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1.[2026·合肥三十八中期末]用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断直角三角板作△ABC高的作法是否正确，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是该边上的高。判断需满足两个条件：①直角三角板的一条直角边与要作高的边（或其所在直线）重合；②另一条直角边经过这条边所对的顶点。接下来逐一验证选项即可。
【解析】
我们根据三角形高的定义逐一判断：
选项A：直角三角板的直角边既没有与BC所在直线重合，作出的线段也不垂直于BC，不符合高的作法要求，错误；
选项B：直角三角板的直角边没有经过顶点A，无法作出过A且垂直于BC的线段，错误；
选项C：直角三角板的直角边未与BC所在直线对齐重合，作出的线段不垂直于BC，错误；
选项D：直角三角板的一条直角边与BC所在直线重合，另一条直角边经过顶点A，沿该直角边作出的线段就是BC边上的高，作法正确。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形高的定义 2.三角形高的画法
【点评】
本题属于基础作图判断题，核心是对三角形高的定义的理解，解题时只要紧扣“过顶点、垂直对边”两个要点即可快速判断，要注意作钝角三角形边上的高时，可能需要延长对边。
【难度系数】
0.8
要判断直角三角板作△ABC高的作法是否正确，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段就是该边上的高。判断需满足两个条件：①直角三角板的一条直角边与要作高的边（或其所在直线）重合；②另一条直角边经过这条边所对的顶点。接下来逐一验证选项即可。
【解析】
我们根据三角形高的定义逐一判断：
选项A：直角三角板的直角边既没有与BC所在直线重合，作出的线段也不垂直于BC，不符合高的作法要求，错误；
选项B：直角三角板的直角边没有经过顶点A，无法作出过A且垂直于BC的线段，错误；
选项C：直角三角板的直角边未与BC所在直线对齐重合，作出的线段不垂直于BC，错误；
选项D：直角三角板的一条直角边与BC所在直线重合，另一条直角边经过顶点A，沿该直角边作出的线段就是BC边上的高，作法正确。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形高的定义 2.三角形高的画法
【点评】
本题属于基础作图判断题，核心是对三角形高的定义的理解，解题时只要紧扣“过顶点、垂直对边”两个要点即可快速判断，要注意作钝角三角形边上的高时，可能需要延长对边。
【难度系数】
0.8
2.锐角三角形的三条高都位于
三角形内部
，钝角三角形有两
条高位于三角形外部，直角三角形有两条高恰好是它的直角边
。答案
2.三角形内部 两 直角边
解析
【分析】
解题时先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高。再结合锐角、钝角、直角三角形的角的特征，逐一判断高的位置：①锐角三角形所有角都是锐角，作高时垂足都落在线段上，可推出高的位置；②钝角三角形有1个钝角，分析作高时垂足的位置，即可得到外部高的数量；③直角三角形有两条边互相垂直，对应两条高的位置就很明确。
【解析】
根据三角形高的定义，结合三类三角形的特征分析：
1. 锐角三角形的三个内角均小于90°，过任意顶点作对边的高时，垂足都落在对边的线段上，因此三条高都位于三角形内部。
2. 钝角三角形有1个内角大于90°，过两个锐角顶点向对边作高时，垂足落在对边的延长线上，这两条高位于三角形外部，仅钝角顶点对边上的高在内部，因此钝角三角形有2条高在外部。
3. 直角三角形有一个内角为90°，两条直角边互相垂直，过两个锐角顶点向对边作高时，高恰好与另一条直角边重合，因此直角三角形有两条高恰好是它的直角边。
【答案】
三角形内部；两；直角边
【知识点】
三角形的高；三角形的分类
【点评】
本题考查不同类型三角形高的位置特征，属于基础概念考查题，只要准确理解高的定义，结合不同三角形的角的特点就能正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高。再结合锐角、钝角、直角三角形的角的特征，逐一判断高的位置：①锐角三角形所有角都是锐角，作高时垂足都落在线段上，可推出高的位置；②钝角三角形有1个钝角，分析作高时垂足的位置，即可得到外部高的数量；③直角三角形有两条边互相垂直，对应两条高的位置就很明确。
【解析】
根据三角形高的定义，结合三类三角形的特征分析：
1. 锐角三角形的三个内角均小于90°，过任意顶点作对边的高时，垂足都落在对边的线段上，因此三条高都位于三角形内部。
2. 钝角三角形有1个内角大于90°，过两个锐角顶点向对边作高时，垂足落在对边的延长线上，这两条高位于三角形外部，仅钝角顶点对边上的高在内部，因此钝角三角形有2条高在外部。
3. 直角三角形有一个内角为90°，两条直角边互相垂直，过两个锐角顶点向对边作高时，高恰好与另一条直角边重合，因此直角三角形有两条高恰好是它的直角边。
【答案】
三角形内部；两；直角边
【知识点】
三角形的高；三角形的分类
【点评】
本题考查不同类型三角形高的位置特征，属于基础概念考查题，只要准确理解高的定义，结合不同三角形的角的特点就能正确作答。
【难度系数】
0.9
3. 如图，BD为$△ ABC$中边AC上的高.
