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7.小红同学误将点A的横、纵坐标次序颠倒，写成$(a,b)$，另一同学误将点B的坐标写成关于$y$轴对称的点的坐标，写成$(-b,-a)$，则$A,B$两点原来的位置关系是（
A.关于$x$轴对称
B.关于$y$轴对称
C.重合
D.以上都不对
A
）A.关于$x$轴对称
B.关于$y$轴对称
C.重合
D.以上都不对
答案
A
解析
【分析】
解题时需要先反向推导得到点A、B的正确坐标，再根据坐标特征判断两点位置关系：第一步，根据“横纵坐标次序颠倒得到$(a,b)$”，调换横纵坐标即可得到点A的真实坐标；第二步，根据“误写的是点B关于y轴对称的点”，结合关于y轴对称的点的坐标规律，反推得到点B的真实坐标；第三步，对比两点坐标，结合轴对称的坐标特征判断位置关系。
【解析】
1. 求点A的正确坐标：
已知点A横、纵坐标颠倒后为$(a,b)$，因此A的正确坐标为$(b,a)$。
2. 求点B的正确坐标：
设点B的正确坐标为$(x,y)$，根据关于$y$轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得B关于$y$轴对称的点为$(-x,y)$。
由题意得$-x=-b$，$y=-a$，解得$x=b$，$y=-a$，即B的正确坐标为$(b,-a)$。
3. 判断A、B的位置关系：
对比A$(b,a)$和B$(b,-a)$，两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合关于$x$轴对称的点的坐标特征，因此A、B关于$x$轴对称。
【答案】
A
【知识点】
坐标还原、关于坐标轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中轴对称坐标规律的应用，解题核心是先根据错误信息还原两点的真实坐标，再结合坐标特征判断位置关系，解题时需注意区分关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题时需要先反向推导得到点A、B的正确坐标，再根据坐标特征判断两点位置关系：第一步，根据“横纵坐标次序颠倒得到$(a,b)$”，调换横纵坐标即可得到点A的真实坐标；第二步，根据“误写的是点B关于y轴对称的点”，结合关于y轴对称的点的坐标规律，反推得到点B的真实坐标；第三步，对比两点坐标，结合轴对称的坐标特征判断位置关系。
【解析】
1. 求点A的正确坐标：
已知点A横、纵坐标颠倒后为$(a,b)$，因此A的正确坐标为$(b,a)$。
2. 求点B的正确坐标：
设点B的正确坐标为$(x,y)$，根据关于$y$轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得B关于$y$轴对称的点为$(-x,y)$。
由题意得$-x=-b$，$y=-a$，解得$x=b$，$y=-a$，即B的正确坐标为$(b,-a)$。
3. 判断A、B的位置关系：
对比A$(b,a)$和B$(b,-a)$，两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合关于$x$轴对称的点的坐标特征，因此A、B关于$x$轴对称。
【答案】
A
【知识点】
坐标还原、关于坐标轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中轴对称坐标规律的应用，解题核心是先根据错误信息还原两点的真实坐标，再结合坐标特征判断位置关系，解题时需注意区分关于x轴、y轴对称的坐标变化规律，避免混淆。
【难度系数】
0.7
8.已知点A(2a−b,5+a),B(2b−1,−a+b).
