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1.用直尺和圆规作线段的垂直平分线,下列作法正确的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要判断正确的线段垂直平分线尺规作法，首先明确两个依据：一是尺规作图仅能使用无刻度直尺和圆规，不能借助其他工具；二是线段垂直平分线的标准作图步骤：先分别以线段两个端点为圆心，取大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在线段上下两侧各得到一个交点，再过这两个交点画直线，所得直线就是线段的垂直平分线，对照选项逐一判断即可。
【解析】
线段垂直平分线的正确尺规作法如下：
1. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于$\frac{1}{2}$线段长的长度为半径画弧，两弧在线段的两侧各交于一点；
2. 过这两个交点作直线，该直线就是所求的线段垂直平分线。
逐个分析选项：
A选项使用直角三角板辅助作图，不符合尺规作图的工具要求，作法错误；
B选项仅作出了线段上方的1个交点，无法唯一确定垂直平分线，作法错误；
C选项通过画弧得到线段上下两个交点，过交点作直线，完全符合作图规范，作法正确；
D选项没有通过画弧得到交点，直接绘制过中点的直线，不符合作图步骤，作法错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作法；尺规作图的定义
【点评】
本题考查线段垂直平分线的作图规范，牢记作图时需要得到线段两侧两个交点是解题关键，同时要注意遵守尺规作图的工具使用要求。
【难度系数】
0.8
要判断正确的线段垂直平分线尺规作法，首先明确两个依据：一是尺规作图仅能使用无刻度直尺和圆规，不能借助其他工具；二是线段垂直平分线的标准作图步骤：先分别以线段两个端点为圆心，取大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在线段上下两侧各得到一个交点，再过这两个交点画直线，所得直线就是线段的垂直平分线，对照选项逐一判断即可。
【解析】
线段垂直平分线的正确尺规作法如下：
1. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于$\frac{1}{2}$线段长的长度为半径画弧，两弧在线段的两侧各交于一点；
2. 过这两个交点作直线，该直线就是所求的线段垂直平分线。
逐个分析选项：
A选项使用直角三角板辅助作图，不符合尺规作图的工具要求，作法错误；
B选项仅作出了线段上方的1个交点，无法唯一确定垂直平分线，作法错误；
C选项通过画弧得到线段上下两个交点，过交点作直线，完全符合作图规范，作法正确；
D选项没有通过画弧得到交点，直接绘制过中点的直线，不符合作图步骤，作法错误。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作法；尺规作图的定义
【点评】
本题考查线段垂直平分线的作图规范，牢记作图时需要得到线段两侧两个交点是解题关键，同时要注意遵守尺规作图的工具使用要求。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知△ABC,请用尺规作出△ABC的边BC上的中线.(不写作法,保留作图痕迹)
答案
2.解:如图,AD即为所求.
解析
【分析】
要作△ABC边BC上的中线，首先回忆三角形中线的定义：连接三角形顶点和对边中点的线段是三角形的中线，因此解题核心是找到BC边的中点。尺规确定线段中点的常用方法是作线段的垂直平分线，垂直平分线与线段的交点就是线段的中点，找到中点后将其与顶点A连接，即可得到所求的中线。
【解析】
1. 用尺规作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点记为D，D就是BC的中点；
2. 用直尺连接A、D两点，线段AD即为△ABC边BC上的中线。
【答案】
如图,AD即为所求.
【知识点】
三角形中线定义，尺规作垂直平分线，线段中点判定
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题关键是结合中线定义，通过作垂直平分线得到对边的中点，需要熟练掌握基本尺规作图的操作要求，保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作△ABC边BC上的中线，首先回忆三角形中线的定义：连接三角形顶点和对边中点的线段是三角形的中线，因此解题核心是找到BC边的中点。尺规确定线段中点的常用方法是作线段的垂直平分线，垂直平分线与线段的交点就是线段的中点，找到中点后将其与顶点A连接，即可得到所求的中线。
【解析】
1. 用尺规作线段BC的垂直平分线，垂直平分线与BC的交点记为D，D就是BC的中点；
2. 用直尺连接A、D两点，线段AD即为△ABC边BC上的中线。
【答案】
如图,AD即为所求.
