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11.若分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{5}{2x-a}$的解为$x=2$，则$a$的值是（
A.1
B.2
C.－1
D.－2
C
）A.1
B.2
C.－1
D.－2
答案
11.C
解析
【分析】
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题核心是利用分式方程解的定义：使分式方程左右两边相等的未知数的值，将x=2代入原分式方程，即可得到只含有a的一元一次方程，求解该方程就能得到a的值，最后验证分母不为0确保结果有效即可。
【解析】
∵x=2是分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{5}{2x-a}$的解
∴将x=2代入方程，等式成立，得：
$\frac{1}{2-1}=\frac{5}{2×2 -a}$
化简得：$1=\frac{5}{4 - a}$
方程两边同时乘以$(4 - a)$（$4 - a≠0$），得：
$4 - a = 5$
移项计算得：$-a = 5 - 4$，即$-a=1$
解得：$a=-1$
验证：当$a=-1$时，原方程分母$x-1=2-1=1≠0$，$2x-a=4 - (-1)=5≠0$，符合分式有意义的条件，结果成立。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解的含义，将已知解代入原方程把问题转化为求一元一次方程的解，计算时注意移项要变号，同时要记得分式方程分母不能为0，保证结果的有效性。
【难度系数】
0.8
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题核心是利用分式方程解的定义：使分式方程左右两边相等的未知数的值，将x=2代入原分式方程，即可得到只含有a的一元一次方程，求解该方程就能得到a的值，最后验证分母不为0确保结果有效即可。
【解析】
∵x=2是分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{5}{2x-a}$的解
∴将x=2代入方程，等式成立，得：
$\frac{1}{2-1}=\frac{5}{2×2 -a}$
化简得：$1=\frac{5}{4 - a}$
方程两边同时乘以$(4 - a)$（$4 - a≠0$），得：
$4 - a = 5$
移项计算得：$-a = 5 - 4$，即$-a=1$
解得：$a=-1$
验证：当$a=-1$时，原方程分母$x-1=2-1=1≠0$，$2x-a=4 - (-1)=5≠0$，符合分式有意义的条件，结果成立。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解的定义；解一元一次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确方程的解的含义，将已知解代入原方程把问题转化为求一元一次方程的解，计算时注意移项要变号，同时要记得分式方程分母不能为0，保证结果的有效性。
【难度系数】
0.8
12.(易错题)已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x-1} - 3 = \frac{k}{1-x}$的解为正数，则$k$的取值范围为（
A.$-3＜k＜0$
B.$k＞-3$且$k≠-1$
C.$k＞-3$
D.$k＜3$且$k≠1$
B
）A.$-3＜k＜0$
B.$k＞-3$且$k≠-1$
C.$k＞-3$
D.$k＜3$且$k≠1$
答案
12.B
解析
【分析】
要解决这道题，可按三步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含k的代数式表示出x；②根据“方程的解为正数”列不等式，求出k的初步范围；③注意分式方程分母不能为0，即解不能是使原方程分母为0的增根，据此补充限制条件，最终得到k的完整取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$）：
$x - 3(x-1) = -k$
展开并整理整式方程：
$x - 3x + 3 = -k \\-2x = -k - 3 \x = \frac{k+3}{2}$
已知方程的解为正数，因此：
$\frac{k+3}{2} ＞ 0$
解得：$k ＞ -3$
又因为原分式方程分母不能为0，即解不能为增根$x=1$，因此：
$\frac{k+3}{2} ≠ 1$
解得：$k ≠ -1$
综上，k的取值范围是$k ＞ -3$且$k ≠ -1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，一元一次不等式解法
【点评】