(1) 画出$△ ABC$中边BC上的高AE；
(2) 若$AC=8$，$BC=4$，$BD=3$，求AE的长.
(1) 画出$△ ABC$中边BC上的高AE；
(2) 若$AC=8$，$BC=4$，$BD=3$，求AE的长.
答案
3.解:(1)如图,AE即为所求。
(2)因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE=\frac{1}{2}AC · BD,AC=8,BC=4,BD=3$,所以$\frac{1}{2}×4×AE=\frac{1}{2}×8×3$,所以AE=6.
解析
【分析】
(1) 画三角形某条边上的高需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。本题中要画BC边上的高，需过点A向BC所在直线作垂线，因△ABC为钝角三角形，BC边上的高落在三角形外部，故延长CB后作垂线即可。
(2) 求AE的长度可使用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，用不同的底和对应高计算得到的面积相等，分别以AC、BC为底写出△ABC的面积表达式，列等式即可求解AE。
【解析】
(1) 过点A作AE垂直于CB的延长线，垂足为E，线段AE就是△ABC中边BC上的高。
(2) 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
以AC为底时，对应高为BD，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BD$；
以BC为底时，对应高为AE，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE$。
因此$\frac{1}{2}BC · AE=\frac{1}{2}AC · BD$，将$AC=8$，$BC=4$，$BD=3$代入得：
$\frac{1}{2}×4×AE=\frac{1}{2}×8×3$
两边同时乘2消去系数$\frac{1}{2}$，得$4AE=24$，解得$AE=6$。
【答案】
(1)如图,AE即为所求。
(2)AE的长为6。
【知识点】
三角形高的定义、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题考查三角形高的作图和等面积法的应用，作图时要注意钝角三角形的部分高线会落在三角形外部，等面积法是求解三角形内高线长度的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 画三角形某条边上的高需依据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。本题中要画BC边上的高，需过点A向BC所在直线作垂线，因△ABC为钝角三角形，BC边上的高落在三角形外部，故延长CB后作垂线即可。
(2) 求AE的长度可使用等面积法：同一个三角形的面积是固定的，用不同的底和对应高计算得到的面积相等，分别以AC、BC为底写出△ABC的面积表达式，列等式即可求解AE。
【解析】
(1) 过点A作AE垂直于CB的延长线，垂足为E，线段AE就是△ABC中边BC上的高。
(2) 根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×对应高$，可得：
以AC为底时，对应高为BD，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BD$；
以BC为底时，对应高为AE，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE$。
因此$\frac{1}{2}BC · AE=\frac{1}{2}AC · BD$，将$AC=8$，$BC=4$，$BD=3$代入得：
$\frac{1}{2}×4×AE=\frac{1}{2}×8×3$
两边同时乘2消去系数$\frac{1}{2}$，得$4AE=24$，解得$AE=6$。
【答案】
(1)如图,AE即为所求。
(2)AE的长为6。
【知识点】
三角形高的定义、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题考查三角形高的作图和等面积法的应用，作图时要注意钝角三角形的部分高线会落在三角形外部，等面积法是求解三角形内高线长度的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
4.关于三角形的三条角平分线，下列说法正确的是（
A.都是直线
B.都是射线
C.都是线段
D.可以是射线或线段
C
）A.都是直线
B.都是射线
C.都是线段
D.可以是射线或线段
答案
4.C
解析
【分析】
解答本题首先要明确普通角的平分线和三角形角平分线的定义差异，思考路径如下：1.先回忆普通角的平分线是射线，而三角形的角平分线是内角平分线与对边相交后，顶点到交点的部分；2.结合直线、射线、线段的特征，逐一判断选项是否符合三角形角平分线的定义即可。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
对各选项逐一判断：
A. 直线没有端点，不符合三角形角平分线有两个端点的特征，错误；
B. 射线只有1个端点，三角形的角平分线有顶点和对边上的交点两个端点，不是射线，错误；
C. 三角形的角平分线是顶点到对边交点的线段，正确；
D. 三角形的角平分线只能是线段，不可能是射线，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形角平分线的定义；直线、射线、线段的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易混淆普通角的平分线和三角形角平分线的属性，牢记相关定义就能准确作答。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确普通角的平分线和三角形角平分线的定义差异，思考路径如下：1.先回忆普通角的平分线是射线，而三角形的角平分线是内角平分线与对边相交后，顶点到交点的部分；2.结合直线、射线、线段的特征，逐一判断选项是否符合三角形角平分线的定义即可。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
对各选项逐一判断：
A. 直线没有端点，不符合三角形角平分线有两个端点的特征，错误；
B. 射线只有1个端点，三角形的角平分线有顶点和对边上的交点两个端点，不是射线，错误；
C. 三角形的角平分线是顶点到对边交点的线段，正确；
D. 三角形的角平分线只能是线段，不可能是射线，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形角平分线的定义；直线、射线、线段的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易混淆普通角的平分线和三角形角平分线的属性，牢记相关定义就能准确作答。
