8.如图，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，若PA的长为7，则PC的长为（）

A.5
B.6
C.7
D.8

8.C

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。我们可以先连接辅助线PB，先利用PD是AB的垂直平分线，得出PA和PB的长度关系，再利用PE是BC的垂直平分线，得出PB和PC的长度关系，最后通过等量代换就能求出PC的长度。
【解析】
连接PB，
∵ PD垂直平分AB，点P在PD上，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴ PA = PB，
已知PA=7，
∴ PB=7，
又
∵ PE垂直平分BC，点P在PE上，
同理可得PB = PC，
∴ PC = PB = 7。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是借助公共线段PB建立PA和PC的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

9.[整体思想]如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为点$D$,$EF$垂直平分$AC$,交$BC$于点$E$,交$AC$于点$F$,连接$AE$.若$BD=DE$,$△ ABC$的周长为$16$,$AF=3$,则$CD=$.

9.5

【分析】
解题时先根据线段垂直平分线的性质得到相等线段：首先EF是AC的垂直平分线，可得AE=CE，且AC=2AF；再由AD⊥BC、BD=DE，可知AD是BE的垂直平分线，可得AB=AE，进而推出AB=CE。接下来结合△ABC的周长条件，将线段进行等量代换，把AB+BC转化为与CD相关的表达式，即可求出CD的长度。
【解析】
解：
1.
∵EF垂直平分AC，AF=3
∴AC=2AF=6，AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
2.
∵AD⊥BC，BD=DE
∴AD垂直平分线段BE
∴AB=AE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴AB=CE
3.
∵△ABC的周长为16
∴$AB + BC + AC = 16$
代入$AC=6$，得$AB + BC = 16 - 6 = 10$
4. 又
∵$BC = CE + ED + DB$，且$BD=DE$，$AB=CE$
∴$AB + BC = CE + (CE + DE + BD) = CE + CE + DE + DE = 2CE + 2DE = 2(CE + DE)$
∵$CD = CE + DE$
∴$2CD = 10$
解得$CD = 5$
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的性质，周长计算，等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的灵活应用，解题的核心是通过垂直平分线的性质得到多组相等线段，再结合周长条件进行整体代换，很好地渗透了转化的数学思想，是几何基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.6

10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)AD和CF的数量关系是;
(2)若AD=2,AB=5,当BC的长为时,点B在线段AF的垂直平分线上.

10.(1)$AD=CF$ (2)$3$

【分析】
(1) 要判断AD和CF的数量关系，先利用AD//BC得到两组内错角相等，结合E是CD中点得到DE=CE，再加对顶角相等，可证明△ADE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AD和CF的关系；
(2) 若点B在线段AF的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BF，而BF=BC+CF，结合第一问得到的CF=AD，代入已知长度即可求出BC的长。
【解析】
(1)
∵AD//BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ ECF\\ ∠ DAE=∠ F\\ DE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF。
(2) 若点B在线段AF的垂直平分线上，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得AB=BF，
∵BF=BC+CF，且由(1)知CF=AD=2，AB=5，
∴$5=BC+2$，
解得$BC=3$。
【答案】
(1)$AD=CF$；(2)$3$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，第一问是典型的“八字型”全等模型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的基础；第二问需要灵活运用线段垂直平分线的判定进行等量代换，计算量小，考查的都是核心基础知识点。
【难度系数】
0.8

11.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,AE=CE.
(1)求证:AB=CD;
(2)连接OE,BD,求证:OE垂直平分BD.

11.证明:(1)在$△AOB$ 和 $△COD$ 中,$\because \begin{cases} ∠A=∠C,\\ OA=OC,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△COD.(\mathrm{ASA})\therefore AB=CD$.
(2)由(1)知$△AOB≌△COD$,$\therefore OB=OD$,$AB=CD$.
又$\because AE=CE$,$\therefore AE-AB=CE-CD$,即 $BE=DE$,
$\therefore$ 点 $O,E$ 在 $BD$ 的垂直平分线上.
$\therefore OE$ 垂直平分 $BD$.

【分析】
(1)要证明AB=CD，可通过证明AB、CD所在的△AOB和△COD全等来实现。题目已给出OA=OC、∠A=∠C，再结合对顶角相等可得∠AOB=∠COD，满足ASA全等判定条件，证得全等后即可推出对应边AB=CD。
(2)要证明OE垂直平分BD，根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，只需证明点O和点E都满足到B、D两点的距离相等即可。由(1)的全等可得OB=OD，说明O在BD的垂直平分线上；再结合已知AE=CE，减去相等的AB和CD可得BE=DE，说明E也在BD的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此OE垂直平分BD。
【解析】
(1) 在$△ AOB$ 和 $△ COD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠A=∠C,\\ OA=OC,\\ ∠AOB=∠COD（对顶角相等）, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△COD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=CD$（全等三角形对应边相等）。
(2) 由(1)知$△AOB≌△COD$，
$\therefore OB=OD$（全等三角形对应边相等），$AB=CD$，
$\therefore$ 点$O$在$BD$的垂直平分线上。
又$\because AE=CE$，
$\therefore AE-AB=CE-CD$（等式的性质），即 $BE=DE$，
$\therefore$ 点$E$在$BD$的垂直平分线上。
$\because$ 两点确定一条直线，
$\therefore OE$垂直平分$BD$。
【答案】
(1)证明：在$△AOB$ 和 $△COD$ 中,$\because \begin{cases} ∠A=∠C,\\ OA=OC,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△COD(\mathrm{ASA})\therefore AB=CD$。
(2)证明：由(1)知$△AOB≌△COD$,$\therefore OB=OD$,$AB=CD$。
又$\because AE=CE$,$\therefore AE-AB=CE-CD$,即 $BE=DE$,
$\therefore$ 点 $O,E$ 在 $BD$ 的垂直平分线上。
$\therefore OE$ 垂直平分 $BD$。
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质
2.线段垂直平分线的判定
3.对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形与线段垂直平分线的判定结合考查，解题时需结合已知条件，先通过全等得到边相等的结论，再利用线段垂直平分线的判定定理完成证明，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

