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10.(易错题)在分式$\frac{x+a}{3x-1}$中，当$x=-a$时，下列说法正确的是（
A.分式的值为0
B.分式无意义
C.当$a≠-\frac{1}{3}$时，分式的值为0
D.当$a≠\frac{1}{3}$时，分式的值为0
C
）A.分式的值为0
B.分式无意义
C.当$a≠-\frac{1}{3}$时，分式的值为0
D.当$a≠\frac{1}{3}$时，分式的值为0
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先要明确分式值为0的核心要求：需要同时满足两个条件，一是分子的值为0，二是分母的值不为0（分母为0时分式无意义，不存在值）。我们先将x=-a代入分子判断分子是否为0，再代入分母求出分母不为0时a的取值范围，结合两个条件就能判断正确选项，注意不要忽略分母不为0的前提，避免误选。
【解析】
分式的值为0需同时满足：分子为0，且分母不为0。
1. 把x=-a代入分子：$x+a=-a+a=0$，已经满足分子为0的条件；
2. 把x=-a代入分母：$3x-1=3×(-a)-1=-3a-1$，若分式有意义，则分母不能为0，列不等式：
$-3a-1≠0$
解得：$a≠-\frac{1}{3}$
因此只有当$a≠-\frac{1}{3}$时，分式的值为0，对应选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式模块的经典易错题，很多同学容易只看分子为0就直接判定分式值为0，忽略分母不为0的前提。解决所有分式相关的判断、求值问题时，都要优先确认分式有意义，即分母不为0，再做后续分析。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确分式值为0的核心要求：需要同时满足两个条件，一是分子的值为0，二是分母的值不为0（分母为0时分式无意义，不存在值）。我们先将x=-a代入分子判断分子是否为0，再代入分母求出分母不为0时a的取值范围，结合两个条件就能判断正确选项，注意不要忽略分母不为0的前提，避免误选。
【解析】
分式的值为0需同时满足：分子为0，且分母不为0。
1. 把x=-a代入分子：$x+a=-a+a=0$，已经满足分子为0的条件；
2. 把x=-a代入分母：$3x-1=3×(-a)-1=-3a-1$，若分式有意义，则分母不能为0，列不等式：
$-3a-1≠0$
解得：$a≠-\frac{1}{3}$
因此只有当$a≠-\frac{1}{3}$时，分式的值为0，对应选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式模块的经典易错题，很多同学容易只看分子为0就直接判定分式值为0，忽略分母不为0的前提。解决所有分式相关的判断、求值问题时，都要优先确认分式有意义，即分母不为0，再做后续分析。
【难度系数】
0.6
11.(易错题)当$x$取何值时，分式$\frac{6-2|x|}{(x+3)(x-1)}$满足下列要求：
(1)值为零；(2)无意义；(3)有意义。
(1)值为零；(2)无意义；(3)有意义。
答案
11.(1)由题意，得$\begin{cases}6-2|x|=0,\\(x+3)(x-1)≠0,\end{cases}$解得$x=3$，
∴当$x=3$时分式的值为0 (2)由分式无意义的条件可知$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=-3$或$x=1$，
∴当$x=-3$或$x=1$时，分式无意义 (3)由(2)可知，当$x≠-3$且$x≠1$时，分式有意义
∴当$x=3$时分式的值为0 (2)由分式无意义的条件可知$(x+3)(x-1)=0$，解得$x=-3$或$x=1$，
∴当$x=-3$或$x=1$时，分式无意义 (3)由(2)可知，当$x≠-3$且$x≠1$时，分式有意义
解析
【分析】
（1）要使分式的值为0，需同时满足两个条件：分子的值为0，且分母的值不为0，两个条件缺一不可。我们先求解分子为0时x的取值，再验证这些取值是否满足分母不为0，排除不符合的解即可。
（2）分式无意义的条件是分母的值为0，直接令分母的表达式等于0，解方程得到对应的x值即可。
（3）分式有意义的条件是分母的值不为0，取第（2）问解的反面即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据分式值为0的条件列方程组：
$\begin{cases}6-2|x|=0,\\(x+3)(x-1)≠0,\end{cases}$
解分子方程$6-2|x|=0$，得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$；
结合分母不为0的条件，得$x≠-3$且$x≠1$，排除$x=-3$，最终得$x=3$。
∴当$x=3$时，分式的值为0。
(2) 分式无意义时，分母等于0，即：
$(x+3)(x-1)=0$
解得$x=-3$或$x=1$。
∴当$x=-3$或$x=1$时，分式无意义。
(3) 分式有意义时，分母不等于0，结合(2)的结果，得$x≠-3$且$x≠1$。
∴当$x≠-3$且$x≠1$时，分式有意义。
【答案】
