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1. 新考向 新定义 阅读材料，完成下列任务：
部分分式分解
我们知道，将一个多项式转化成若干个整式的积的形式，叫做分解因式.分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数.而有一些特殊的分式可以分解成若干个分式的和的形式，我们称之为部分分式分解.
例如：将$\frac{6}{x^2 -9}$部分分式分解的方法如下：
因为$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，
所以设$\frac{6}{x^2 -9}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$.
去分母，得$6=A(x-3)+B(x+3)$.
整理，得$6=(A+B)x +3(B-A)$.
所以$\begin{cases} A+B=0, \\ 3(B-A)=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=-1, \\ B=1. \end{cases}$ 所以$\frac{6}{x^2 -9}=\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-3}$，即$\frac{6}{x^2 -9}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}$.显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数.
任务：
(1)将$\frac{8}{x^2 -4x}$部分分式分解；
(2)已知$\frac{x}{(x+2)(x-1)}$部分分式分解的结果是$\frac{M}{x+2}+\frac{N}{x-1}$，则$M+N$的值为
部分分式分解
我们知道，将一个多项式转化成若干个整式的积的形式，叫做分解因式.分解因式的结果中，每一个因式的次数都低于原来多项式的次数.而有一些特殊的分式可以分解成若干个分式的和的形式，我们称之为部分分式分解.
例如：将$\frac{6}{x^2 -9}$部分分式分解的方法如下：
因为$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，
所以设$\frac{6}{x^2 -9}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-3}$.
去分母，得$6=A(x-3)+B(x+3)$.
整理，得$6=(A+B)x +3(B-A)$.
所以$\begin{cases} A+B=0, \\ 3(B-A)=6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=-1, \\ B=1. \end{cases}$ 所以$\frac{6}{x^2 -9}=\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-3}$，即$\frac{6}{x^2 -9}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}$.显然，部分分式分解的结果中，各分母的次数都低于原分式分母的次数.
任务：
(1)将$\frac{8}{x^2 -4x}$部分分式分解；
(2)已知$\frac{x}{(x+2)(x-1)}$部分分式分解的结果是$\frac{M}{x+2}+\frac{N}{x-1}$，则$M+N$的值为
1
.答案
(1)$\because x^2 -4x=x(x-4),\therefore 设\frac{8}{x^2 -4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}$.去分母,得$8=A(x-4)+Bx$.整理,得$8=(A+B)x-4A.\therefore \begin{cases} A+B=0, \\ -4A=8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} A=-2, \\ B=2. \end{cases}$ $\therefore \frac{8}{x^2 -4x}=\frac{-2}{x}+\frac{2}{x-4}$,即$\frac{8}{x^2 -4x}=\frac{2}{x-4}-\frac{2}{x}$
(2)1
(2)1
解析
【分析】
这是一道新定义类的分式运算题，解题时先读懂例题给出的部分分式分解的通用步骤：①先将原分式的分母因式分解；②将原分式设为若干个分母为分解后因式、分子为常数的分式的和；③去分母得到整式等式，整理后根据多项式相等时对应项系数相等列出二元一次方程组；④解方程组得到未知系数，代入所设式子即可得到分解结果。第(1)问直接按照上述步骤求解即可；第(2)问可按步骤整理得到系数关系，直接求出M+N的值。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2 -4x=x(x-4)$，
设$\frac{8}{x^2 -4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}$，
