π ×OA^2}{360}=\frac{1}{6}π×(\sqrt{3})^2=\frac{π}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}OACB}-S_{\mathrm{扇形}OAB}=\sqrt{3}-\frac{π}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\frac{π}{2}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题为不规则图形面积计算的典型题型，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差求解，要求熟练掌握切线性质、扇形面积公式，能准确推导角度关系并运用勾股定理计算边长，对几何图形的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5[2025江苏南通质检,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点F在AB上,以AF为直径的$\odot O$与边BC相切于点D,与边AC相交于点E,且$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$,连接EO并延长交$\odot O$于点G,连接BG.
(1)求证:BG是$\odot O$的切线;
(2)若$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{4}{3}π$,求图中阴影部分的面积.
(1)求证:BG是$\odot O$的切线;
(2)若$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{4}{3}π$,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)【证明】如图,连接 $OD$. $\because \odot O$ 与 $BC$ 相切于点 $D, \therefore ∠ ODB=90°. \because ∠ ACB=90°, \therefore ∠ ACB=∠ ODB, \therefore AC// OD, \therefore ∠ EOD=∠ AEO. \because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$,$\therefore ∠ EOD=∠ AOE, \therefore ∠ AOE=∠ AEO, \therefore AO=AE$. 又 $\because AO=OE, \therefore AO=OE=AE, \therefore △ AOE$ 是等边三角形, $\therefore ∠ AOE=60°, \therefore ∠ BOG=∠ AOE=60°$,$∠ DOB=180°-∠ DOE-∠ AOE=60°, \therefore ∠ DOB=∠ GOB. \because OD=OG, OB=OB, \therefore △ ODB ≌ △ OGB(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ OGB=∠ ODB=90°, \therefore OG ⊥ BG. \because OG$ 为$\odot O$半径,$\therefore BG$ 是$\odot O$的切线.
(2)【解】$\because \overset{\frown}{DE}$ 的长为 $\frac{4}{3}π, ∠ DOE=60°$,
$\therefore \frac{60× π × OD}{180}=\frac{4}{3}π, \therefore OD=4, \therefore OG=4. \because ∠ BOG=60°, \therefore ∠ OBG=30°$, 易得 $BG=4\sqrt{3}, \therefore S_{△ OBG}=\frac{1}{2}OG × BG=\frac{1}{2}× 4 × 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}, S_{\mathrm{扇形}GOF}=\frac{60× π × 4^2}{360}=\frac{8}{3}π, \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OGB}-S_{\mathrm{扇形}GOF}=8\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$.
解析
【分析】
(1) 要证明BG是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OG垂直于BG，因此先连接OD，利用BC是$\odot O$切线得到$∠ ODB=90°$，再结合等弧对应的圆心角相等推导角的关系，证明$△ ODB≌△ OGB$，得到$∠ OGB=90°$即可完成证明。
(2) 阴影部分为不规则图形，可通过“割补法”转化为$△ OBG$的面积减去扇形GOF的面积计算。先根据$\overset{\frown}{DE}$的长度，利用弧长公式求出$\odot O$的半径，再结合直角三角形性质求出BG的长度，分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$OD$。
$\because \odot O$与$BC$相切于点$D, \therefore ∠ ODB=90°$。
$\because ∠ ACB=90°, \therefore ∠ ACB=∠ ODB, \therefore AC// OD, \therefore ∠ EOD=∠ AEO$。
$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$,$\therefore ∠ EOD=∠ AOE, \therefore ∠ AOE=∠ AEO, \therefore AO=AE$。
又$\because AO=OE, \therefore AO=OE=AE, \therefore △ AOE$是等边三角形, $\therefore ∠ AOE=60°$,
$\therefore ∠ BOG=∠ AOE=60°$,$∠ DOB=180°-∠ DOE-∠ AOE=60°, \therefore ∠ DOB=∠ GOB$。
$\because OD=OG, OB=OB, \therefore △ ODB ≌ △ OGB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ OGB=∠ ODB=90°, \therefore OG ⊥ BG$。
