12. 将一个三角形纸片剪开，分成两个三角形，这两个三角形不可能 （）

A.都是直角三角形
B.都是锐角三角形
C.都是钝角三角形
D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形

12.B

【分析】
首先明确：要把一个三角形剪成两个三角形，剪痕必须过原三角形的一个顶点，且与对边相交，两个新三角形在交点处的两个角互为邻补角，和为180°。解题时先从矛盾点入手：如果两个三角形都是锐角三角形，那么它们在交点处的两个内角都得是锐角，两个锐角之和小于180°，和邻补角的性质冲突，即可判断不可能的情况，再逐一验证其余选项是否存在可行实例即可。
【解析】
将一个三角形分成两个三角形时，剪痕过原三角形的一个顶点，与对边交于一点，两个新三角形在交点处的两个角互为邻补角，和为180°。
对各选项逐一分析：
A. 都是直角三角形：直角三角形沿斜边上的高剪开，可得到两个直角三角形，该情况可能，不符合题意；
B. 都是锐角三角形：若两个三角形都是锐角三角形，则它们在交点处的两个内角均为锐角，两个锐角之和小于90°+90°=180°，与邻补角和为180°的性质矛盾，该情况不可能，符合题意；
C. 都是钝角三角形：从钝角三角形的钝角顶点向对边裁剪，可使两个新三角形各含有一个钝角，该情况可能，不符合题意；
D. 一个锐角三角形和一个钝角三角形：从锐角三角形的一个顶点向对边裁剪，可使一个三角形含钝角、另一个三角形所有内角都是锐角，该情况可能，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的分类，邻补角的性质，三角形内角和定理
【点评】
这道题考查三角形相关性质的综合应用，解题核心是抓住两个新三角形在裁剪交点处的角为邻补角这一特征，通过反证法即可快速推导不可能的情况，结合实例验证其余选项更易判断。
【难度系数】
0.7

13.[2026·合肥三十八中期中]如图，B处在A处的南偏西$42°$方向，C处在A处的南偏东$16°$方向，C处在B处的北偏东$72°$方向，则从C处观测A，B两处的视角$∠ ACB$的度数是（）

A.$72°$
B.$82°$
C.$88°$
D.$92°$

13.D

【分析】
解题时首先明确方向角的含义，且图中A处的正南方向线与B处的正北方向线互相平行。第一步先结合已知方向角求出△ABC中∠BAC的度数；第二步利用平行线的内错角相等的性质，求出∠ABC的度数；最后根据三角形内角和为180°，即可计算出∠ACB的度数。
【解析】
1. 计算∠BAC的度数：
已知B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，因此∠BAC = 42° + 16° = 58°。
2. 计算∠ABC的度数：
因为A处的正南方向线与B处的正北方向线平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得B处正北方向线与线段BA的夹角为42°。
又已知C处在B处的北偏东72°方向，因此∠ABC = 72° - 42° = 30°。
3. 计算∠ACB的度数：
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 58° - 30° = 92°。
【答案】
D
【知识点】
方向角识别、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于方向角与三角形角度计算结合的常规题型，解题核心是准确理解方向角的定义，借助平行线的性质转化角度关系，再结合三角形内角和定理即可求解。
【难度系数】
0.7

14.如图，在$△ ABC$中，$M$，$N$分别是边$AB$，$BC$上的点，将$△ BMN$沿$MN$折叠，使点$B$落在点$B'$处.若$∠ B=35°$，$∠ BNM=28°$，则$∠ AMB'$的度数为.

14.$54°$

【分析】
本题是折叠类角度计算问题，解题思路如下：首先利用三角形内角和定理，在已知△BMN两个内角的前提下求出∠BMN的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠B'MN与∠BMN相等；最后结合平角的定义，通过角的和差关系计算出∠AMB'的度数。
【解析】
解：在△BMN中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BMN = 180° - ∠ B - ∠ BNM = 180° - 35° - 28° = 117°$
由折叠的性质可知，△BMN与△B'MN全等，因此对应角相等：
$∠ B'MN = ∠ BMN = 117°$
∵ 点M在AB上，$∠ AMB$为平角，即$∠ AMN + ∠ BMN = 180°$
∴ $∠ AMN = 180° - 117° = 63°$
则$∠ AMB' = ∠ B'MN - ∠ AMN = 117° - 63° = 54°$
【答案】
$54°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和与角的和差关系求解，解题时注意找准折叠前后对应的相等角是关键。
【难度系数】
0.7

15.[新定义问题]在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“三倍角三角形”.
(1)在$△ ABC$中,$∠ A = 35°,∠ B = 40°$,$△ ABC$是“三倍角三角形”吗?为什么?
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”,且$∠ B = 30°$,求$△ ABC$中最小内角的度数.

15.解:(1)$△ABC$是“三倍角三角形”.理由如下:
因为$∠A=35°,∠B=40°$,
所以$∠C=180°-35°-40°=105°$,所以$∠C=3∠A$,
所以$△ABC$是“三倍角三角形”.
(2)因为$∠B=30°$,所以$∠A+∠C=150°$.
设最小内角的度数为$x$.
①当$30°=3x$时,$x=10°$;
②当$x+3x=150°$时,$x=37.5°＞30°$,不符合题意;
③当$x=30°$时,$30°×3=90°$,$180°-30°-90°=60°$,符合题意.
综上所述,$△ABC$中最小内角的度数为$10°$或$30°$.

