思维导图
▶▶▶ 构建知识体系
二次函数
$y = ax^2 + bx + c$
$(a ≠ 0)$
- 图象
- 当$a ＞ 0$时，开口向；当$a ＜ 0$时，开口向
- 对称轴为直线$x =$，顶点坐标为
- 平移规律：上加下减，左右
- 性质
- 增减性
- 最值：当$a ＞ 0$时，有最值；当$a ＜ 0$时，有最值
- 待定系数法——一般式、、交点式
- 与方程的关系
- 实际应用——面积问题、利润问题、拱桥问题及其他问题
反比例函数
- 概念——一般地，表达式形如$y = \frac{k}{x}$($k$为常数，$k ≠ 0$)的函数，叫做反比例函数
- 图象
- 当$k ＞ 0$时，图象的两个分支分别位于第、象限
- 当$k ＜ 0$时，图象的两个分支分别位于第、象限
- 增减性
- 当$k ＞ 0$时，在每个象限内，图象自左向右，函数$y$随$x$的增大而
- 当$k ＜ 0$时，在每个象限内，图象自左向右，函数$y$随$x$的增大而
- 实际应用

1. 上
2. 下
3. $-\frac{b}{2a}$
4. $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
5. 加
6. 减
7. 小
8. 大
9. 顶点式
10. 一
11. 三
12. 二
13. 四
14. 下降
15. 减小
16. 上升
17. 增大

【分析】
这是一道函数基础概念填空题，解题时按思维导图分支分别匹配二次函数、反比例函数的核心知识点即可：首先回忆二次函数开口方向与a的关系、对称轴和顶点坐标公式、平移规律、最值判断规则、三种解析式形式；再回忆反比例函数的象限分布规律、增减性规律，依次填入对应空缺即可，所有内容均为函数基础识记内容。
【解析】
1. 二次函数开口方向由a的符号决定：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下，因此前两空依次填“上”“下”。
2. 二次函数一般式的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入解析式可得顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
3. 函数平移规律为“上加下减（针对常数项，对应上下平移），左加右减（针对自变量x，对应左右平移）”，因此依次填“加”“减”。
4. 二次函数最值由开口方向决定：$a＞0$开口向上，图象有最低点，存在最小值；$a＜0$开口向下，图象有最高点，存在最大值，因此依次填“小”“大”。
5. 二次函数解析式有三种常用形式：一般式、顶点式、交点式，因此填“顶点式”。
6. 反比例函数图象为双曲线，象限由k的符号决定：$k＞0$时图象分支位于第一、三象限；$k＜0$时图象分支位于第二、四象限。
7. 反比例函数增减性：$k＞0$时，每个象限内图象自左向右下降，y随x的增大而减小；$k＜0$时，每个象限内图象自左向右上升，y随x的增大而增大。
【答案】
1. 上
2. 下
3. $-\frac{b}{2a}$
4. $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$
5. 加
6. 减
7. 小
8. 大
9. 顶点式
10. 一
11. 三
12. 二
13. 四
14. 下降
15. 减小
16. 上升
17. 增大
【知识点】
1. 二次函数性质
2. 反比例函数性质
3. 待定系数法
【点评】
本题是对两类初中核心函数基础知识点的梳理，都是解决函数综合题的基础，需要准确记忆，尤其要注意区分易混淆的内容，比如平移规律的“左加右减”适用对象、反比例函数增减性的“在每个象限内”的前提条件。
【难度系数】
0.85

1. 抛物线$y=-(x+7)^2 -8$的顶点坐标是（）

A.$(-7,8)$
B.$(7,-8)$
C.$(7,8)$
D.$(-7,-8)$

1.D

【分析】
拿到本题首先观察抛物线解析式的形式，属于二次函数的顶点式结构，解题思路如下：第一步先回忆二次函数顶点式的相关性质：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的式子是二次函数的顶点式，其顶点坐标为$(h,k)$；第二步将题干给出的解析式和标准顶点式做对应，注意将括号内的$x+7$转化为标准形式$x-(-7)$，常数项$-8$对应$k$，即可得到$h$和$k$的取值，最终得出顶点坐标，匹配选项即可得到答案。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中抛物线解析式变形为标准顶点式：$y=-(x+7)^2-8=-(x-(-7))^2+(-8)$，
对比顶点式可得$h=-7$，$k=-8$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-7,-8)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，主要考查顶点式与顶点坐标的对应关系，熟练记忆顶点式的性质就能快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