【知识点】
三角形中线定义，尺规作垂直平分线，线段中点判定
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题关键是结合中线定义，通过作垂直平分线得到对边的中点，需要熟练掌握基本尺规作图的操作要求，保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
3.如图,线段AB,AC的垂直平分线相交于点P,则PB与PC的关系是 (
A.$PB＞PC$
B.$PB=PC$
C.$PB＜PC$
D.$PB=2PC$
B
)A.$PB＞PC$
B.$PB=PC$
C.$PB＜PC$
D.$PB=2PC$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以通过作辅助线连接PA，先利用AB的垂直平分线得到PB和PA的等量关系，再利用AC的垂直平分线得到PC和PA的等量关系，最后通过等量代换就能判断PB和PC的大小关系。
【解析】
解：连接PA。
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$\boldsymbol{PB=PA}$。
又
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴同理可得：$\boldsymbol{PC=PA}$。
∴通过等量代换得$PB=PC$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础类题型，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是合理添加辅助线PA，搭建起PB和PC之间的等量桥梁，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。我们可以通过作辅助线连接PA，先利用AB的垂直平分线得到PB和PA的等量关系，再利用AC的垂直平分线得到PC和PA的等量关系，最后通过等量代换就能判断PB和PC的大小关系。
【解析】
解：连接PA。
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$\boldsymbol{PB=PA}$。
又
∵点P在AC的垂直平分线上，
∴同理可得：$\boldsymbol{PC=PA}$。
∴通过等量代换得$PB=PC$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础类题型，重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是合理添加辅助线PA，搭建起PB和PC之间的等量桥梁，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 新考向 情境题 在联欢会上，有A,B,C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜.为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在三角形的 （
A.三边上的中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三边上的高的交点处
B
）A.三边上的中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三条角平分线的交点处
D.三边上的高的交点处
答案
4.B
解析
【分析】
要使游戏公平，需保证凳子到三名选手（即三角形三个顶点）的距离相等，因此我们需要先明确三角形各特殊交点的性质，再判断哪个交点满足到三个顶点距离相等的要求即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三名选手的距离相等，逐一分析选项：
A. 三边上中线的交点是三角形的重心，重心仅满足到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
B. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点A、B、C的距离都相等，符合公平要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题结合生活游戏情境考查几何性质的应用，解题关键是将“游戏公平”的实际要求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的几何条件，需要准确区分三角形不同特殊交点的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要使游戏公平，需保证凳子到三名选手（即三角形三个顶点）的距离相等，因此我们需要先明确三角形各特殊交点的性质，再判断哪个交点满足到三个顶点距离相等的要求即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三名选手的距离相等，逐一分析选项：
A. 三边上中线的交点是三角形的重心，重心仅满足到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
B. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点A、B、C的距离都相等，符合公平要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题结合生活游戏情境考查几何性质的应用，解题关键是将“游戏公平”的实际要求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的几何条件，需要准确区分三角形不同特殊交点的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
5.[2026·淮北期末]如图，在$△ ABC$中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E。若$AB=8$，$AC=4$，则$△ ADE$的周长为（
A.10
B.12
C.14
D.15
B
）A.10
B.12
C.14
D.15
答案
5.B
解析
【分析】
首先解读题中的两个尺规作图的含义：①以A为圆心、AC长为半径作弧可得AD=AC；②过M、N的直线是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EB=ED。再将△ADE的周长进行等量代换，转化为已知长度的线段之和，代入数值即可求出结果。
【解析】
由尺规作图可知：
1. 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于D，因此$AD=AC=4$；
2. 分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两交点M、N所在的直线MN是线段BD的垂直平分线。
∵点E在MN上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴$EB=ED$。
△ADE的周长为：
$C_{△ ADE}=AE+ED+AD$
将$ED=EB$、$AD=AC$代入得：
$C_{△ ADE}=AE+EB+AC=AB+AC$
代入$AB=8$，$AC=4$得：
$C_{△ ADE}=8+4=12$
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图识别
3. 三角形周长计算
【点评】
本题侧重考察尺规作图的含义和线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过作图得到相等线段，对周长进行等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先解读题中的两个尺规作图的含义：①以A为圆心、AC长为半径作弧可得AD=AC；②过M、N的直线是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得EB=ED。再将△ADE的周长进行等量代换，转化为已知长度的线段之和，代入数值即可求出结果。