【难度系数】
0.8
5.如图，已知$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，则下列结论错误的是（
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是△ABC的角平分线
D
）A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是△ABC的角平分线
答案
5.D
解析
【分析】
解题核心是掌握三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足“平分三角形内角”“两个端点分别为三角形顶点和对边上的点”两个条件。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个判断选项是否符合定义，最终选出错误结论即可。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
选项A：由∠1=∠2可知BD平分∠ABC，且BD与AC交于点D，端点B、D分别是△ABC的顶点和AC边上的点，符合△ABC角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项B：由∠3=∠4可知CE平分∠BCD，且CE与BD交于点E，端点C、E分别是△BCD的顶点和BD边上的点，符合△BCD角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项C：因为∠ACB=∠3+∠4，且∠3=∠4，因此∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，该结论正确，不符合题意。
选项D：CE的端点E在BD上，不是△ABC的AB边上的点，不满足三角形角平分线的端点要求，因此CE不是△ABC的角平分线，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的角平分线定义，角的和差计算
【点评】
本题容易出错的点是混淆普通角的平分线和三角形的角平分线，要注意三角形的角平分线是三角形的特殊线段，端点有明确要求，不能只看是否平分内角。
【难度系数】
0.75
解题核心是掌握三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足“平分三角形内角”“两个端点分别为三角形顶点和对边上的点”两个条件。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个判断选项是否符合定义，最终选出错误结论即可。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
选项A：由∠1=∠2可知BD平分∠ABC，且BD与AC交于点D，端点B、D分别是△ABC的顶点和AC边上的点，符合△ABC角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项B：由∠3=∠4可知CE平分∠BCD，且CE与BD交于点E，端点C、E分别是△BCD的顶点和BD边上的点，符合△BCD角平分线的定义，该结论正确，不符合题意。
选项C：因为∠ACB=∠3+∠4，且∠3=∠4，因此∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，该结论正确，不符合题意。
选项D：CE的端点E在BD上，不是△ABC的AB边上的点，不满足三角形角平分线的端点要求，因此CE不是△ABC的角平分线，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的角平分线定义，角的和差计算
【点评】
本题容易出错的点是混淆普通角的平分线和三角形的角平分线，要注意三角形的角平分线是三角形的特殊线段，端点有明确要求，不能只看是否平分内角。
【难度系数】
0.75
6.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=47°$，$∠ C=23°$，AD是$△ ABC$的角平分线，则$∠ CAD$的度数为
55°
。答案
6.55°
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，角平分线会将一个角分成两个相等的角，可知∠CAD的度数为∠BAC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 47° - 23° = 110°$
∵AD是△ABC的角平分线
∴$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 110° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，结合三角形内角和性质与角平分线的定义进行考察，计算难度低，掌握相关基础概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，角平分线会将一个角分成两个相等的角，可知∠CAD的度数为∠BAC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 47° - 23° = 110°$
∵AD是△ABC的角平分线
∴$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 110° = 55°$
【答案】
$55°$
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，结合三角形内角和性质与角平分线的定义进行考察，计算难度低，掌握相关基础概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.三角形的重心是 （
A.三条角平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.以上都不正确
C
）A.三条角平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.以上都不正确
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查三角形特殊交点的概念辨析，解题时只需逐一回忆各选项对应的交点名称，匹配重心的定义即可得出答案。首先要明确三角形中不同重要线段的交点对应的专属名称，再逐个排查选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，不是重心，故A错误；
B. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不是重心，故B错误；
C. 根据三角形重心的定义，三条中线的交点就是三角形的重心，故C正确；
