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1.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的顶点均在格点上.已知$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$关于直线$l$对称.
(1)画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)在(1)的条件下，连接$AA_1,CC_1$，求四边形$AA_1C_1C$的面积.
(1)画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)在(1)的条件下，连接$AA_1,CC_1$，求四边形$AA_1C_1C$的面积.
答案
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)四边形$AA_1C_1C$的面积为$\frac{1}{2}×(4+8)×3=18$。
解析
【分析】
(1)要作△ABC关于直线l的对称图形，需先找到三个顶点A、B、C关于直线l的对称点：分别过三个顶点向直线l作垂线，在l的另一侧取到l的距离与原顶点到l的距离相等的点，即为对应对称点A₁、B₁、C₁，最后顺次连接三个对称点即可得到所求的对称三角形。
(2)求四边形AA₁C₁C的面积时，首先根据轴对称的性质可知AA₁、CC₁都垂直于对称轴l，因此AA₁//CC₁，可判断该四边形为梯形；再通过数网格得到梯形的上底CC₁长为4，下底AA₁长为8，两底之间的高为3，代入梯形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1)作图步骤：
①过点A作直线l的垂线，点A到l的水平距离为4格，在l右侧距离l4格的位置得到对称点A₁；
②同理，过点B作l的垂线，点B到l的水平距离为1格，在l右侧1格位置得到对称点B₁；
③过点C作l的垂线，点C到l的水平距离为2格，在l右侧2格位置得到对称点C₁；
④顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2)由轴对称的性质可得：AA₁⊥l，CC₁⊥l，因此AA₁//CC₁，四边形AA₁C₁C是梯形。
数网格可知：$CC_1=4$，$AA_1=8$，梯形的高（即AA₁和CC₁的竖直距离）为3。
根据梯形面积公式计算：
$S_{四边形AA_1C_1C}=\frac{1}{2}×(CC_1+AA_1)×高=\frac{1}{2}×(4+8)×3=18$
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)四边形$AA_1C_1C$的面积为18。
【知识点】
轴对称作图，轴对称的性质，梯形面积计算
【点评】
本题是基础的作图与计算结合题型，重点考查轴对称的相关性质和网格中图形面积的计算方法，熟练掌握对称点的作图方法和常见图形的面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)要作△ABC关于直线l的对称图形，需先找到三个顶点A、B、C关于直线l的对称点：分别过三个顶点向直线l作垂线，在l的另一侧取到l的距离与原顶点到l的距离相等的点，即为对应对称点A₁、B₁、C₁，最后顺次连接三个对称点即可得到所求的对称三角形。
(2)求四边形AA₁C₁C的面积时，首先根据轴对称的性质可知AA₁、CC₁都垂直于对称轴l，因此AA₁//CC₁，可判断该四边形为梯形；再通过数网格得到梯形的上底CC₁长为4，下底AA₁长为8，两底之间的高为3，代入梯形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1)作图步骤：
①过点A作直线l的垂线，点A到l的水平距离为4格，在l右侧距离l4格的位置得到对称点A₁；
②同理，过点B作l的垂线，点B到l的水平距离为1格，在l右侧1格位置得到对称点B₁；
③过点C作l的垂线，点C到l的水平距离为2格，在l右侧2格位置得到对称点C₁；
④顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2)由轴对称的性质可得：AA₁⊥l，CC₁⊥l，因此AA₁//CC₁，四边形AA₁C₁C是梯形。
数网格可知：$CC_1=4$，$AA_1=8$，梯形的高（即AA₁和CC₁的竖直距离）为3。
根据梯形面积公式计算：
$S_{四边形AA_1C_1C}=\frac{1}{2}×(CC_1+AA_1)×高=\frac{1}{2}×(4+8)×3=18$
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)四边形$AA_1C_1C$的面积为18。
【知识点】
轴对称作图，轴对称的性质，梯形面积计算
【点评】
本题是基础的作图与计算结合题型，重点考查轴对称的相关性质和网格中图形面积的计算方法，熟练掌握对称点的作图方法和常见图形的面积公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2.如图,在由边长均为1的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点为格点.