本题是分式方程的典型易错题，解题时容易忽略分式方程分母不为0的要求，漏掉$k≠-1$的限制条件，因此求解含参数的分式方程问题时，一定要记得检验增根。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，可按三步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含k的代数式表示出x；②根据“方程的解为正数”列不等式，求出k的初步范围；③注意分式方程分母不能为0，即解不能是使原方程分母为0的增根，据此补充限制条件，最终得到k的完整取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$）：
$x - 3(x-1) = -k$
展开并整理整式方程：
$x - 3x + 3 = -k \\-2x = -k - 3 \x = \frac{k+3}{2}$
已知方程的解为正数，因此：
$\frac{k+3}{2} ＞ 0$
解得：$k ＞ -3$
又因为原分式方程分母不能为0，即解不能为增根$x=1$，因此：
$\frac{k+3}{2} ≠ 1$
解得：$k ≠ -1$
综上，k的取值范围是$k ＞ -3$且$k ≠ -1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，一元一次不等式解法
【点评】
本题是分式方程的典型易错题，解题时容易忽略分式方程分母不为0的要求，漏掉$k≠-1$的限制条件，因此求解含参数的分式方程问题时，一定要记得检验增根。
【难度系数】
0.6
13.解分式方程：
(1)(镇江中考)$\frac{2}{x-2}=\frac{1+x}{x-2}+1$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$。
(1)(镇江中考)$\frac{2}{x-2}=\frac{1+x}{x-2}+1$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$。
答案
13.(1)方程两边乘$(x-2)$,得$2=1+x+x-2$,解得$x=\frac{3}{2}$,检验:当$x=\frac{3}{2}$时,$x-2≠0$,$∴$原分式方程的解为$x=\frac{3}{2}$
(2)方程两边乘$(x^2-1)$,得$x^2+2x+1-4=x^2-1$,解得$x=1$,检验:当$x=1$时,$x^2-1=0$,$∴x=1$不是原方程的解,$∴$原分式方程无解
(2)方程两边乘$(x^2-1)$,得$x^2+2x+1-4=x^2-1$,解得$x=1$,检验:当$x=1$时,$x^2-1=0$,$∴x=1$不是原方程的解,$∴$原分式方程无解
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根，步骤如下：1. 找最简公分母，明确分母不为0的隐含条件；2. 方程两边同乘最简公分母（所有项包括常数项都要乘），消去分母得到整式方程；3. 解整式方程；4. 验根：将所求的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，原方程无解。第(1)题最简公分母为$(x-2)$，去分母时注意常数项1也要乘$(x-2)$；第(2)题先将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$x^2-1$，解完后务必检验。
【解析】
(1) 方程两边乘最简公分母$(x-2)$，得：
$2=1+x + x-2$
移项、合并同类项得：$2x=3$
解得：$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x-2≠0$，故$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
(2) 先因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边乘最简公分母$(x^2-1)$，得：
$(x+1)^2 -4 = x^2 -1$
展开整理得：$x^2+2x+1-4=x^2-1$
移项、合并同类项得：$2x=2$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x^2-1=0$，故$x=1$是增根，不是原方程的解，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础考查题型，重点考察分式方程的转化求解思路，易错点为去分母时漏乘常数项、忘记验根，解题时要注意所有项都乘最简公分母，且最后必须检验增根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否为增根，步骤如下：1. 找最简公分母，明确分母不为0的隐含条件；2. 方程两边同乘最简公分母（所有项包括常数项都要乘），消去分母得到整式方程；3. 解整式方程；4. 验根：将所求的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，原方程无解。第(1)题最简公分母为$(x-2)$，去分母时注意常数项1也要乘$(x-2)$；第(2)题先将$x^2-1$因式分解为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$x^2-1$，解完后务必检验。