(1) $x=3$；(2) $x=-3$或$x=1$；(3) $x≠-3$且$x≠1$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 分式有无意义的判定
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题是分式概念的基础易错题，易错点为求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不为0的限制条件，误将$x=-3$作为符合要求的解。解题时需牢记分式相关的判定条件，多个限制条件要同时满足，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
（1）要使分式的值为0，需同时满足两个条件：分子的值为0，且分母的值不为0，两个条件缺一不可。我们先求解分子为0时x的取值，再验证这些取值是否满足分母不为0，排除不符合的解即可。
（2）分式无意义的条件是分母的值为0，直接令分母的表达式等于0，解方程得到对应的x值即可。
（3）分式有意义的条件是分母的值不为0，取第（2）问解的反面即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据分式值为0的条件列方程组：
$\begin{cases}6-2|x|=0,\\(x+3)(x-1)≠0,\end{cases}$
解分子方程$6-2|x|=0$，得$|x|=3$，即$x=3$或$x=-3$；
结合分母不为0的条件，得$x≠-3$且$x≠1$，排除$x=-3$，最终得$x=3$。
∴当$x=3$时，分式的值为0。
(2) 分式无意义时，分母等于0，即：
$(x+3)(x-1)=0$
解得$x=-3$或$x=1$。
∴当$x=-3$或$x=1$时，分式无意义。
(3) 分式有意义时，分母不等于0，结合(2)的结果，得$x≠-3$且$x≠1$。
∴当$x≠-3$且$x≠1$时，分式有意义。
【答案】
(1) $x=3$；(2) $x=-3$或$x=1$；(3) $x≠-3$且$x≠1$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 分式有无意义的判定
3. 绝对值方程求解
【点评】
本题是分式概念的基础易错题，易错点为求解分式值为0的问题时，容易忽略分母不为0的限制条件，误将$x=-3$作为符合要求的解。解题时需牢记分式相关的判定条件，多个限制条件要同时满足，避免漏项出错。
【难度系数】
0.7
12. 新考向 代数推理 已知当$x=1$时，分式$\frac{x+2b}{x-a}$无意义；当$x=4$时，分式的值为0，求$a+b$的值。
答案
12.
∵当$x=1$时，分式无意义，
∴$1-a=0$，
∴$a=1$.
∵当$x=4$时，分式的值为0，
∴$4+2b=0$，
∴$b=-2$，
∴$a+b=1-2=-1$
∵当$x=1$时，分式无意义，
∴$1-a=0$，
∴$a=1$.
∵当$x=4$时，分式的值为0，
∴$4+2b=0$，
∴$b=-2$，
∴$a+b=1-2=-1$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到分式的两个基本性质：第一，分式无意义时，它的分母等于0；第二，分式的值为0时，需要同时满足分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=1时分式无意义的条件求出a的值，再根据x=4时分式值为0的条件求出b的值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵当$x=1$时，分式$\frac{x+2b}{x-a}$无意义，
∴$1-a=0$，
解得$a=1$。
∵当$x=4$时，分式的值为0，
∴$4+2b=0$，
解得$b=-2$，
∴$a+b=1-2=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础的代数推理题，核心考查分式的相关性质，解题时要注意分式值为0的条件有两个，不要遗漏分母不为0的隐含要求，避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要用到分式的两个基本性质：第一，分式无意义时，它的分母等于0；第二，分式的值为0时，需要同时满足分子等于0，且分母不等于0。我们先根据x=1时分式无意义的条件求出a的值，再根据x=4时分式值为0的条件求出b的值，最后代入计算a+b即可。
【解析】
解：
∵当$x=1$时，分式$\frac{x+2b}{x-a}$无意义，
∴$1-a=0$，
解得$a=1$。
∵当$x=4$时，分式的值为0，
∴$4+2b=0$，
解得$b=-2$，
∴$a+b=1-2=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式无意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题属于基础的代数推理题，核心考查分式的相关性质，解题时要注意分式值为0的条件有两个，不要遗漏分母不为0的隐含要求，避免出错。
【难度系数】
0.8
13.(发散思维)学完分式的概念后，老师出了一道题:当m取哪些整数时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数?