去分母，两边同时乘$x(x-4)$得：$8=A(x-4)+Bx$，
整理得：$8=(A+B)x -4A$，
等式左右两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A+B=0 \\ -4A=8 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} A=-2 \\ B=2 \end{cases}$，
代入所设式子得：$\frac{8}{x^2 -4x}=\frac{-2}{x}+\frac{2}{x-4}=\frac{2}{x-4}-\frac{2}{x}$。
(2) 对$\frac{x}{(x+2)(x-1)}=\frac{M}{x+2}+\frac{N}{x-1}$去分母，两边同时乘$(x+2)(x-1)$得：
$x = M(x-1)+N(x+2)$，
整理得：$x=(M+N)x + (2N - M)$，
等式左右两边一次项系数对应相等，直接可得$M+N=1$。
【答案】
(1) $\frac{2}{x-4}-\frac{2}{x}$
(2) $1$
【知识点】
因式分解，分式运算，二元一次方程组求解
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题核心是模仿例题步骤，利用多项式相等对应系数相等列方程组求解，整体计算难度较低，掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义类的分式运算题，解题时先读懂例题给出的部分分式分解的通用步骤：①先将原分式的分母因式分解；②将原分式设为若干个分母为分解后因式、分子为常数的分式的和；③去分母得到整式等式，整理后根据多项式相等时对应项系数相等列出二元一次方程组；④解方程组得到未知系数，代入所设式子即可得到分解结果。第(1)问直接按照上述步骤求解即可；第(2)问可按步骤整理得到系数关系，直接求出M+N的值。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2 -4x=x(x-4)$，
设$\frac{8}{x^2 -4x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}$，
去分母，两边同时乘$x(x-4)$得：$8=A(x-4)+Bx$，
整理得：$8=(A+B)x -4A$，
等式左右两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} A+B=0 \\ -4A=8 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} A=-2 \\ B=2 \end{cases}$，
代入所设式子得：$\frac{8}{x^2 -4x}=\frac{-2}{x}+\frac{2}{x-4}=\frac{2}{x-4}-\frac{2}{x}$。
(2) 对$\frac{x}{(x+2)(x-1)}=\frac{M}{x+2}+\frac{N}{x-1}$去分母，两边同时乘$(x+2)(x-1)$得：
$x = M(x-1)+N(x+2)$，
整理得：$x=(M+N)x + (2N - M)$，
等式左右两边一次项系数对应相等，直接可得$M+N=1$。
【答案】
(1) $\frac{2}{x-4}-\frac{2}{x}$
(2) $1$
【知识点】
因式分解，分式运算，二元一次方程组求解
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查阅读理解能力和知识迁移应用能力，解题核心是模仿例题步骤，利用多项式相等对应系数相等列方程组求解，整体计算难度较低，掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
2. 新考向 代数推理 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同.
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
答案
(1)设每个乙商品的进价为x元,则每个甲商品的进价为(x-2)元,根据题意,得$\frac{80}{x-2}=\frac{100}{x}$,解得$x=10$.经检验,$x=10$是原方程的根,且符合题意.$\therefore x-2=8$.答:每个甲商品的进价为8元,每个乙商品的进价为10元
(2)设购进乙种商品y个,则购进甲种商品$(3y-5)$个.由题意,得$3y-5+y≤ 95$.解得$y≤ 25$.答:商场最多购进乙商品25个
(3)由题意,知$(12-8)(3y-5)+(15-10)y＞380$,解得$y＞23\frac{9}{17}$.$\because y$为整数,$y≤ 25$,$\therefore y=24$或25.$\therefore 3y-5=67$或70.$\therefore$ 共有2种方案:方案一:购进甲商品67个,乙商品24个;方案二:购进甲商品70个,乙商品25个
(2)设购进乙种商品y个,则购进甲种商品$(3y-5)$个.由题意,得$3y-5+y≤ 95$.解得$y≤ 25$.答:商场最多购进乙商品25个