2.把抛物线$y=-2x^2$先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为（）

A.$y=-2(x+3)^2 +2$
B.$y=-2(x-3)^2 +2$
C.$y=-2(x+3)^2 -2$
D.$y=-2(x-3)^2 -2$

2.C

【分析】
这道题考查二次函数图象的平移变换，解题时先回忆二次函数平移的核心规律“左加右减，上加下减”：“左加右减”是对自变量x进行操作，即向左平移n个单位，就把原式中的x替换为(x+n)，向右平移n个单位就替换为(x-n)；“上加下减”是对整个函数表达式操作，向上平移m个单位就整体加m，向下平移m个单位就整体减m。我们分两步处理平移：先计算向左平移3个单位后的表达式，再计算向下平移2个单位后的表达式，最后对应选项即可。
【解析】
第一步：原抛物线解析式为$y=-2x^2$，先向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$x+3$，得到平移后的解析式为：$y=-2(x+3)^2$；
第二步：将得到的抛物线再向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，在解析式整体后减去2，得到最终的解析式为：$y=-2(x+3)^2 - 2$。
对比选项可知结果对应C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象的平移变换，解题的关键是准确掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其注意左右平移是针对自变量x进行加减，避免混淆加减方向即可正确作答。
【难度系数】
0.8

3.已知抛物线$y=x^2-4x+5$，下列结论错误的是（）

A.抛物线开口向上
B.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
C.抛物线的对称轴为直线$x=2$
D.抛物线与$y$轴交点坐标为$(0,5)$

3.B

【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可先确定二次函数各项系数，再依次验证每个选项：首先根据二次项系数a的正负判断开口方向；接着利用对称轴公式求出对称轴，再结合开口方向判断函数的增减性；最后代入x=0求出抛物线与y轴的交点坐标，找出错误的结论即可。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=x^2-4x+5$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=5$。
1. 判断A选项：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A选项结论正确，不符合题意。
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即抛物线对称轴为直线$x=2$，C选项结论正确，不符合题意。
3. 判断B选项：$\because$抛物线开口向上，$\therefore$在对称轴左侧（即$x＜2$时），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而增大，因此B选项结论错误，符合题意。
4. 判断D选项：求抛物线与$y$轴交点时，令$x=0$，代入解析式得$y=0^2-4×0+5=5$，即交点坐标为$(0,5)$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查对二次函数核心性质的掌握程度，只要牢记开口方向、对称轴的判断方法，以及增减性和坐标轴交点的求解规则，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8

4.(陕西中考)已知二次函数$y=ax^2+bx-3$（$a≠0$），当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则
下列结论正确的是（）

A.$ab＜0$
B.该函数图象的顶点位于第四象限
C.方程$ax^2+bx+1=0$没有实数根
D.该函数的最大值不小于$-3$

4.D

【分析】
解决本题首先要根据二次函数的增减性确定抛物线的开口方向和对称轴范围，进而推导参数a、b的符号特征，再结合二次函数顶点坐标、一元二次方程根的判别式、二次函数最值的相关知识逐一分析每个选项即可。
【解析】
由题意得：二次函数$y=ax^2+bx-3$当$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，
∴ 抛物线开口向下，即$a＜0$，且对称轴$x=-\frac{b}{2a} ≤ 0$。
∵ $a＜0$，将不等式$-\frac{b}{2a} ≤ 0$两边同乘$2a$（负数，不等号方向改变），得：$-b ≥ 0$，即$b ≤ 0$。
逐一分析选项：
A.
∵ $a＜0$，$b ≤ 0$，
∴ $ab ≥ 0$，故A错误；
B. 顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a} ≤ 0$，而第四象限内点的横坐标大于0，因此顶点不可能在第四象限，故B错误；
C. 方程$ax^2+bx+1=0$的判别式$\Delta = b^2 - 4a × 1 = b^2 - 4a$，
∵ $a＜0$，
∴ $-4a＞0$，又$b^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = b^2 - 4a ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，故C错误；
D. 二次函数开口向下，顶点为最大值点，最大值为：
$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4a × (-3) - b^2}{4a} = \frac{-12a - b^2}{4a} = -3 + \frac{-b^2}{4a}$
∵ $a＜0$，$b^2 ≥ 0$，
∴ $\frac{-b^2}{4a} = \frac{b^2}{4|a|} ≥ 0$，因此最大值$≥ -3$，即最大值不小于$-3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象特征与性质、根的判别式等核心知识点，需要先由增减性推导参数的符号和对称轴范围，再逐一分析选项，是二次函数部分的典型考题，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6