小芳的解答如下:当$m-1=1,2,4$，即$m=2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数.
小芳的解答对吗？如果不对，请改正.
小芳的解答如下:当$m-1=1,2,4$，即$m=2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数.
小芳的解答对吗？如果不对，请改正.
答案
13.不对.当$m-1=±1,±2,±4$，即$m=-3,-1,0,2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数
解析
【分析】
要使分式$\frac{4}{m-1}$的值为整数，需满足分母$m-1$是分子4的整数因数，整数因数既包含正因数，也包含负因数。小芳的解答仅考虑了正因数，遗漏了负因数，因此解答错误。解题时先找出4的所有整数因数，再分别列方程求解对应的m的整数值即可。
【解析】
小芳的解答不对，理由如下：
若分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数，则$m-1$必须是4的所有整数约数，4的整数约数有$\pm1,\pm2,\pm4$。
分别计算对应的m值：
当$m-1=1$时，$m=2$；
当$m-1=-1$时，$m=0$；
当$m-1=2$时，$m=3$；
当$m-1=-2$时，$m=-1$；
当$m-1=4$时，$m=5$；
当$m-1=-4$时，$m=-3$。
综上，当$m=-3,-1,0,2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数。
【答案】
不对.当$m-1=±1,±2,±4$，即$m=-3,-1,0,2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数
【知识点】
1.分式的概念 2.整数的因数
【点评】
本题是分式概念的拓展应用，解题时容易遗漏负因数的情况，需要全面考虑整数的正负性，有助于培养分类讨论的严谨思维习惯。
【难度系数】
0.6
要使分式$\frac{4}{m-1}$的值为整数，需满足分母$m-1$是分子4的整数因数，整数因数既包含正因数，也包含负因数。小芳的解答仅考虑了正因数，遗漏了负因数，因此解答错误。解题时先找出4的所有整数因数，再分别列方程求解对应的m的整数值即可。
【解析】
小芳的解答不对，理由如下：
若分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数，则$m-1$必须是4的所有整数约数，4的整数约数有$\pm1,\pm2,\pm4$。
分别计算对应的m值：
当$m-1=1$时，$m=2$；
当$m-1=-1$时，$m=0$；
当$m-1=2$时，$m=3$；
当$m-1=-2$时，$m=-1$；
当$m-1=4$时，$m=5$；
当$m-1=-4$时，$m=-3$。
综上，当$m=-3,-1,0,2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数。
【答案】
不对.当$m-1=±1,±2,±4$，即$m=-3,-1,0,2,3,5$时，分式$\frac{4}{m-1}$的值是整数
【知识点】
1.分式的概念 2.整数的因数
【点评】
本题是分式概念的拓展应用，解题时容易遗漏负因数的情况，需要全面考虑整数的正负性，有助于培养分类讨论的严谨思维习惯。
【难度系数】
0.6
14.(初高中衔接)阅读下面材料后,解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.
如:$\frac{x-2}{x+1}＞0$;$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢?根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.用字母表示为:
(1)若$a＞0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＞0$;若$a＜0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＞0$;(2)若$a＞0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＜0$;若$a＜0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＜0$;反之:①若$\frac{a}{b}＞0$,则$\begin{cases}a＞0, \\ b＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0, \\ b＜0;\end{cases}$②若$\frac{a}{b}＜0$,则 ______ 或 ______ .
根据上述规律,求不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集.
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.
如:$\frac{x-2}{x+1}＞0$;$\frac{2x+3}{x-1}＜0$等.那么如何求出它们的解集呢?根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.用字母表示为:
(1)若$a＞0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＞0$;若$a＜0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＞0$;(2)若$a＞0,b＜0$,则$\frac{a}{b}＜0$;若$a＜0,b＞0$,则$\frac{a}{b}＜0$;反之:①若$\frac{a}{b}＞0$,则$\begin{cases}a＞0, \\ b＞0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0, \\ b＜0;\end{cases}$②若$\frac{a}{b}＜0$,则 ______ 或 ______ .