$\because OG$为$\odot O$半径,$\therefore BG$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because \overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{4}{3}π, ∠ DOE=60°$,
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：$\frac{60× π × OD}{180}=\frac{4}{3}π$, 解得$OD=4, \therefore OG=4$。
$\because ∠ BOG=60°, ∠ OGB=90°, \therefore ∠ OBG=30°, \therefore OB=2OG=8$,
由勾股定理得$BG=\sqrt{OB^2-OG^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ OBG}=\frac{1}{2}OG × BG=\frac{1}{2}× 4 × 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}GOF}=\frac{60× π × 4^2}{360}=\frac{8}{3}π$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OGB}-S_{\mathrm{扇形}GOF}=8\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$。
【答案】
(1) BG是$\odot O$的切线，证明如上；
(2) 图中阴影部分的面积为$8\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$。
【知识点】
1. 切线的判定与性质
2. 弧长与扇形面积计算
3. 全等三角形的判定
【点评】
本题是圆的综合中档题，将切线证明、不规则图形面积计算结合考查，解题时注意运用转化思想：证明切线可转化为证半径与直线垂直，求不规则图形面积可转化为规则图形面积的和差，需熟练掌握圆的相关性质和公式。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明BG是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OG垂直于BG，因此先连接OD，利用BC是$\odot O$切线得到$∠ ODB=90°$，再结合等弧对应的圆心角相等推导角的关系，证明$△ ODB≌△ OGB$，得到$∠ OGB=90°$即可完成证明。
(2) 阴影部分为不规则图形，可通过“割补法”转化为$△ OBG$的面积减去扇形GOF的面积计算。先根据$\overset{\frown}{DE}$的长度，利用弧长公式求出$\odot O$的半径，再结合直角三角形性质求出BG的长度，分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$OD$。
$\because \odot O$与$BC$相切于点$D, \therefore ∠ ODB=90°$。
$\because ∠ ACB=90°, \therefore ∠ ACB=∠ ODB, \therefore AC// OD, \therefore ∠ EOD=∠ AEO$。
$\because \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$,$\therefore ∠ EOD=∠ AOE, \therefore ∠ AOE=∠ AEO, \therefore AO=AE$。
又$\because AO=OE, \therefore AO=OE=AE, \therefore △ AOE$是等边三角形, $\therefore ∠ AOE=60°$,
$\therefore ∠ BOG=∠ AOE=60°$,$∠ DOB=180°-∠ DOE-∠ AOE=60°, \therefore ∠ DOB=∠ GOB$。
$\because OD=OG, OB=OB, \therefore △ ODB ≌ △ OGB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ OGB=∠ ODB=90°, \therefore OG ⊥ BG$。
$\because OG$为$\odot O$半径,$\therefore BG$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because \overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{4}{3}π, ∠ DOE=60°$,
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：$\frac{60× π × OD}{180}=\frac{4}{3}π$, 解得$OD=4, \therefore OG=4$。
$\because ∠ BOG=60°, ∠ OGB=90°, \therefore ∠ OBG=30°, \therefore OB=2OG=8$,
由勾股定理得$BG=\sqrt{OB^2-OG^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ OBG}=\frac{1}{2}OG × BG=\frac{1}{2}× 4 × 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}GOF}=\frac{60× π × 4^2}{360}=\frac{8}{3}π$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ OGB}-S_{\mathrm{扇形}GOF}=8\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$。
【答案】
(1) BG是$\odot O$的切线，证明如上；
(2) 图中阴影部分的面积为$8\sqrt{3}-\frac{8}{3}π$。
【知识点】
1. 切线的判定与性质
2. 弧长与扇形面积计算
3. 全等三角形的判定
【点评】
本题是圆的综合中档题，将切线证明、不规则图形面积计算结合考查，解题时注意运用转化思想：证明切线可转化为证半径与直线垂直，求不规则图形面积可转化为规则图形面积的和差，需熟练掌握圆的相关性质和公式。
【难度系数】
0.6