D. 因为C选项正确，所以D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心定义；三角形特殊线段交点
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对三角形各类特殊交点的记忆与区分，牢记相关定义就能快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形特殊交点的概念辨析，解题时只需逐一回忆各选项对应的交点名称，匹配重心的定义即可得出答案。首先要明确三角形中不同重要线段的交点对应的专属名称，再逐个排查选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，不是重心，故A错误；
B. 三角形三条高的交点是三角形的垂心，不是重心，故B错误；
C. 根据三角形重心的定义，三条中线的交点就是三角形的重心，故C正确；
D. 因为C选项正确，所以D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心定义；三角形特殊线段交点
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对三角形各类特殊交点的记忆与区分，牢记相关定义就能快速得分。
【难度系数】
0.9
8.如图，$BD=DE=EC$，则线段$AE$是
$△ ACD$
的中线，线段$AD$是$△ ABE$
的中线；若$△ ABD$的面积为1，则$△ ACE$的面积为1
。答案
8.$△ ACD$ $△ ABE$ 1
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的定义：三角形中连接一个顶点和它对边中点的线段是三角形的中线，再结合已知BD=DE=EC判断各点对应的边中点，就能确定AE、AD分别是哪个三角形的中线；求面积时利用“等底同高的三角形面积相等”的性质，结合已知△ABD的面积即可求出△ACE的面积。
【解析】
1. 确定AE所属的中线：
已知BD=DE=EC，可得DE=EC，即E是边CD的中点，根据三角形中线的定义，线段AE是△ACD的中线。
2. 确定AD所属的中线：
由BD=DE可知，D是边BE的中点，根据三角形中线的定义，线段AD是△ABE的中线。
3. 计算△ACE的面积：
过点A作BC边上的高h，△ABD、△ACE的高均为h。
△ABD的面积$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × BD × h=1$，
又因为EC=BD，所以$S_{△ACE}=\frac{1}{2} × EC × h=\frac{1}{2} × BD × h=1$。
【答案】
$△ ACD$；$△ ABE$；1
【知识点】
三角形中线定义；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题侧重考查三角形中线的基础概念和面积相关性质，解题核心是准确识别线段中点对应的三角形对边，掌握等底同高的三角形面积相等的规律，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形中线的定义：三角形中连接一个顶点和它对边中点的线段是三角形的中线，再结合已知BD=DE=EC判断各点对应的边中点，就能确定AE、AD分别是哪个三角形的中线；求面积时利用“等底同高的三角形面积相等”的性质，结合已知△ABD的面积即可求出△ACE的面积。
【解析】
1. 确定AE所属的中线：
已知BD=DE=EC，可得DE=EC，即E是边CD的中点，根据三角形中线的定义，线段AE是△ACD的中线。
2. 确定AD所属的中线：
由BD=DE可知，D是边BE的中点，根据三角形中线的定义，线段AD是△ABE的中线。
3. 计算△ACE的面积：
过点A作BC边上的高h，△ABD、△ACE的高均为h。
△ABD的面积$S_{△ABD}=\frac{1}{2} × BD × h=1$，
又因为EC=BD，所以$S_{△ACE}=\frac{1}{2} × EC × h=\frac{1}{2} × BD × h=1$。
【答案】
$△ ACD$；$△ ABE$；1
【知识点】
三角形中线定义；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题侧重考查三角形中线的基础概念和面积相关性质，解题核心是准确识别线段中点对应的三角形对边，掌握等底同高的三角形面积相等的规律，是对三角形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
9.【教材P72习题T4变式题】如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3.若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为
9
。答案
9.9
解析
【分析】
首先根据三角形中线的定义，可得BD=CD，对比△ABD和△ACD的周长组成，两个三角形共享边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差仅为AB与AC的差。已知△ACD的周长，可先求出AD+CD的长度，再代入△ABD的周长公式计算即可。
【解析】
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∵△ACD的周长为8，AC=3
∴AC + CD + AD = 8，即3 + CD + AD = 8
解得CD + AD = 5
△ABD的周长 = AB + BD + AD
又
∵BD=CD
∴△ABD的周长 = AB + (CD + AD) = 4 + 5 = 9
【答案】
9
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题考查三角形中线的应用，解题核心是利用中线得到相等的边，通过分析两个三角形周长的公共部分简化运算，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先根据三角形中线的定义，可得BD=CD，对比△ABD和△ACD的周长组成，两个三角形共享边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差仅为AB与AC的差。已知△ACD的周长，可先求出AD+CD的长度，再代入△ABD的周长公式计算即可。
【解析】
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∵△ACD的周长为8，AC=3
∴AC + CD + AD = 8，即3 + CD + AD = 8
解得CD + AD = 5
△ABD的周长 = AB + BD + AD
又
∵BD=CD
∴△ABD的周长 = AB + (CD + AD) = 4 + 5 = 9
【答案】
9
【知识点】