(1)若点A,B关于x轴对称,则a+b的值为
(2)若点A,B关于y轴对称,则$(4a+b)^{100}$的值为
(1)若点A,B关于x轴对称,则a+b的值为
-13
;(2)若点A,B关于y轴对称,则$(4a+b)^{100}$的值为
1
.答案
(1)-13 (2)1
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标性质，解题思路如下：
（1）关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后代入计算a+b即可；
（2）关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后代入计算$(4a+b)^{100}$即可。
【解析】
（1）
∵点A、B关于x轴对称
∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1\\5 + a = -(-a + b)\end{cases}$
化简第二个方程：$5+a = a - b$，消去a得$b=-5$
将$b=-5$代入第一个方程：$2a - (-5) = 2×(-5) -1$
即$2a +5 = -11$，解得$a=-8$
∴$a+b = -8 + (-5) = -13$
（2）
∵点A、B关于y轴对称
∴纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1)\\5 + a = -a + b\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2a + b = 1①\\2a - b = -5②\end{cases}$
①+②得：$4a = -4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入①得：$2×(-1) + b =1$，解得$b=3$
∴$4a + b = 4×(-1) +3 = -1$
∴$(4a + b)^{100} = (-1)^{100} =1$
【答案】
（1）-13；（2）1
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标性质；2. 关于y轴对称的点的坐标性质；3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是熟练掌握不同轴对称下点的坐标变化规律，正确列方程组求解，计算时注意符号问题，求幂时要明确负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标性质，解题思路如下：
（1）关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后代入计算a+b即可；
（2）关于y轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后代入计算$(4a+b)^{100}$即可。
【解析】
（1）
∵点A、B关于x轴对称
∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1\\5 + a = -(-a + b)\end{cases}$
化简第二个方程：$5+a = a - b$，消去a得$b=-5$
将$b=-5$代入第一个方程：$2a - (-5) = 2×(-5) -1$
即$2a +5 = -11$，解得$a=-8$
∴$a+b = -8 + (-5) = -13$
（2）
∵点A、B关于y轴对称
∴纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1)\\5 + a = -a + b\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2a + b = 1①\\2a - b = -5②\end{cases}$
①+②得：$4a = -4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入①得：$2×(-1) + b =1$，解得$b=3$
∴$4a + b = 4×(-1) +3 = -1$
∴$(4a + b)^{100} = (-1)^{100} =1$
【答案】
（1）-13；（2）1
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标性质；2. 关于y轴对称的点的坐标性质；3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是熟练掌握不同轴对称下点的坐标变化规律，正确列方程组求解，计算时注意符号问题，求幂时要明确负数的偶次幂为正数。
【难度系数】
0.7
9. 新考向 规律探索 在平面直角坐标系中，将△ABC依次进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(2,3),则经过第2026次变换后点A的对应点的坐标是
(-2,-3)
.答案
(-2,-3)
解析
【分析】
解题时首先要明确点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。我们可以先依次计算前几次变换后点A的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数除以周期，根据余数判断第2026次变换后点A的坐标即可。
【解析】
已知初始点A的坐标为(2,3)：
1. 第1次变换（关于x轴对称）：横坐标不变，纵坐标取相反数，得到对应点坐标为(2, -3)；
2. 第2次变换（关于y轴对称）：纵坐标不变，横坐标取相反数，得到对应点坐标为(-2, -3)；
3. 第3次变换（关于x轴对称）：横坐标不变，纵坐标取相反数，得到对应点坐标为(-2, 3)；
4. 第4次变换（关于y轴对称）：纵坐标不变，横坐标取相反数，得到对应点坐标为(2, 3)，与初始点A坐标重合，说明每4次变换为一个循环周期。
计算2026除以周期4：$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明第2026次变换后点A的坐标与第2次变换后的坐标相同。
【答案】
(-2,-3)
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；规律探索
【点评】
本题将平面直角坐标系中的轴对称变换与规律探索结合，解题的核心是先通过计算前几次变换结果找到循环周期，再结合余数判断最终坐标，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。我们可以先依次计算前几次变换后点A的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数除以周期，根据余数判断第2026次变换后点A的坐标即可。
【解析】
已知初始点A的坐标为(2,3)：
1. 第1次变换（关于x轴对称）：横坐标不变，纵坐标取相反数，得到对应点坐标为(2, -3)；
2. 第2次变换（关于y轴对称）：纵坐标不变，横坐标取相反数，得到对应点坐标为(-2, -3)；
3. 第3次变换（关于x轴对称）：横坐标不变，纵坐标取相反数，得到对应点坐标为(-2, 3)；
4. 第4次变换（关于y轴对称）：纵坐标不变，横坐标取相反数，得到对应点坐标为(2, 3)，与初始点A坐标重合，说明每4次变换为一个循环周期。
计算2026除以周期4：$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明第2026次变换后点A的坐标与第2次变换后的坐标相同。
【答案】
(-2,-3)
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；规律探索
【点评】
本题将平面直角坐标系中的轴对称变换与规律探索结合，解题的核心是先通过计算前几次变换结果找到循环周期，再结合余数判断最终坐标，是规律类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
10.[2026·芜湖弋江区期末]在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)的顶点A,C的坐标分别为(0,4),(3,-1).请按要求解答下列问题:
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系,并直接写出点B的坐标;
(2)请画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,并写出点A₁,B₁,C₁的坐标.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系,并直接写出点B的坐标;
(2)请画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,并写出点A₁,B₁,C₁的坐标.
答案
(1)建立平面直角坐标系如图所示,点B的坐标为(2,4).
(2)如图,△A₁B₁C₁即为所求,A₁(0,-4),B₁(2,-4),C₁(3,1).
