7. 体育运动 情境化 一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示.当运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点；当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时，离水面的高度为7 m.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB.

7.解:(1)根据题意,得抛物线过点$(0,10)$,$(3,7)$,对称轴为直线$x=1$. 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=a(x-1)^2+k$. 把$(0,10)$,$(3,7)$代入,得$\begin{cases}a+k=10,\\a(3-1)^2+k=7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\k=11.\end{cases}$ $\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=-(x-1)^2+11$. (2)令$y=0$,得$0=-(x-1)^2+11$,解得$x_1=1+\sqrt{11}$,$x_2=1-\sqrt{11}$(舍去). 答:运动员从起跳点到入水点的水平距离$OB$为$(1+\sqrt{11})\mathrm{m}$.

【分析】
对于第一问，已知抛物线的对称轴为直线$x=1$，选择顶点式设函数解析式可减少计算量；结合题意，起跳点高度为10m对应点$(0,10)$，水平距离3m时高度7m对应点$(3,7)$，将两个点代入所设顶点式，解二元一次方程组即可求出参数，得到函数表达式。对于第二问，运动员入水时离水面高度为0，即$y=0$，将其代入第一问得到的解析式解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，剩余正根就是OB的长度。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线对称轴为直线$x=1$，且经过点$(0,10)$、$(3,7)$。
设$y$关于$x$的函数表达式为$y=a(x-1)^2+k\ (a≠0)$，
将$(0,10)$、$(3,7)$代入解析式，得：
$\begin{cases}a+k=10\\4a+k=7\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\k=11\end{cases}$
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-(x-1)^2+11$。
(2) 运动员入水时高度$y=0$，将$y=0$代入解析式得：
$0=-(x-1)^2+11$
整理得$(x-1)^2=11$，
解得$x_1=1+\sqrt{11}$，$x_2=1-\sqrt{11}$（水平距离为正，舍去）。
即运动员从起跳点到入水点的水平距离OB为$(1+\sqrt{11})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=-(x-1)^2+11$
(2) $(1+\sqrt{11})\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数实际应用；一元二次方程求解
【点评】
本题结合跳水运动情境考查二次函数的实际应用，解题核心是从题干和图像中提取有效信息，合理选择解析式形式，同时要注意结合实际场景取舍方程的根，能有效考查学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7

8. 关于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象与性质，下列说法正确的是（）

A.它的图象位于第一、三象限
B.点$(3,1)$在它的图象上
C.$y$随$x$的增大而增大
D.当$x＞1$时，$-3＜y＜0$

8.D

【分析】
解决本题需先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的基本性质，本题中$k=-3$，我们可依据$k$的符号逐一分析各选项：首先根据$k$的正负判断图象所在象限；其次将点的坐标代入解析式，验证是否满足函数关系，判断点是否在图象上；再注意反比例函数的增减性成立的前提是“在每个象限内”，避免跨象限判断出错；最后结合第四象限内的增减性，计算$x＞1$时$y$的取值范围即可。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，可知比例系数$k=-3＜0$：
选项A：当$k＜0$时，反比例函数图象位于第二、四象限，而非第一、三象限，故A错误；
选项B：将$x=3$代入解析式，得$y=-\dfrac{3}{3}=-1≠1$，因此点$(3,1)$不在函数图象上，故B错误；
选项C：当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大，若跨象限比较则不满足该规律，因此缺少“在每个象限内”的前提，表述错误，故C错误；
选项D：当$x＞1$时，图象位于第四象限，$y$随$x$的增大而增大，当$x=1$时，$y=-\dfrac{3}{1}=-3$；当$x$趋近于正无穷时，$y$趋近于$0$，因此此时$-3＜y＜0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，属于常规基础题，解题的关键点是注意反比例函数的增减性只在同一象限内成立，切勿忽略前提直接判断。
【难度系数】
0.75

9.(湖北中考)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9Ω时，电流I可能是 ()

A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A

9.A

【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：第一步，已知电流I与电阻R是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式；第二步，结合图象给出的点(9,4)，用待定系数法求出反比例函数的解析式；第三步，根据反比例函数的增减性，分析当R＞9Ω时电流I的取值范围，最后对照选项选出符合要求的答案。
【解析】
解：因为电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，所以设解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0,R＞0 $）。
由图象可知，函数过点$(9,4)$，将$ R=9 $、$ I=4 $代入解析式得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=4×9=36 $，因此反比例函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
由于$ k=36＞0 $，在$ R＞0 $范围内，I随R的增大而减小，当$ R＞9\Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4A $，即电流小于4A。
观察选项，只有3A符合该范围。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，反比例函数的性质
【点评】
本题结合电学常识考查反比例函数的相关知识，解题关键是先求出函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断取值范围，注重不同学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8