三角形中线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题考查三角形中线的应用，解题核心是利用中线得到相等的边，通过分析两个三角形周长的公共部分简化运算，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
逆向变式
如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，$△ ACD$的周长比$△ ABD$的周长多5 cm，AB=4 cm，则AC的长为
如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线，$△ ACD$的周长比$△ ABD$的周长多5 cm，AB=4 cm，则AC的长为
9
cm。答案
[逆向变式] 9
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质得到BD=CD，再分别表示出两个三角形的周长，通过作差消去相等的线段（AD、BD与CD），即可得到AC与AB的长度差，结合已知AB的长度就能求出AC的长。
【解析】
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
△ACD的周长为：$AC + CD + AD$，
△ABD的周长为：$AB + BD + AD$，
由题意得：$C_{△ ACD} - C_{△ ABD} = 5\mathrm{cm}$，
代入周长公式化简可得：
$(AC + CD + AD) - (AB + BD + AD) = AC - AB = 5\mathrm{cm}$，
∵AB=4cm，
∴$AC = AB + 5\mathrm{cm} = 4 + 5 = 9\mathrm{cm}$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用中线得到相等线段，通过周长作差简化计算，避免冗余运算，考查对基础概念的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用三角形中线的性质得到BD=CD，再分别表示出两个三角形的周长，通过作差消去相等的线段（AD、BD与CD），即可得到AC与AB的长度差，结合已知AB的长度就能求出AC的长。
【解析】
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
△ACD的周长为：$AC + CD + AD$，
△ABD的周长为：$AB + BD + AD$，
由题意得：$C_{△ ACD} - C_{△ ABD} = 5\mathrm{cm}$，
代入周长公式化简可得：
$(AC + CD + AD) - (AB + BD + AD) = AC - AB = 5\mathrm{cm}$，
∵AB=4cm，
∴$AC = AB + 5\mathrm{cm} = 4 + 5 = 9\mathrm{cm}$。
【答案】
9
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是利用中线得到相等线段，通过周长作差简化计算，避免冗余运算，考查对基础概念的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
10.[2026·合肥四十二中期中]在$△ ABC$中，AD为边BC上的高，$∠ ABC=40°$，$∠ CAD=15°$，则$∠ BAC$的度数为
65°或35°
。答案
10.65°或35°
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，AD是BC边上的高，垂足D的位置存在两种情况：①垂足D在线段BC上，此时△ABC为锐角三角形；②垂足D在线段BC的延长线上，此时△ABC为钝角三角形。我们需要分两类讨论，结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理计算∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况求解：
情况1：当垂足D在线段BC上时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD=15°，
∴∠C=90°-∠CAD=90°-15°=75°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-75°=65°；
情况2：当垂足D在线段BC的延长线上时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD=15°，
∴∠ACD=90°-∠CAD=90°-15°=75°，
此时∠ACB与∠ACD互为邻补角，
∴∠ACB=180°-∠ACD=105°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-105°=35°；
综上，∠BAC的度数为65°或35°。
【答案】
65°或35°
【知识点】
三角形的高的定义；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是常见的易错题，常因忽略高在三角形外部的情况导致漏解，遇到未明确形状的三角形相关问题时，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
本题未明确△ABC的形状，AD是BC边上的高，垂足D的位置存在两种情况：①垂足D在线段BC上，此时△ABC为锐角三角形；②垂足D在线段BC的延长线上，此时△ABC为钝角三角形。我们需要分两类讨论，结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理计算∠BAC的度数。
【解析】
分两种情况求解：
情况1：当垂足D在线段BC上时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD=15°，
∴∠C=90°-∠CAD=90°-15°=75°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-75°=65°；
情况2：当垂足D在线段BC的延长线上时，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD=15°，
∴∠ACD=90°-∠CAD=90°-15°=75°，
此时∠ACB与∠ACD互为邻补角，
∴∠ACB=180°-∠ACD=105°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-40°-105°=35°；
综上，∠BAC的度数为65°或35°。
【答案】
65°或35°
【知识点】
三角形的高的定义；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是常见的易错题，常因忽略高在三角形外部的情况导致漏解，遇到未明确形状的三角形相关问题时，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