(3)由题意,知$(12-8)(3y-5)+(15-10)y＞380$,解得$y＞23\frac{9}{17}$.$\because y$为整数,$y≤ 25$,$\therefore y=24$或25.$\therefore 3y-5=67$或70.$\therefore$ 共有2种方案:方案一:购进甲商品67个,乙商品24个;方案二:购进甲商品70个,乙商品25个
解析
【分析】
（1）本问核心等量关系为“80元购进甲商品的数量=100元购进乙商品的数量”，可设乙商品进价为x元，甲商品进价即为(x-2)元，结合“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意分式方程必须检验根是否符合题意。
（2）本问核心不等关系为“甲、乙商品总数量≤95”，设购进乙商品y个，甲商品数量即为(3y-5)个，根据总数量限制列不等式，求解后取最大正整数即可。
（3）本问核心不等关系为“总利润＞380元”，先计算甲、乙单个商品的利润，结合总利润公式列不等式，再结合（2）中y的取值范围，筛选出符合条件的正整数y，对应得到甲的数量即可得出所有方案。
【解析】
(1)设每个乙商品的进价为x元，则每个甲商品的进价为(x-2)元，根据题意得：
$\frac{80}{x-2}=\frac{100}{x}$
交叉相乘得$80x=100(x-2)$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原方程的根，且符合题意。
$\therefore x-2=10-2=8$。
(2)设购进乙种商品y个，则购进甲种商品$(3y-5)$个，由题意得：
$3y-5+y≤ 95$
合并同类项得$4y≤100$，解得$y≤ 25$。
(3)单个甲商品利润为$12-8=4$元，单个乙商品利润为$15-10=5$元，由题意得：
$4(3y-5)+5y＞380$
展开合并得$17y＞400$，解得$y＞23\frac{9}{17}$。
$\because y$为整数且$y≤ 25$，$\therefore y=24$或25。
当$y=24$时，$3y-5=3×24-5=67$；当$y=25$时，$3y-5=3×25-5=70$。
【答案】
(1)每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元；
(2)商场最多购进乙商品25个；
(3)共有2种方案：方案一：购进甲商品67个，乙商品24个；方案二：购进甲商品70个，乙商品25个。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，方案设计
【点评】
本题结合实际销售场景考查代数建模能力，解题时需准确提取题干中的等量、不等关系建立数学模型，注意分式方程要检验根的合理性，最终取值要符合商品数量为正整数的实际要求。
【难度系数】
0.65
（1）本问核心等量关系为“80元购进甲商品的数量=100元购进乙商品的数量”，可设乙商品进价为x元，甲商品进价即为(x-2)元，结合“数量=总价÷单价”列分式方程求解，注意分式方程必须检验根是否符合题意。
（2）本问核心不等关系为“甲、乙商品总数量≤95”，设购进乙商品y个，甲商品数量即为(3y-5)个，根据总数量限制列不等式，求解后取最大正整数即可。
（3）本问核心不等关系为“总利润＞380元”，先计算甲、乙单个商品的利润，结合总利润公式列不等式，再结合（2）中y的取值范围，筛选出符合条件的正整数y，对应得到甲的数量即可得出所有方案。
【解析】
(1)设每个乙商品的进价为x元，则每个甲商品的进价为(x-2)元，根据题意得：
$\frac{80}{x-2}=\frac{100}{x}$
交叉相乘得$80x=100(x-2)$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原方程的根，且符合题意。
$\therefore x-2=10-2=8$。
(2)设购进乙种商品y个，则购进甲种商品$(3y-5)$个，由题意得：
$3y-5+y≤ 95$
合并同类项得$4y≤100$，解得$y≤ 25$。
(3)单个甲商品利润为$12-8=4$元，单个乙商品利润为$15-10=5$元，由题意得：
$4(3y-5)+5y＞380$
展开合并得$17y＞400$，解得$y＞23\frac{9}{17}$。
$\because y$为整数且$y≤ 25$，$\therefore y=24$或25。
当$y=24$时，$3y-5=3×24-5=67$；当$y=25$时，$3y-5=3×25-5=70$。
【答案】
(1)每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元；
(2)商场最多购进乙商品25个；
(3)共有2种方案：方案一：购进甲商品67个，乙商品24个；方案二：购进甲商品70个，乙商品25个。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，方案设计
【点评】
本题结合实际销售场景考查代数建模能力，解题时需准确提取题干中的等量、不等关系建立数学模型，注意分式方程要检验根的合理性，最终取值要符合商品数量为正整数的实际要求。
【难度系数】
0.65