10.(宁夏中考)函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$和$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$的部分图象如图所示，点A在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，过点A作$AB// y$轴，交x轴于点C，交$y=\frac{k_2}{x}$的图象于点B。若$AC=3BC$，则$\frac{k_1}{k_2}$的值为（）

A.$-3$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$3$

10.A

【分析】
解题时先观察两个反比例函数的图象所在象限，可得$k_1＞0$，$k_2＜0$；由于AB平行于y轴，可知点A、B的横坐标相同，因此可设点C的横坐标为$a(a＞0)$，分别表示出A、B两点的纵坐标，再结合$AC=3BC$的线段长度关系，注意第四象限点的纵坐标为负，线段长度要取绝对值，代入关系化简即可求出$k_1$与$k_2$的比值。
【解析】
设点C的坐标为$(a,0)$，其中$a＞0$。
∵$AB// y$轴，
∴点A、B的横坐标均为$a$。
∵点A在$y=\frac{k_1}{x}$的图象上，且位于第一象限，
∴$A(a,\frac{k_1}{a})$，线段$AC=\frac{k_1}{a}$。
∵点B在$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，且位于第四象限，
∴$B(a,\frac{k_2}{a})$，线段$BC=|\frac{k_2}{a}|=-\frac{k_2}{a}$（$k_2＜0$，故$\frac{k_2}{a}＜0$，绝对值为其相反数）。
已知$AC=3BC$，代入得：
$\frac{k_1}{a}=3×(-\frac{k_2}{a})$
∵$a≠0$，两边同时乘$a$得$k_1=-3k_2$，因此$\frac{k_1}{k_2}=-3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，坐标与线段长度的转化
【点评】
本题考查反比例函数的相关性质，解题关键是利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的特点，将线段长度关系转化为点的坐标关系，计算时要注意不同象限内点的坐标符号，避免因忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.6

11.(巴中中考)如图,直线$y=kx+b$与双曲线$y=\frac{m}{x}(x＜0)$交于$A(-2,6),B(-6,a)$两点.
(1)求$m$的值和直线的函数表达式;
(2)根据函数图象直接写出不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集;
(3)求$△ ABO$的面积.

11.解:(1)把$A(-2,6)$代入$y=\frac{m}{x}$,得$6=\frac{m}{-2}$,解得$m=-12$. $\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$. 把$B(-6,a)$代入$y=-\frac{12}{x}$,得$-6a=-12$,解得$a=2$,$\therefore B(-6,2)$. 把$A(-2,6)$,$B(-6,2)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-2k+b=6,\\-6k+b=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=8.\end{cases}$ $\therefore$直线的函数表达式为$y=x+8$. (2)不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集是$-6＜x＜-2$. (3)设直线$AB$与$x$轴交于点$C$. 易得$C(-8,0)$. $\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×|-8|×6-\frac{1}{2}×|-8|×2=16$.

【分析】
(1) 求m的值：已知点A在双曲线上，将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出m；再将B点横坐标代入反比例函数求出a，得到B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到直线的函数表达式。
(2) 求不等式的解集：不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的几何意义是直线图象在双曲线上方对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标以及x＜0的取值范围，直接观察图象即可得到解集。
(3) 求$△ ABO$的面积：直接计算$△ ABO$的底和高比较困难，可先求出直线AB与x轴的交点C，将$△ ABO$的面积转化为$△ AOC$与$△ BOC$的面积差，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把$A(-2,6)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$6=\frac{m}{-2}$，解得$m=-12$，$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$。
把$B(-6,a)$代入$y=-\frac{12}{x}$，得$a=-\frac{12}{-6}=2$，$\therefore B(-6,2)$。
把$A(-2,6)$、$B(-6,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}-2k+b=6\\-6k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=8\end{cases}$，$\therefore$直线的函数表达式为$y=x+8$。
(2) 观察图象可得，直线在双曲线上方时x的取值范围是$-6＜x＜-2$，即不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$-6＜x＜-2$。
(3) 设直线$AB$与$x$轴交于点$C$，在$y=x+8$中令$y=0$，得$x=-8$，即$C(-8,0)$，$OC=8$。
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×|-8|×6-\frac{1}{2}×|-8|×2=24-8=16$。
【答案】
(1) $m=-12$，直线的函数表达式为$\boldsymbol{y=x+8}$；
(2) $\boldsymbol{-6＜x＜-2}$；
(3) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象解不等式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题时要学会结合图象分析问题，熟练掌握待定系数法、数形结合思想和割补法求面积的技巧，是函数类的常考题型。
【难度系数】
0.7