解析
【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为(0,4)，说明点A在y轴上，纵坐标为4，因此先确定x轴（y=0的水平直线）、y轴（过点A的竖直直线），原点为两轴交点，再根据网格数出点B的横、纵坐标即可得到B的坐标。
(2) 关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标互为相反数，先根据这个规律算出A₁、B₁、C₁的坐标，再在坐标系中描出这三个点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
【解析】
(1) 第一步：根据A(0,4)确定坐标系：以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，过y=0的水平线为x轴，过点A的竖直线为y轴，两轴交点为原点O，建立平面直角坐标系。
第二步：观察点B的位置，点B在x轴正方向对应数值2处，y轴正方向对应数值4处，因此点B的坐标为(2,4)。
(2) 第一步：根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数）计算对称点坐标：
A(0,4)关于x轴对称的点A₁坐标为(0,-4)；
B(2,4)关于x轴对称的点B₁坐标为(2,-4)；
C(3,-1)关于x轴对称的点C₁坐标为(3,1)。
第二步：在建立好的坐标系中分别描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
(1)建立平面直角坐标系如图所示,点B的坐标为(2,4).
(2)如图,△A₁B₁C₁即为所求,A₁(0,-4),B₁(2,-4),C₁(3,1).
【知识点】
坐标系的建立；x轴对称的坐标特征；轴对称作图
【点评】
本题是平面直角坐标系和轴对称结合的基础题型，既考查了坐标系的基本应用，也考查了轴对称的坐标变换规律，解题关键是熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特点，结合网格即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为(0,4)，说明点A在y轴上，纵坐标为4，因此先确定x轴（y=0的水平直线）、y轴（过点A的竖直直线），原点为两轴交点，再根据网格数出点B的横、纵坐标即可得到B的坐标。
(2) 关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标互为相反数，先根据这个规律算出A₁、B₁、C₁的坐标，再在坐标系中描出这三个点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
【解析】
(1) 第一步：根据A(0,4)确定坐标系：以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，过y=0的水平线为x轴，过点A的竖直线为y轴，两轴交点为原点O，建立平面直角坐标系。
第二步：观察点B的位置，点B在x轴正方向对应数值2处，y轴正方向对应数值4处，因此点B的坐标为(2,4)。
(2) 第一步：根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数）计算对称点坐标：
A(0,4)关于x轴对称的点A₁坐标为(0,-4)；
B(2,4)关于x轴对称的点B₁坐标为(2,-4)；
C(3,-1)关于x轴对称的点C₁坐标为(3,1)。
第二步：在建立好的坐标系中分别描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
(1)建立平面直角坐标系如图所示,点B的坐标为(2,4).
(2)如图,△A₁B₁C₁即为所求,A₁(0,-4),B₁(2,-4),C₁(3,1).
【知识点】
坐标系的建立；x轴对称的坐标特征；轴对称作图
【点评】
本题是平面直角坐标系和轴对称结合的基础题型，既考查了坐标系的基本应用，也考查了轴对称的坐标变换规律，解题关键是熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特点，结合网格即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
(1)由图易知点A(0,2)关于直线l对称的点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标出点B(5,3),C(-2,5)关于直线l对称的点B',C'的位置,并写出它们的坐标:B'
(2)结合图形,观察以上三组点的坐标,你会发现:平面直角坐标系中任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l对称的点P'的坐标为
(3)已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D,E两点的距离之和最小,并求出点Q的坐标.
(1)由图易知点A(0,2)关于直线l对称的点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标出点B(5,3),C(-2,5)关于直线l对称的点B',C'的位置,并写出它们的坐标:B'
(3,5)
,C'(5,-2)
;(2)结合图形,观察以上三组点的坐标,你会发现:平面直角坐标系中任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l对称的点P'的坐标为
(b,a)
;(3)已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D,E两点的距离之和最小,并求出点Q的坐标.
答案
(1)如图,点B',C'即为所求.
(2)(b,a)
(3)由(2)得点D(1,-3)关于直线l对称的点D'的坐标为(-3,1).
如图,连接D'E交直线l于点Q,此时点Q到D,E两点的距离之和最小.