5. 双空题 安徽热点（六安一模）已知点$A(a+2,y_1)$，$B(b,y_2)$是抛物线$y=ax^2+4ax(a≠0)$上不重合的两点.
(1)当$a=4$时，$y_1=y_2$，则$b$的值为________；
(2)若对于$0＜b＜2$，都有$y_1＜y_2$，则$a$的取值范围为________.

5.(1)$-10$ (2)$a≤ -8$

【分析】
(1) 先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的固定对称轴，再根据函数值相等的两点关于对称轴对称的性质求解b的值。
(2) 分a＞0和a＜0两种情况讨论抛物线开口方向，结合二次函数增减性：开口向上时离对称轴越远函数值越大，开口向下时离对称轴越远函数值越小。先确定0＜b＜2时B点到对称轴的距离范围，再根据y1＜y2恒成立的条件推导a的取值范围。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+4ax(a≠0)$，由对称轴公式得对称轴为：
$x=-\frac{4a}{2a}=-2$
当$a=4$时，点A的横坐标为$a+2=4+2=6$。
因为$y_1=y_2$，所以A、B两点关于对称轴$x=-2$对称，即两点横坐标的平均数等于对称轴横坐标：
$\frac{6+b}{2}=-2$
解得：$b=-10$。
(2) 分情况讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大。
B点横坐标$b∈(0,2)$，到对称轴的距离为$b+2∈(2,4)$；A点横坐标$a+2＞2$，到对称轴的距离为$a+4＞4$，此时$y_1＞y_2$，不符合题意，舍去。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小。
要使对任意$0＜b＜2$都有$y_1＜y_2$，则A点到对称轴的距离需大于等于B点到对称轴的最大距离（B点到对称轴的最大距离小于4），即：
$|(a+2)-(-2)|≥4$
化简得$|a+4|≥4$，结合$a＜0$解得$a+4≤-4$，即$a≤-8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{a≤ -8}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；恒成立问题求解
【点评】
本题重点考查二次函数图象性质的应用，解题的关键是熟练掌握对称轴公式、开口方向对函数增减性的影响，结合分类讨论思想分析恒成立条件，易错点是容易忽略等号的取值和a的正负分类。
【难度系数】
0.4

6.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开。已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m时，矩形土地ABCD的面积最大。

6.150

【分析】
本题是利用二次函数求解实际问题中最值的题型，解题思路如下：首先设AB的长度为未知数，根据篱笆总长度的构成关系，表示出矩形另一边BC的长度，再结合矩形面积公式写出面积关于AB长度的函数表达式，最后利用二次函数的最值性质，求出面积最大时AB的取值即可。
【解析】
设AB的长度为$ x \, \mathrm{m} $，矩形ABCD的面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意可知EF与CD平行，因此$ EF = CD = AB = x $，篱笆总长由3段长度为$ x $的边（AB、EF、CD）和2段长度为BC的边（AD、BC）组成，因此可得：
$ 3x + 2BC = 900 $
整理得$ BC = \frac{900 - 3x}{2} = 450 - \frac{3}{2}x $。
根据矩形面积公式$ S = AB × BC $，代入边长表达式得：
$ S = x(450 - \frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 450x $
该函数为二次函数，二次项系数$ a = -\frac{3}{2} ＜ 0 $，因此函数图像开口向下，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，$ S $取得最大值。
代入$ a = -\frac{3}{2} $、$ b = 450 $计算得：
$ x = -\frac{450}{2 × (-\frac{3}{2})} = 150 $
即当$ AB = 150 \, \mathrm{m} $时，矩形土地ABCD的面积最大。
【答案】
150
【知识点】
二次函数的最值，矩形面积计算，函数关系式建立
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题核心是准确梳理边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，侧重考查将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7