【解析】
(1) 方程两边乘最简公分母$(x-2)$，得：
$2=1+x + x-2$
移项、合并同类项得：$2x=3$
解得：$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x-2≠0$，故$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
(2) 先因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，方程两边乘最简公分母$(x^2-1)$，得：
$(x+1)^2 -4 = x^2 -1$
展开整理得：$x^2+2x+1-4=x^2-1$
移项、合并同类项得：$2x=2$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x^2-1=0$，故$x=1$是增根，不是原方程的解，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；(2) 原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，整式方程求解，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础考查题型，重点考察分式方程的转化求解思路，易错点为去分母时漏乘常数项、忘记验根，解题时要注意所有项都乘最简公分母，且最后必须检验增根。
【难度系数】
0.7
14.(易错题)施工队铺设3 000米的下水管道,每天比原计划少施工50米,结果延期4天完成任务.设原计划每天施工x米,所列方程正确的是 (
A.$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{x+50} = 4$
B.$\frac{3000}{x-50} - \frac{3000}{x} = 4$
C.$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{x-50} = 4$
D.$\frac{3000}{x+50} - \frac{3000}{x} = 4$
B
)A.$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{x+50} = 4$
B.$\frac{3000}{x-50} - \frac{3000}{x} = 4$
C.$\frac{3000}{x} - \frac{3000}{x-50} = 4$
D.$\frac{3000}{x+50} - \frac{3000}{x} = 4$
答案
14.B
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是抓住“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，再结合题干的等量关系列方程。首先梳理条件：原计划每天施工x米，实际每天比原计划少修50米，因此实际每天施工(x-50)米，工作总量固定为3000米。题干关键等量关系为“延期4天完成”，即实际施工时间比原计划施工时间多4天，分别表示出两个时间后按等量关系列式即可。
【解析】
设原计划每天施工x米，则实际每天施工$(x-50)$米。
根据工作时间计算公式可得：
原计划完成任务的时间为$\frac{3000}{x}$天，
实际完成任务的时间为$\frac{3000}{x-50}$天。
由“延期4天”可知实际用时-原计划用时=4天，因此列方程为：
$\frac{3000}{x-50}-\frac{3000}{x}=4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
工程问题基本关系、列分式方程、等量关系判定
【点评】
本题是分式方程应用的典型易错题，易错点集中在两处：一是混淆实际与原计划的工作效率，误将实际效率写为$x+50$；二是搞反两个时间的大小关系，列反等式。解题时先明确“延期”代表实际用时更长，再对应列式可有效降低错误率。
【难度系数】
0.65
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是抓住“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，再结合题干的等量关系列方程。首先梳理条件：原计划每天施工x米，实际每天比原计划少修50米，因此实际每天施工(x-50)米，工作总量固定为3000米。题干关键等量关系为“延期4天完成”，即实际施工时间比原计划施工时间多4天，分别表示出两个时间后按等量关系列式即可。
【解析】
设原计划每天施工x米，则实际每天施工$(x-50)$米。
根据工作时间计算公式可得：
原计划完成任务的时间为$\frac{3000}{x}$天，