【分析】
（1）判断三角形是否为“三倍角三角形”，核心是验证三个内角中是否存在一个内角是另一个内角的3倍，因此先利用三角形内角和求出第三个角，再比对倍数关系即可。
（2）已知∠B=30°，求最小内角需分情况讨论：第一种情况是已知的30°为三倍角，可直接求出对应的最小角；第二种情况是剩余两个角构成三倍关系，计算后需验证是否符合“最小内角”的要求；第三种情况是30°本身就是最小内角，此时计算它的三倍角后验证剩余角是否符合条件，最后筛选出所有符合要求的结果。
【解析】
(1)△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-40°=105°，
∴∠C=3∠A，满足“三倍角三角形”的定义，
因此△ABC是“三倍角三角形”。
(2)
∵∠B=30°，
∴∠A+∠C=180°-30°=150°，设最小内角的度数为x，分情况讨论：
①当30°=3x时，解得x=10°，此时剩余内角为180°-30°-10°=140°，10°是最小内角，符合题意；
②当x+3x=150°时，解得x=37.5°，37.5°＞30°，不符合“x是最小内角”的要求，舍去；
③当x=30°时，对应的三倍角为30°×3=90°，剩余内角为180°-30°-90°=60°，30°是最小内角，符合题意。
综上所述，△ABC中最小内角的度数为10°或30°。
【答案】
(1)△ABC是“三倍角三角形”，理由见解析；
(2)最小内角的度数为$10°$或$30°$。
【知识点】
三角形内角和定理，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的应用，解题关键是准确理解“三倍角三角形”的定义，第二问需全面考虑所有可能的三倍角组合，同时注意验证结果是否符合最小内角的要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

16. 核心素养 推理能力【问题情景】如图①，直角三角板 PMN 放置在△ABC 上（点 P 在△ABC 内），两条直角边 PM，PN 恰好分别经过点 B 和点 C.
（1）【特例探究】若∠A = 50°，则∠ABC + ∠ACB = °，∠PBC + ∠PCB = °，∠ABP + ∠ACP = °.
（2）【类比探究】请猜想∠ABP + ∠ACP 与∠A 的数量关系，并说明理由.
（3）【类比延伸】如图②，重新放置直角三角板 PMN，使点 P 在△ABC 外，两条直角边 PM，PN 分别经过点 C 和点 B.（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出新的结论.

16.解:(1)130 90 40
(2)$∠ABP+∠ACP=90°-∠A$.理由如下:
在$△ABC$中,$∠ABC+∠ACB+∠A=180°$,
即$(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)+∠A=180°$.
在$△BCP$中,$∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°$.
所以$(∠ABP+∠ACP)+90°+∠A=180°$.
所以$∠ABP+∠ACP=90°-∠A$.
(3)不成立.新的结论为$∠ACP-∠ABP=90°-∠A$.
【解析】在$△ABC$中,$∠ABC+∠ACB+∠A=180°$,即$(∠PBC-∠ABP)+(∠ACP+∠PCB)+∠A=(∠ACP-∠ABP)+(∠PBC+∠PCB)+∠A=180°$.在$△BCP$中,$∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°$.
所以$(∠ACP-∠ABP)+90°+∠A=180°$.所以$∠ACP-∠ABP=90°-∠A$.

【分析】
(1) 第一问属于特例计算，可直接利用三角形内角和定理求解：先根据△ABC的内角和求∠ABC+∠ACB的度数，再根据直角△PBC的内角和求∠PBC+∠PCB的度数，二者作差即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
(2) 第二问探究一般数量关系，沿用第一问的思路：分别写出△ABC和△PBC的内角和表达式，将∠ABC、∠ACB拆分为含∠ABP、∠ACP的和的形式，代入△ABC内角和公式整理即可得到结论。
(3) 第三问点P在△ABC外，角的拆分关系发生变化，先理清∠ABC、∠ACB与三角板内角的和差关系，再代入两个三角形的内角和公式推导，即可得到新的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠A=50°，由三角形内角和为180°得：
∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°；
△PMN是直角三角板，∠P=90°，在△PBC中：
∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90°；
因此∠ABP+∠ACP=(∠ABC+∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=130°-90°=40°。
(2) 猜想$\boldsymbol{∠ABP+∠ACP=90°-∠A}$，理由如下：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：$∠ABC+∠ACB+∠A=180°$，
将$∠ABC=∠ABP+∠PBC$，$∠ACB=∠ACP+∠PCB$代入上式得：
$(∠ABP+∠ACP)+(∠PBC+∠PCB)+∠A=180°$，
在$Rt△PBC$中，$∠P=90°$，故$∠PBC+∠PCB=180°-∠P=90°$，
代入得：$(∠ABP+∠ACP)+90°+∠A=180°$，
整理得$∠ABP+∠ACP=90°-∠A$。
(3) （2）中的结论不成立，新结论为$\boldsymbol{∠ACP-∠ABP=90°-∠A}$，理由如下：
在△ABC中，$∠ABC+∠ACB+∠A=180°$，
此时$∠ABC=∠PBC-∠ABP$，$∠ACB=∠ACP-∠PCB$，代入得：
$(∠PBC-∠ABP)+(∠ACP-∠PCB)+∠A=180°$，
整理得：$(∠ACP-∠ABP)+(∠PBC+∠PCB)+∠A=180°$，
在$Rt△PBC$中，$∠PBC+∠PCB=90°$，代入得：
$(∠ACP-∠ABP)+90°+∠A=180°$，
整理得$∠ACP-∠ABP=90°-∠A$。
【答案】
(1) 130；90；40
(2) $∠ABP+∠ACP=90°-∠A$，理由见解析
(3) 不成立，新结论为$∠ACP-∠ABP=90°-∠A$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角的和差计算
3. 整体代换思想
【点评】
本题以三角板的摆放为情境，考查三角形内角和定理的应用，需要结合图形准确拆分角度，通过整体代换推导角的数量关系，能有效提升几何分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7