【解析】
由尺规作图可知：
1. 以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于D，因此$AD=AC=4$；
2. 分别以B、D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$的长为半径作弧，两交点M、N所在的直线MN是线段BD的垂直平分线。
∵点E在MN上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴$EB=ED$。
△ADE的周长为：
$C_{△ ADE}=AE+ED+AD$
将$ED=EB$、$AD=AC$代入得：
$C_{△ ADE}=AE+EB+AC=AB+AC$
代入$AB=8$，$AC=4$得：
$C_{△ ADE}=8+4=12$
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图识别
3. 三角形周长计算
【点评】
本题侧重考察尺规作图的含义和线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过作图得到相等线段，对周长进行等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,3),B(1,1),C(6,1).若P为平面直角坐标系中一点,且PA=PB=PC,则点P的坐标为
$(\frac{7}{2},2)$
.答案
6.$(\frac{7}{2},2)$
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此满足PA=PB=PC的点P是△ABC三边垂直平分线的交点，只需计算其中两条边的垂直平分线的交点即可。观察△ABC的顶点坐标，AB的横坐标相同，是竖直线段，BC的纵坐标相同，是水平线段，这两条线段的垂直平分线计算难度低，因此优先求AB和BC的垂直平分线。
【解析】
解：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
已知A(1,3)，B(1,1)，AB为竖直线段，其中点坐标为$(1,\frac{3+1}{2})=(1,2)$，因此AB的垂直平分线为直线$y=2$。
又
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上。
已知B(1,1)，C(6,1)，BC为水平线段，其中点坐标为$(\frac{1+6}{2},1)=(\frac{7}{2},1)$，因此BC的垂直平分线为直线$x=\frac{7}{2}$。
两条垂直平分线的交点即为点P，联立$x=\frac{7}{2}$和$y=2$，可得点P坐标为$(\frac{7}{2},2)$。
验证：计算得$PA=PB=PC=\frac{\sqrt{29}}{2}$，满足条件，结果正确。
【答案】
$(\frac{7}{2},2)$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，结合平行于坐标轴的线段的特征可简化垂直平分线的求解过程，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先回忆线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此满足PA=PB=PC的点P是△ABC三边垂直平分线的交点，只需计算其中两条边的垂直平分线的交点即可。观察△ABC的顶点坐标，AB的横坐标相同，是竖直线段，BC的纵坐标相同，是水平线段，这两条线段的垂直平分线计算难度低，因此优先求AB和BC的垂直平分线。
【解析】
解：
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
已知A(1,3)，B(1,1)，AB为竖直线段，其中点坐标为$(1,\frac{3+1}{2})=(1,2)$，因此AB的垂直平分线为直线$y=2$。
又
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上。
已知B(1,1)，C(6,1)，BC为水平线段，其中点坐标为$(\frac{1+6}{2},1)=(\frac{7}{2},1)$，因此BC的垂直平分线为直线$x=\frac{7}{2}$。
两条垂直平分线的交点即为点P，联立$x=\frac{7}{2}$和$y=2$，可得点P坐标为$(\frac{7}{2},2)$。
验证：计算得$PA=PB=PC=\frac{\sqrt{29}}{2}$，满足条件，结果正确。
【答案】
$(\frac{7}{2},2)$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是明确到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，结合平行于坐标轴的线段的特征可简化垂直平分线的求解过程，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
7.【教材P135练习T1变式题】如图，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，社区负责人拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你用尺规作图的方法确定文化活动中心（用点D表示）的位置.（不写作法，保留作图痕迹）
答案
7.解:如图,点D即为所求.
解析
【分析】
要确定到A、B、C三个点距离相等的点，可利用线段垂直平分线的性质推导：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先，到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点距离相等，该交点就是所求的文化活动中心D，也可选择作AB和AC、AC和BC的垂直平分线，最终交点一致。
【解析】
依据线段垂直平分线的判定：
1. 任选两条线段（如AB、AC），分别用尺规作出这两条线段的垂直平分线；
2. 两条垂直平分线的交点即为点D，点D到A、B、C三点的距离相等，符合题目要求，作图时保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹即可。
【答案】
解:如图,点D即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题结合生活实际考查线段垂直平分线的应用，解题核心是理解到多个点距离相等的点是对应线段垂直平分线的交点，作图时要保留规范的尺规作图痕迹，不得擦除画弧的标记。
【难度系数】
0.8
要确定到A、B、C三个点距离相等的点，可利用线段垂直平分线的性质推导：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先，到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点就同时满足到A、B、C三点距离相等，该交点就是所求的文化活动中心D，也可选择作AB和AC、AC和BC的垂直平分线，最终交点一致。
【解析】
依据线段垂直平分线的判定：
1. 任选两条线段（如AB、AC），分别用尺规作出这两条线段的垂直平分线；
2. 两条垂直平分线的交点即为点D，点D到A、B、C三点的距离相等，符合题目要求，作图时保留尺规作垂直平分线的圆弧痕迹即可。
【答案】
解:如图,点D即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图
【点评】
本题结合生活实际考查线段垂直平分线的应用，解题核心是理解到多个点距离相等的点是对应线段垂直平分线的交点，作图时要保留规范的尺规作图痕迹，不得擦除画弧的标记。
【难度系数】
0.8
8.【教材P136习题T3变式题】如图，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短，并说明理由.