实际完成任务的时间为$\frac{3000}{x-50}$天。
由“延期4天”可知实际用时-原计划用时=4天，因此列方程为：
$\frac{3000}{x-50}-\frac{3000}{x}=4$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
工程问题基本关系、列分式方程、等量关系判定
【点评】
本题是分式方程应用的典型易错题，易错点集中在两处：一是混淆实际与原计划的工作效率，误将实际效率写为$x+50$；二是搞反两个时间的大小关系，列反等式。解题时先明确“延期”代表实际用时更长，再对应列式可有效降低错误率。
【难度系数】
0.65
15.某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱.首批柑橘成熟后，某电商用3 500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用2 500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价.设购进的第一批柑橘的单价为x元，根据题意可列方程为 （
A.$\frac{3500}{x}=\frac{2500}{x-4}$
B.$\frac{3500}{x}=\frac{2500}{x+4}$
C.$\frac{3500}{x-4}=\frac{2500}{x}$
D.$\frac{2500}{x}=\frac{3500}{x+4}$
A
）A.$\frac{3500}{x}=\frac{2500}{x-4}$
B.$\frac{3500}{x}=\frac{2500}{x+4}$
C.$\frac{3500}{x-4}=\frac{2500}{x}$
D.$\frac{2500}{x}=\frac{3500}{x+4}$
答案
15.A
解析
【分析】
解这道题首先要找准题目中的等量关系，题目明确说明两批购进的柑橘数量相等，我们可以围绕“数量=总价÷单价”这个基本公式分别表示出两批柑橘的数量，再根据数量相等列方程即可。首先先确定第一批柑橘的数量表达式，再推导第二批的单价，进而得到第二批的数量表达式，最后令两个表达式相等就能得到对应方程。
【解析】
首先明确等量关系：第一批柑橘的购进数量 = 第二批柑橘的购进数量。
① 第一批柑橘：总价为3500元，单价为x元，根据“数量=总价÷单价”，可得第一批数量为$\frac{3500}{x}$箱；
② 第二批柑橘：单价比第一批便宜4元，因此第二批单价为$(x-4)$元，总价为2500元，同理可得第二批数量为$\frac{2500}{x-4}$箱；
③ 因为两批数量相等，所以可列方程：$\frac{3500}{x}=\frac{2500}{x-4}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是抓住题干中“数量相等”的等量关系，需要注意区分两批柑橘单价的大小关系，避免把第二批单价写成x+4而出错。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要找准题目中的等量关系，题目明确说明两批购进的柑橘数量相等，我们可以围绕“数量=总价÷单价”这个基本公式分别表示出两批柑橘的数量，再根据数量相等列方程即可。首先先确定第一批柑橘的数量表达式，再推导第二批的单价，进而得到第二批的数量表达式，最后令两个表达式相等就能得到对应方程。
【解析】
首先明确等量关系：第一批柑橘的购进数量 = 第二批柑橘的购进数量。
① 第一批柑橘：总价为3500元，单价为x元，根据“数量=总价÷单价”，可得第一批数量为$\frac{3500}{x}$箱；
② 第二批柑橘：单价比第一批便宜4元，因此第二批单价为$(x-4)$元，总价为2500元，同理可得第二批数量为$\frac{2500}{x-4}$箱；
③ 因为两批数量相等，所以可列方程：$\frac{3500}{x}=\frac{2500}{x-4}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题核心是抓住题干中“数量相等”的等量关系，需要注意区分两批柑橘单价的大小关系，避免把第二批单价写成x+4而出错。
【难度系数】
0.8
16. 新考向 代数推理 一条笔直的公路经过相距10千米的A,B两地,甲、乙两人骑车从A地前往B地.
(1)若乙骑车的速度是甲骑车的速度的2倍,甲比乙早30分钟出发,且甲、乙两人同时到达B地,求甲骑车的速度;
(2)若甲、乙两人同时从A地出发,甲骑车的速度为$(a^2 - 4)$千米/时,乙骑车的速度为$(a^2 - 4a + 4)$千米/时,其中$a＞2$.请判断谁先到达B地,并说明理由.
(1)若乙骑车的速度是甲骑车的速度的2倍,甲比乙早30分钟出发,且甲、乙两人同时到达B地,求甲骑车的速度;
(2)若甲、乙两人同时从A地出发,甲骑车的速度为$(a^2 - 4)$千米/时,乙骑车的速度为$(a^2 - 4a + 4)$千米/时,其中$a＞2$.请判断谁先到达B地,并说明理由.