根据上述规律,求不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集.
答案
14.$\begin{cases}a＞0,\\b＜0\end{cases}$；$\begin{cases}a＜0,\\b＞0\end{cases}$ 由题中规律可知$\begin{cases}x-2＞0,\\x+1＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\x+1＜0,\end{cases}$
∴$x＞2$或$x＜-1$
∴$x＞2$或$x＜-1$
解析
【分析】
首先根据有理数除法“异号得负”的运算规律，填写$\frac{a}{b}＜0$对应的两种不等式组情况；求解分式不等式时，由于分母正负不确定，不能直接去分母，可类比材料给出的$\frac{a}{b}＞0$的转化思路，将分子、分母分别对应$a$、$b$，把分式不等式拆分为两个一元一次不等式组，分别求解两个不等式组的解集后合并，即可得到原分式不等式的解集。
【解析】
1. 填写空白：根据“两数相除，异号得负”，若$\frac{a}{b}＜0$，则$a$与$b$符号相反，即$\begin{cases}a＞0,\\b＜0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0,\\b＞0\end{cases}$。
2. 求解不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$：
将分子$x-2$看作$a$，分母$x+1$看作$b$，根据$\frac{a}{b}＞0$的规律可得两种情况：
① $\begin{cases}x-2＞0, \\ x+1＞0\end{cases}$，解$x-2＞0$得$x＞2$，解$x+1＞0$得$x＞-1$，取公共解集为$x＞2$；
② $\begin{cases}x-2＜0, \\ x+1＜0\end{cases}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，解$x+1＜0$得$x＜-1$，取公共解集为$x＜-1$。
综上，合并两种情况的解集得到原不等式的最终解集。
【答案】
$\begin{cases}a＞0,\\b＜0\end{cases}$；$\begin{cases}a＜0,\\b＞0\end{cases}$；不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集为$x＞2$或$x＜-1$
【知识点】
有理数除法符号法则；分式不等式求解；一元一次不等式组解法
【点评】
本题为材料阅读类题型，通过给定的有理数除法符号规律，引导学生将陌生的分式不等式转化为已掌握的一元一次不等式组求解，重点考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据有理数除法“异号得负”的运算规律，填写$\frac{a}{b}＜0$对应的两种不等式组情况；求解分式不等式时，由于分母正负不确定，不能直接去分母，可类比材料给出的$\frac{a}{b}＞0$的转化思路，将分子、分母分别对应$a$、$b$，把分式不等式拆分为两个一元一次不等式组，分别求解两个不等式组的解集后合并，即可得到原分式不等式的解集。
【解析】
1. 填写空白：根据“两数相除，异号得负”，若$\frac{a}{b}＜0$，则$a$与$b$符号相反，即$\begin{cases}a＞0,\\b＜0\end{cases}$或$\begin{cases}a＜0,\\b＞0\end{cases}$。
2. 求解不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$：
将分子$x-2$看作$a$，分母$x+1$看作$b$，根据$\frac{a}{b}＞0$的规律可得两种情况：
① $\begin{cases}x-2＞0, \\ x+1＞0\end{cases}$，解$x-2＞0$得$x＞2$，解$x+1＞0$得$x＞-1$，取公共解集为$x＞2$；
② $\begin{cases}x-2＜0, \\ x+1＜0\end{cases}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，解$x+1＜0$得$x＜-1$，取公共解集为$x＜-1$。
综上，合并两种情况的解集得到原不等式的最终解集。
【答案】
$\begin{cases}a＞0,\\b＜0\end{cases}$；$\begin{cases}a＜0,\\b＞0\end{cases}$；不等式$\frac{x-2}{x+1}＞0$的解集为$x＞2$或$x＜-1$
【知识点】
有理数除法符号法则；分式不等式求解；一元一次不等式组解法
【点评】
本题为材料阅读类题型，通过给定的有理数除法符号规律，引导学生将陌生的分式不等式转化为已掌握的一元一次不等式组求解，重点考查阅读理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