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A₁B₁C₁；
(2)将△A₁B₁C₁先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到△A₂B₂C₂,请画出△A₂B₂C₂；
(3)在直线l上作一点P,使得|PA−PC₁|的值最大,并求出这个最大值.
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A₁B₁C₁；
(2)将△A₁B₁C₁先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到△A₂B₂C₂,请画出△A₂B₂C₂；
(3)在直线l上作一点P,使得|PA−PC₁|的值最大,并求出这个最大值.
答案
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)如图，点$P$即为所求。这个最大值为3。
解析
【分析】
(1) 作轴对称图形的核心是利用轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分，因此先找到△ABC三个顶点关于直线l的对称点，再顺次连接即可得到对称图形。
(2) 平移作图需遵循平移规则：图形上每个点都按照相同的平移方向和距离移动，将△A₁B₁C₁的三个顶点分别按“向下平移3个单位，向右平移2个单位”的要求移动得到对应点，顺次连接即可得到平移后的图形。
(3) 求|PA−PC₁|的最大值可依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，因此当P、A、C₁三点共线时，|PA−PC₁|=AC₁，此时差值最大，最大值即为线段AC₁的长度，只需延长AC₁与直线l的交点即为所求点P。
【解析】
(1) 分别过点A、B、C作直线l的垂线，延长垂线至与对应点到直线l距离相等的位置，得到三点的对称点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 将点A₁、B₁、C₁分别向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到对应点A₂、B₂、C₂，顺次连接A₂、B₂、C₂，△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 根据三角形三边关系可知，当点P在AC₁的延长线与直线l的交点处时，|PA−PC₁|取得最大值，最大值等于线段AC₁的长度。观察网格可得AC₁=3，即|PA−PC₁|的最大值为3，延长AC₁交直线l于点P，即为所求点。
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)如图，点$P$即为所求。这个最大值为3。
【知识点】
轴对称作图；平移作图；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查网格中的几何作图与最值求解，前两问属于基础作图题，要求熟练掌握轴对称和平移的性质，第三问的最值问题需要灵活运用三角形三边关系找到最值点，较好地考查了学生的作图能力和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 作轴对称图形的核心是利用轴对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分，因此先找到△ABC三个顶点关于直线l的对称点，再顺次连接即可得到对称图形。
(2) 平移作图需遵循平移规则：图形上每个点都按照相同的平移方向和距离移动，将△A₁B₁C₁的三个顶点分别按“向下平移3个单位，向右平移2个单位”的要求移动得到对应点，顺次连接即可得到平移后的图形。
(3) 求|PA−PC₁|的最大值可依据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，因此当P、A、C₁三点共线时，|PA−PC₁|=AC₁，此时差值最大，最大值即为线段AC₁的长度，只需延长AC₁与直线l的交点即为所求点P。
【解析】
(1) 分别过点A、B、C作直线l的垂线，延长垂线至与对应点到直线l距离相等的位置，得到三点的对称点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 将点A₁、B₁、C₁分别向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到对应点A₂、B₂、C₂，顺次连接A₂、B₂、C₂，△A₂B₂C₂即为所求。
(3) 根据三角形三边关系可知，当点P在AC₁的延长线与直线l的交点处时，|PA−PC₁|取得最大值，最大值等于线段AC₁的长度。观察网格可得AC₁=3，即|PA−PC₁|的最大值为3，延长AC₁交直线l于点P，即为所求点。
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)如图，点$P$即为所求。这个最大值为3。
【知识点】
轴对称作图；平移作图；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查网格中的几何作图与最值求解，前两问属于基础作图题，要求熟练掌握轴对称和平移的性质，第三问的最值问题需要灵活运用三角形三边关系找到最值点，较好地考查了学生的作图能力和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(2,3)$。