12.如图,在$△ ABC$中,AB 的垂直平分线 $l_1$ 交BC于点 D,AC 的垂直平分线 $l_2$ 交 BC 于点E,$l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 O,$△ ADE$ 的周长为 6.
(1)AD 与 BD 的数量关系为;
(2)求 BC 的长;
(3)连接 OA,OB,OC,若$△ OBC$ 的周长为 16,求 OA 的长.

· 图形变式 ·

12.解:(1)$AD=BD$
(2)$\because l_1$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore AD=BD$.
$\because l_2$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线,$\therefore AE=CE$.
$\because △ADE$ 的周长为 6,$\therefore AD+DE+AE=6$,
$\therefore BD+DE+CE=6$,即 $BC=6$.
(3)$\because l_1$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,$\therefore OA=OB$.
$\because l_2$ 是线段 $AC$ 的垂直平分线,$\therefore OA=OC$.
$\because △OBC$ 的周长为 16,$BC=6$,
$\therefore OB+OC+BC=OA+OA+6=16,\therefore OA=5$.

【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，点D在AB的垂直平分线$l_1$上，可直接得出AD与BD的数量关系；
（2）求BC的长时，先利用垂直平分线性质得到$AD=BD$、$AE=CE$，观察$△ ADE$的周长由$AD、DE、AE$组成，将AD替换为BD，AE替换为CE，三者之和恰好为BC的长度，结合已知$△ ADE$周长为6即可求出BC；
（3）求OA的长时，先根据垂直平分线性质，点O在AB的垂直平分线上可得$OA=OB$，点O在AC的垂直平分线上可得$OA=OC$，因此$OB=OC=OA$，再结合$△ OBC$的周长为16，以及已求出的$BC=6$，代入周长公式即可计算出OA的长度。
【解析】
(1) $\because l_1$是AB的垂直平分线，点D在$l_1$上，$\therefore AD=BD$。
(2) $\because l_1$是线段AB的垂直平分线，$\therefore AD=BD$。
$\because l_2$是线段AC的垂直平分线，$\therefore AE=CE$。
$\because △ ADE$的周长为6，$\therefore AD+DE+AE=6$，
将AD替换为BD，AE替换为CE，可得$BD+DE+CE=6$，即$BC=6$。
(3) $\because l_1$是线段AB的垂直平分线，点O在$l_1$上，$\therefore OA=OB$。
$\because l_2$是线段AC的垂直平分线，点O在$l_2$上，$\therefore OA=OC$。
$\therefore OB=OC=OA$，
$\because △ OBC$的周长为16，$BC=6$，
$\therefore OB+OC+BC=16$，即$OA+OA+6=16$，
解得$2OA=10$，$\therefore OA=5$。
【答案】
(1)$AD=BD$
(2)$BC=6$
(3)$OA=5$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础几何应用题型，核心考查线段垂直平分线性质的运用，通过将相等线段进行等量代换，结合周长公式即可快速求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等这一性质。
【难度系数】
0.8

如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE分别与AB,BC交于点D,E,AC的垂直平分线FG分别与BC,AC交于点F,G.若BC=5,EF=2,则△AEF的周长是.

[图形变式] 9

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先根据DE是AB的垂直平分线可得AE=BE，FG是AC的垂直平分线可得AF=CF；接下来将△AEF的周长AE+AF+EF替换为BE+CF+EF，再结合BC上点的排列顺序，分析BE、CF和BC、EF的数量关系：BE和CF重叠了EF段，因此BE+CF=BC+EF，最后代入已知数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵FG是AC的垂直平分线，点F在FG上
∴AF = CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△AEF的周长 = AE + AF + EF
将AE=BE、AF=CF代入，得周长 = BE + CF + EF
由图可知BC上点的顺序为B、F、E、C，因此：
BE = BF + EF，CF = CE + EF
∴BE + CF = BF + EF + CE + EF = (BF + EF + CE) + EF = BC + EF
已知BC=5，EF=2，代入得：
BE + CF = 5 + 2 = 7
∴△AEF的周长 = 7 + 2 = 9
【答案】
9
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，线段和差转化
【点评】
本题核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段的和差关系，解题时注意观察线段之间的重叠部分，避免计算错误，属于基础的几何性质应用题。
【难度系数】
0.7