1. 新考向 情境题 如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆CD垂直平分AB，AC=5 cm，则BC的长为（）

A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm

1.B

【分析】
解题时首先提取题干关键信息：CD垂直平分AB，AC=5cm，要求BC的长。我们可以联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点C在AB的垂直平分线CD上，因此点C到A、B两点的距离相等，即AC=BC，代入已知AC的长度即可得到BC的长度。
【解析】
∵CD垂直平分AB，点C在CD上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴BC = AC，
又
∵AC = 5cm，
∴BC = 5cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活情境考查线段垂直平分线的性质，属于基础题，只要熟练掌握对应性质就能快速得到答案，能够帮助大家理解数学性质在实际场景中的应用。
【难度系数】
0.9

2.如图，$△ ABC$ 的边 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$，连接 $BD$.若 $AC=8$，$CD=5$，则 $BD=$ .

2.3

【分析】
解题时先从题目给出的“AB的垂直平分线交AC于点D”这一条件出发，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可得BD=AD，接下来只需要结合已知的AC、CD的长度，求出AD的长度，就能得到BD的长度。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴BD = AD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
又
∵AC = 8，CD = 5
∴AD = AC - CD = 8 - 5 = 3
∴BD = 3
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，找到相等的线段进行代换即可。
【难度系数】
0.9

3.如图,在△ABC中,MN垂直平分BC,垂足为点E,交AB于点D.若AB=7,AC=3,则△ACD的周长是.

第3题图 变式题图

3.10

【分析】
解题时首先提取题干关键条件“MN垂直平分BC”，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得点D到B、C的距离相等，即DC=DB。接下来分析△ACD的周长构成：周长=AC+AD+DC，将DC等量替换为DB后，式子可转化为AC+AD+DB，而AD+DB正好是AB的长度，因此只需将已知的AB、AC长度代入即可算出周长。
【解析】
解：
∵MN垂直平分BC，且点D在MN上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：DC = DB。
△ACD的周长 = AC + AD + DC，
将DC替换为DB，得：
△ACD的周长 = AC + AD + DB = AC + AB，
已知AB=7，AC=3，代入得：
△ACD的周长 = 3 + 7 = 10。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的运用，解题关键是通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知线段的和，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9

逆向变式
[2026·合肥肥东县期末]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=10\ \mathrm{cm}$，$DE$垂直平分$AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$。若$△ DBC$的周长为$18\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为$\mathrm{cm}$。

[逆向变式] 8

【分析】
解题时首先观察到题目给出DE垂直平分AB，优先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=BD。再看△DBC的周长表达式，将BD替换为AD后，可将周长转化为AC与BC的和，结合已知的AC长度和△DBC的周长，即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD。
∵△DBC的周长为18cm，
∴BD + DC + BC = 18cm，
将BD替换为AD，可得：AD + DC + BC = 18cm，
又
∵AD + DC = AC，且AC=10cm，
∴10cm + BC = 18cm，
解得BC=8cm。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用性质实现等线段替换，将未知三角形周长转化为已知边与待求边的和，从而快速求出结果，解题时要注意观察线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.8

4.【教材P133练习T1变式题】如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AD＝3，△ACE的周长为9.5，则△ABC的周长为。

4.15.5

【分析】
解题时先运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线平分对应线段，可得AE=BE、AB=2AD；再观察△ACE的周长构成，将其中的AE等量替换为BE，就能推出AC+BC的长度；最后将AB长度与AC+BC的长度相加，即可得到△ABC的周长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE，AB=2AD
∵AD=3
∴AB=2×3=6
∵△ACE的周长为9.5
∴AC+CE+AE=9.5
将AE=BE代入上式得：AC+CE+BE=AC+BC=9.5
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+9.5=15.5
【答案】
15.5
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知周长的组成部分和已知条件建立关联，即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，在$△ ABC$中，EF是AB的垂直平分线，$AD⊥ BC$于点D，且D为CE的中点.求证：$BE=AC$.

5.证明:$\because EF$ 是 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore BE=AE$.
$\because AD⊥BC,D$ 为 $CE$ 的中点,$\therefore AD$ 是 $CE$ 的垂直平分线.
$\therefore AE=AC.\therefore BE=AC$.