(1)画出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$；
(2)若点$B_2(-6,2)$与点$B$关于直线$l$成轴对称，点$C$关于直线$l$的对称点为$C_2$，画出直线$l$和点$C_2$，并写出点$C_2$的坐标：
(1)画出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$；
(2)若点$B_2(-6,2)$与点$B$关于直线$l$成轴对称，点$C$关于直线$l$的对称点为$C_2$，画出直线$l$和点$C_2$，并写出点$C_2$的坐标：
(-4,3)
。答案
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，直线$l$和点$C_2$即为所求，点$C_2$的坐标为$(-4,3)$。
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点的坐标，再描点连线即可完成作图。
(2) 两点关于某直线对称时，该直线是两点连线的垂直平分线。先根据点B和点B₂的坐标求出线段BB₂的垂直平分线，即直线l；再根据轴对称的坐标规律，求出点C关于直线l的对称点C₂的坐标，最后完成作图即可。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
点A(1,1)关于x轴的对称点A₁坐标为(1,-1)，
点B(4,2)关于x轴的对称点B₁坐标为(4,-2)，
点C(2,3)关于x轴的对称点C₁坐标为(2,-3)，
在平面直角坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 已知B(4,2)，B₂(-6,2)，两点纵坐标相同，因此线段BB₂平行于x轴，
线段BB₂的中点横坐标为$\frac{4+(-6)}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{2+2}{2}=2$，
线段BB₂的垂直平分线为过中点且垂直于x轴的直线，即直线l为$x=-1$。
点C关于竖直直线$x=-1$对称时，纵坐标不变，设C₂坐标为(m,3)，
根据对称轴为两点横坐标的中点，可得$\frac{m+2}{2}=-1$，解得$m=-4$，
因此C₂的坐标为(-4,3)，画出直线l和点C₂即可。
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，直线$l$和点$C_2$即为所求，点$C_2$的坐标为$(-4,3)$。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征
轴对称的性质
轴对称作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称相关作图与计算，核心是掌握轴对称的坐标变化规律，能结合点的坐标特征求解对称轴和对称点坐标，属于基础题型，计算时注意坐标符号避免出错。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出A、B、C三点对应对称点的坐标，再描点连线即可完成作图。
(2) 两点关于某直线对称时，该直线是两点连线的垂直平分线。先根据点B和点B₂的坐标求出线段BB₂的垂直平分线，即直线l；再根据轴对称的坐标规律，求出点C关于直线l的对称点C₂的坐标，最后完成作图即可。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：
点A(1,1)关于x轴的对称点A₁坐标为(1,-1)，
点B(4,2)关于x轴的对称点B₁坐标为(4,-2)，
点C(2,3)关于x轴的对称点C₁坐标为(2,-3)，
在平面直角坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 已知B(4,2)，B₂(-6,2)，两点纵坐标相同，因此线段BB₂平行于x轴，
线段BB₂的中点横坐标为$\frac{4+(-6)}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{2+2}{2}=2$，
线段BB₂的垂直平分线为过中点且垂直于x轴的直线，即直线l为$x=-1$。
点C关于竖直直线$x=-1$对称时，纵坐标不变，设C₂坐标为(m,3)，
根据对称轴为两点横坐标的中点，可得$\frac{m+2}{2}=-1$，解得$m=-4$，
因此C₂的坐标为(-4,3)，画出直线l和点C₂即可。
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，直线$l$和点$C_2$即为所求，点$C_2$的坐标为$(-4,3)$。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征
轴对称的性质
轴对称作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称相关作图与计算，核心是掌握轴对称的坐标变化规律，能结合点的坐标特征求解对称轴和对称点坐标，属于基础题型，计算时注意坐标符号避免出错。
【难度系数】
0.8
4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别为A(1,-1),B(1,-3),C(5,-4).