设过点D'(-3,1),E(-1,-4)的直线的函数表达式为y=kx+m,则$\begin{cases}-3k+m=1,\\-k+m=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{5}{2},\\m=-\frac{13}{2}.\end{cases}$
$\therefore y=-\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}.$
联立$\begin{cases}y=-\frac{5}{2}x-\frac{13}{2},\\y=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{13}{7},\\y=-\frac{13}{7}.\end{cases}$
$\therefore$点Q的坐标为$(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7}).$
解析
【分析】
(1) 直线l是第一、三象限的角平分线，解析式为y=x，关于y=x对称的点的坐标特征是横、纵坐标互换，据此可确定B、C的对称点B'、C'的位置及坐标；
(2) 对比A与A'、B与B'、C与C'的坐标，总结出任意点关于y=x对称的点的坐标规律即可；
(3) 要使直线l上的点Q到D、E的距离之和最小，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，先找到D关于直线l的对称点D'，连接D'E，D'E与直线l的交点即为所求的Q，再通过待定系数法求D'E的函数解析式，与y=x联立求解即可得到Q的坐标。
【解析】
(1) 根据关于第一、三象限角平分线对称的点横纵坐标互换的规律，点B(5,3)的对称点B'坐标为(3,5)，点C(-2,5)的对称点C'坐标为(5,-2)，按要求标出位置即可。
(2) 观察三组对称点坐标：A(0,2)与A'(2,0)、B(5,3)与B'(3,5)、C(-2,5)与C'(5,-2)，可得点P(a,b)关于直线l对称的点P'的坐标为(b,a)。
(3) 首先根据(2)的规律，得点D(1,-3)关于直线l对称的点D'的坐标为(-3,1)。根据两点之间线段最短，连接D'E，与直线l的交点即为Q，此时Q到D、E的距离之和最小。
设过D'(-3,1)、E(-1,-4)的直线解析式为y=kx+m，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}-3k+m=1\\-k+m=-4\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得2k=-5，解得$k=-\frac{5}{2}$，将$k=-\frac{5}{2}$代入第一个方程，解得$m=-\frac{13}{2}$，所以直线D'E的解析式为$y=-\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}$。
直线l的解析式为y=x，联立两个解析式：
$\begin{cases}y=-\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}\\y=x\end{cases}$
将y=x代入第一个方程，解得$x=-\frac{13}{7}$，所以$y=x=-\frac{13}{7}$，即点Q的坐标为$(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7})$。
【答案】
(1)，(3,5)，(5,-2)
(2) (b,a)
(3) $(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7})$
【知识点】
关于一三象限角平分线的对称，最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将坐标对称规律、最短路径原理与一次函数知识相结合，既考查了对特殊对称点坐标规律的识记与归纳能力，也考查了利用几何性质解决最值问题、运用待定系数法求解函数交点的运算能力，是平面直角坐标系中轴对称知识的典型应用。
【难度系数】
0.6
(1) 直线l是第一、三象限的角平分线，解析式为y=x，关于y=x对称的点的坐标特征是横、纵坐标互换，据此可确定B、C的对称点B'、C'的位置及坐标；
(2) 对比A与A'、B与B'、C与C'的坐标，总结出任意点关于y=x对称的点的坐标规律即可；
(3) 要使直线l上的点Q到D、E的距离之和最小，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，先找到D关于直线l的对称点D'，连接D'E，D'E与直线l的交点即为所求的Q，再通过待定系数法求D'E的函数解析式，与y=x联立求解即可得到Q的坐标。
【解析】
(1) 根据关于第一、三象限角平分线对称的点横纵坐标互换的规律，点B(5,3)的对称点B'坐标为(3,5)，点C(-2,5)的对称点C'坐标为(5,-2)，按要求标出位置即可。
(2) 观察三组对称点坐标：A(0,2)与A'(2,0)、B(5,3)与B'(3,5)、C(-2,5)与C'(5,-2)，可得点P(a,b)关于直线l对称的点P'的坐标为(b,a)。
(3) 首先根据(2)的规律，得点D(1,-3)关于直线l对称的点D'的坐标为(-3,1)。根据两点之间线段最短，连接D'E，与直线l的交点即为Q，此时Q到D、E的距离之和最小。
设过D'(-3,1)、E(-1,-4)的直线解析式为y=kx+m，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}-3k+m=1\\-k+m=-4\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得2k=-5，解得$k=-\frac{5}{2}$，将$k=-\frac{5}{2}$代入第一个方程，解得$m=-\frac{13}{2}$，所以直线D'E的解析式为$y=-\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}$。
直线l的解析式为y=x，联立两个解析式：
$\begin{cases}y=-\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}\\y=x\end{cases}$
将y=x代入第一个方程，解得$x=-\frac{13}{7}$，所以$y=x=-\frac{13}{7}$，即点Q的坐标为$(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7})$。
【答案】
(1)
，(3,5)，(5,-2)(2) (b,a)
(3) $(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7})$
【知识点】
关于一三象限角平分线的对称，最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将坐标对称规律、最短路径原理与一次函数知识相结合，既考查了对特殊对称点坐标规律的识记与归纳能力，也考查了利用几何性质解决最值问题、运用待定系数法求解函数交点的运算能力，是平面直角坐标系中轴对称知识的典型应用。
【难度系数】
0.6