答案
8.解:如图,分别作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD交OA,OB于点E,F,连接PE,PF.
理由:由作图可知OA,OB分别是PC,PD的垂直平分线,
∴CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF.
根据“两点之间,线段最短”,可得此时走过的路程最短.
解析
【分析】
这是典型的最短路径求解问题，目标是使PE+EF+FP的总路程最短。我们已知“两点之间线段最短”，但所求路径为三段折线，因此需要借助轴对称性质对线段做等量转化，将折线转化为两点之间的连线。首先作点P关于OA的对称点C，此时OA上任意点到P、C的距离相等，即可将PE替换为CE；再作点P关于OB的对称点D，同理可将PF替换为DF，此时总路程转化为CE+EF+DF，要让这个和最小，只需让C、E、F、D四点共线，因此连接CD，与OA、OB的交点就是所求的E、F。
【解析】
作法：
1. 分别作点P关于直线OA的对称点C，关于直线OB的对称点D；
2. 连接CD，分别交OA于点E、交OB于点F；
3. 连接PE、PF，点E、F即为所求的点。
理由：
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA是线段PC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得$CE=PE$；
同理，点P与点D关于OB对称，
∴OB是线段PD的垂直平分线，可得$DF=PF$；
因此总路程$PE+EF+PF=CE+EF+DF$。
根据“两点之间，线段最短”可知，C、D两点之间线段CD的长度最短，因此此时的总路程最短。
【答案】
如图,分别作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD交OA,OB于点E,F,连接PE,PF.
理由:由作图可知OA,OB分别是PC,PD的垂直平分线,
∴CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF.
根据“两点之间,线段最短”,可得此时走过的路程最短.
【知识点】
最短路径作图，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的最短路径应用题型，核心解题思想是转化思想，通过作对称点将折线路径转化为两点间的线段，进而利用线段的性质得到最短路径，掌握对称点的作图方法和线段等量转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
这是典型的最短路径求解问题，目标是使PE+EF+FP的总路程最短。我们已知“两点之间线段最短”，但所求路径为三段折线，因此需要借助轴对称性质对线段做等量转化，将折线转化为两点之间的连线。首先作点P关于OA的对称点C，此时OA上任意点到P、C的距离相等，即可将PE替换为CE；再作点P关于OB的对称点D，同理可将PF替换为DF，此时总路程转化为CE+EF+DF，要让这个和最小，只需让C、E、F、D四点共线，因此连接CD，与OA、OB的交点就是所求的E、F。
【解析】
作法：
1. 分别作点P关于直线OA的对称点C，关于直线OB的对称点D；
2. 连接CD，分别交OA于点E、交OB于点F；
3. 连接PE、PF，点E、F即为所求的点。
理由：
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA是线段PC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得$CE=PE$；
同理，点P与点D关于OB对称，
∴OB是线段PD的垂直平分线，可得$DF=PF$；
因此总路程$PE+EF+PF=CE+EF+DF$。
根据“两点之间，线段最短”可知，C、D两点之间线段CD的长度最短，因此此时的总路程最短。
【答案】
如图,分别作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD交OA,OB于点E,F,连接PE,PF.
理由:由作图可知OA,OB分别是PC,PD的垂直平分线,
∴CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF.
根据“两点之间,线段最短”,可得此时走过的路程最短.
【知识点】
最短路径作图，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是经典的最短路径应用题型，核心解题思想是转化思想，通过作对称点将折线路径转化为两点间的线段，进而利用线段的性质得到最短路径，掌握对称点的作图方法和线段等量转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