【分析】
要证明BE=AC，可通过中间线段AE进行等量代换推导。首先由EF是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得BE=AE；再结合AD⊥BC且D为CE中点，可判定AD是CE的垂直平分线，同理可得AE=AC，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵ EF是AB的垂直平分线，点E在AB的垂直平分线上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得BE=AE。
∵ AD⊥BC，D为CE的中点，即AD垂直且平分CE，
∴ AD是CE的垂直平分线，点A在CE的垂直平分线上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质，得AE=AC。
通过等量代换即可得到BE=AC。
【答案】
证明:$\because EF$ 是 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore BE=AE$.
$\because AD⊥BC,D$ 为 $CE$ 的中点,$\therefore AD$ 是 $CE$ 的垂直平分线.
$\therefore AE=AC.\therefore BE=AC$.
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.线段垂直平分线的判定
3.等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查线段垂直平分线性质与判定的应用，解题关键是找到过渡线段AE，通过两次运用垂直平分线的相关结论实现等量转化，熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

6.如图，在$△ ABC$内有一点$P$，且$PA=PB$，则点$P$一定（）

A.在边$AB$的垂直平分线上
B.在$∠ C$的平分线上
C.在边$AB$的高上
D.在边$AB$的中线上

6.A

【分析】
解题时首先回忆相关判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。题干给出PA=PB，即点P到线段AB两端点A、B的距离相等，可直接对应上述判定。再逐一分析其他选项：角平分线的判定要求点到角两边的距离相等，题干无相关条件；三角形AB边上的高、中线仅当△ABC为等腰三角形（AC=BC）时才与AB的垂直平分线重合，题干未说明△ABC是等腰三角形，因此B、C、D均不必然成立。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PA=PB，说明点P到线段AB的两个端点A、B的距离相等，因此点P一定在边AB的垂直平分线上。
对其他选项分析如下：
B选项：角平分线上的点到角两边的距离相等，题干没有给出点P到∠C两边的距离相等的条件，无法判定点P在∠C的平分线上；
C、D选项：只有当△ABC是等腰三角形（AC=BC）时，AB边上的高、中线才与AB的垂直平分线重合，题干未说明△ABC为等腰三角形，因此无法判定点P在AB的高或中线上。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；角平分线的性质；三角形的高与中线定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查线段垂直平分线判定定理的直接应用，解题的关键是区分线段垂直平分线、角平分线、三角形的高和中线的不同性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85

7.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，过点A作$AD ⊥ BD$于点D，连接$CD$，$BD = BC$。求证：AB是CD的垂直平分线。

7.证明:$\because ∠ACB=90°,AD⊥BD,\therefore ∠ACB=∠ADB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\because \begin{cases} AB=AB,\\ BD=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ABC.(\mathrm{HL})$
$\therefore AD=AC.\therefore$ 点 $A$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上.
$\because BD=BC,\therefore$ 点 $B$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上,
$\therefore AB$ 是 $CD$ 的垂直平分线.

【分析】
要证明AB是CD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的判定思路：若两个点都在某条线段的垂直平分线上，那么过这两点的直线就是该线段的垂直平分线。已知BD=BC，即点B已满足在CD的垂直平分线上，因此只需证明点A也在CD的垂直平分线上，也就是证明AD=AC即可。观察可得AD、AC分别属于Rt△ABD和Rt△ABC，两个三角形有公共斜边AB，且已知BD=BC，可通过HL定理证明两三角形全等，从而得到AD=AC，最终推导出结论。
【解析】
证明:$\because ∠ACB=90°,AD⊥BD,\therefore ∠ACB=∠ADB=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$\because \begin{cases} AB=AB,\\ BD=BC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABD≌\mathrm{Rt}△ABC.(\mathrm{HL})$
$\therefore AD=AC.\therefore$ 点 $A$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上.
$\because BD=BC,\therefore$ 点 $B$ 在线段 $CD$ 的垂直平分线上,
$\therefore AB$ 是 $CD$ 的垂直平分线.
【答案】
证明过程如上，AB是CD的垂直平分线成立。
【知识点】
HL判定直角三角形全等，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是通过证明直角三角形全等得到线段相等，再结合垂直平分线的判定和两点确定一条直线的原理得出结论，侧重考查对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8