(1)将△ABC 先向左平移2个单位长度,再向上平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁ 关于 y 轴对称的图形△A₂B₂C₂;
(3)请用无刻度的直尺在 AC 上取一点 M,使 BM⊥AC.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)将△ABC 先向左平移2个单位长度,再向上平移6个单位长度得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁ 关于 y 轴对称的图形△A₂B₂C₂;
(3)请用无刻度的直尺在 AC 上取一点 M,使 BM⊥AC.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)如图，点$M$即为所求。
解析
【分析】
(1) 解决平移作图问题，首先回忆点的平移坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。先根据给定的平移规则（左移2个单位，上移6个单位）分别计算A、B、C三点平移后的对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再描点顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。据此计算A₁、B₁、C₁关于y轴的对称点A₂、B₂、C₂的坐标，描点顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(3) 要作BM⊥AC，可利用网格特征：两条互相垂直的线段，可通过构造直角三角形，使其直角边的比值交叉相等，找到过点B且与AC垂直的格点线段，该线段与AC的交点即为所求的M。
【解析】
(1) 根据平移坐标规律计算对应点坐标：
A(1,-1)平移后：横坐标$1-2=-1$，纵坐标$-1+6=5$，即$A₁(-1,5)$；
B(1,-3)平移后：横坐标$1-2=-1$，纵坐标$-3+6=3$，即$B₁(-1,3)$；
C(5,-4)平移后：横坐标$5-2=3$，纵坐标$-4+6=2$，即$C₁(3,2)$；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，顺次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于y轴对称的坐标规律计算对应点坐标：
A₁(-1,5)对称点：横坐标取相反数为1，纵坐标不变，即$A₂(1,5)$；
B₁(-1,3)对称点：横坐标取相反数为1，纵坐标不变，即$B₂(1,3)$；
C₁(3,2)对称点：横坐标取相反数为-3，纵坐标不变，即$C₂(-3,2)$；
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，顺次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
(3) 观察AC的走向：AC从A(1,-1)到C(5,-4)，水平方向移动4格，竖直方向移动3格，因此过B(1,-3)作水平方向移动3格、竖直方向移动4格的线段，该线段与AC的交点即为M，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)如图，点$M$即为所求。
【知识点】
坐标平移变换，坐标轴对称变换，网格作图
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中的图形变换展开，既考查了平移、轴对称的坐标变化规律的应用，也考查了网格中构造垂直线段的动手操作能力，注重基础，兼具灵活性。
【难度系数】
0.7
(1) 解决平移作图问题，首先回忆点的平移坐标变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减。先根据给定的平移规则（左移2个单位，上移6个单位）分别计算A、B、C三点平移后的对应点A₁、B₁、C₁的坐标，再描点顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。据此计算A₁、B₁、C₁关于y轴的对称点A₂、B₂、C₂的坐标，描点顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(3) 要作BM⊥AC，可利用网格特征：两条互相垂直的线段，可通过构造直角三角形，使其直角边的比值交叉相等，找到过点B且与AC垂直的格点线段，该线段与AC的交点即为所求的M。
【解析】
(1) 根据平移坐标规律计算对应点坐标：
A(1,-1)平移后：横坐标$1-2=-1$，纵坐标$-1+6=5$，即$A₁(-1,5)$；
B(1,-3)平移后：横坐标$1-2=-1$，纵坐标$-3+6=3$，即$B₁(-1,3)$；
C(5,-4)平移后：横坐标$5-2=3$，纵坐标$-4+6=2$，即$C₁(3,2)$；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，顺次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于y轴对称的坐标规律计算对应点坐标：
A₁(-1,5)对称点：横坐标取相反数为1，纵坐标不变，即$A₂(1,5)$；
B₁(-1,3)对称点：横坐标取相反数为1，纵坐标不变，即$B₂(1,3)$；
C₁(3,2)对称点：横坐标取相反数为-3，纵坐标不变，即$C₂(-3,2)$；
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，顺次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
(3) 观察AC的走向：AC从A(1,-1)到C(5,-4)，水平方向移动4格，竖直方向移动3格，因此过B(1,-3)作水平方向移动3格、竖直方向移动4格的线段，该线段与AC的交点即为M，保留作图痕迹即可。
【答案】
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。
(3)如图，点$M$即为所求。
【知识点】
坐标平移变换，坐标轴对称变换，网格作图
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中的图形变换展开，既考查了平移、轴对称的坐标变化规律的应用，也考查了网格中构造垂直线段的动手操作能力，注重基础，兼具灵活性。
【难度系数】
0.7