答案
16.(1)设甲的骑车速度为$x$ km/h,则乙的骑车速度为$2x$ km/h,根据题意可得$\frac{10}{x}=\frac{10}{2x}+\frac{1}{2}$,解得$x=10$,经检验$x=10$是原分式方程的解,$∴$甲骑车的速度为10 km/h
(2)甲先到达B地,理由如下:$∵(a^2-4)-(a^2-4a+4)=a^2-4-a^2+4a-4=4a-8$,$∵a＞2$,$∴4a-8＞0$,$∴v_甲＞v_乙$,$∴$甲先到达B地
(2)甲先到达B地,理由如下:$∵(a^2-4)-(a^2-4a+4)=a^2-4-a^2+4a-4=4a-8$,$∵a＞2$,$∴4a-8＞0$,$∴v_甲＞v_乙$,$∴$甲先到达B地
解析
【分析】
(1) 本题为行程类分式方程应用题，核心关系为“时间=路程÷速度”。已知甲、乙行驶路程均为10km，乙速度是甲的2倍，甲比乙多用30分钟（即$\frac{1}{2}$小时）走完全程，因此可设甲的速度为未知数，根据两人的时间差列分式方程求解，注意分式方程需检验根的合理性。
(2) 路程相同时，速度越快的人用时越短、先到达目的地，因此只需比较甲、乙的速度大小即可。比较两个代数式的大小可采用作差法，将两个速度相减后化简，结合$a＞2$的条件判断差的正负，即可得出速度大小关系。
【解析】
(1) 设甲的骑车速度为$x$ km/h，则乙的骑车速度为$2x$ km/h。
根据甲走完全程的时间=乙走完全程的时间+$\frac{1}{2}$小时，列方程：
$\frac{10}{x}=\frac{10}{2x}+\frac{1}{2}$
方程两边同乘$2x$去分母得：$20=10+x$
解得$x=10$
检验：当$x=10$时，$2x=20≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 甲先到达B地，理由如下：
计算两人速度的差：
$(a^2-4)-(a^2-4a+4)=a^2-4-a^2+4a-4=4a-8$
$\because a＞2$，$\therefore 4a＞8$，即$4a-8＞0$
$\therefore a^2-4＞a^2-4a+4$，也就是$v_甲＞v_乙$
两人行驶路程相同，速度越快用时越短，因此甲先到达B地。
【答案】
(1) 甲骑车的速度为10 km/h；(2) 甲先到达B地。
【知识点】
分式方程的应用，作差法比较大小，整式的加减运算
【点评】
本题结合实际行程场景考查代数推理能力，第一问需注意分式方程要检验增根，第二问掌握作差法比较代数式大小的方法即可快速求解，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为行程类分式方程应用题，核心关系为“时间=路程÷速度”。已知甲、乙行驶路程均为10km，乙速度是甲的2倍，甲比乙多用30分钟（即$\frac{1}{2}$小时）走完全程，因此可设甲的速度为未知数，根据两人的时间差列分式方程求解，注意分式方程需检验根的合理性。
(2) 路程相同时，速度越快的人用时越短、先到达目的地，因此只需比较甲、乙的速度大小即可。比较两个代数式的大小可采用作差法，将两个速度相减后化简，结合$a＞2$的条件判断差的正负，即可得出速度大小关系。
【解析】
(1) 设甲的骑车速度为$x$ km/h，则乙的骑车速度为$2x$ km/h。
根据甲走完全程的时间=乙走完全程的时间+$\frac{1}{2}$小时，列方程：
$\frac{10}{x}=\frac{10}{2x}+\frac{1}{2}$
方程两边同乘$2x$去分母得：$20=10+x$
解得$x=10$
检验：当$x=10$时，$2x=20≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(2) 甲先到达B地，理由如下：
计算两人速度的差：
$(a^2-4)-(a^2-4a+4)=a^2-4-a^2+4a-4=4a-8$
$\because a＞2$，$\therefore 4a＞8$，即$4a-8＞0$
$\therefore a^2-4＞a^2-4a+4$，也就是$v_甲＞v_乙$
两人行驶路程相同，速度越快用时越短，因此甲先到达B地。
【答案】
(1) 甲骑车的速度为10 km/h；(2) 甲先到达B地。
【知识点】
分式方程的应用，作差法比较大小，整式的加减运算
【点评】
本题结合实际行程场景考查代数推理能力，第一问需注意分式方程要检验增根，第二问掌握作差法比较代数式大小的方法即可快速求解，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
