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7.(长春中考)在功$W$(J)一定的条件下，功率$P$(W)与做功时间$t$(s)成反比例，$P$(W)与$t$(s)之间的函数关系如图所示.当$25≤ t≤40$时，$P$的值可以为（
A.24
B.27
C.45
D.50
C
）A.24
B.27
C.45
D.50
答案
7.C
解析
【分析】
首先根据“功W一定时，功率P与做功时间t成反比例”，可设反比例函数解析式为$ P=\frac{W}{t} $；接下来利用图像给出的点(60,20)代入解析式，求出W的值，得到P与t的完整函数关系；再根据反比例函数的增减性，计算t=25和t=40时对应的P值，确定t在[25,40]区间时P的取值范围，最后对比选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
设功率P与时间t的函数解析式为$ P=\frac{W}{t} $（W为常数，$ W＞0 $），
将点$(60,20)$代入解析式得：$ 20=\frac{W}{60} $，
解得$ W=20×60=1200 $，
因此函数解析式为$ P=\frac{1200}{t} \ (t＞0) $。
因为$ k=1200＞0 $，所以当$ t＞0 $时，P随t的增大而减小，
当$ t=25 $时，$ P=\frac{1200}{25}=48 $，
当$ t=40 $时，$ P=\frac{1200}{40}=30 $，
因此当$ 25≤ t≤40 $时，$ 30≤ P≤48 $。
对比选项，只有45在该取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理中功、功率、时间的关系考查反比例函数的应用，解题核心是先求出反比例函数解析式，再利用函数增减性确定取值范围，需要学生掌握跨学科基础常识以及反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
首先根据“功W一定时，功率P与做功时间t成反比例”，可设反比例函数解析式为$ P=\frac{W}{t} $；接下来利用图像给出的点(60,20)代入解析式，求出W的值，得到P与t的完整函数关系；再根据反比例函数的增减性，计算t=25和t=40时对应的P值，确定t在[25,40]区间时P的取值范围，最后对比选项选出符合范围的结果即可。
【解析】
设功率P与时间t的函数解析式为$ P=\frac{W}{t} $（W为常数，$ W＞0 $），
将点$(60,20)$代入解析式得：$ 20=\frac{W}{60} $，
解得$ W=20×60=1200 $，
因此函数解析式为$ P=\frac{1200}{t} \ (t＞0) $。
因为$ k=1200＞0 $，所以当$ t＞0 $时，P随t的增大而减小，
当$ t=25 $时，$ P=\frac{1200}{25}=48 $，
当$ t=40 $时，$ P=\frac{1200}{40}=30 $，
因此当$ 25≤ t≤40 $时，$ 30≤ P≤48 $。
对比选项，只有45在该取值范围内，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理中功、功率、时间的关系考查反比例函数的应用，解题核心是先求出反比例函数解析式，再利用函数增减性确定取值范围，需要学生掌握跨学科基础常识以及反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.7
8. 小方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 km，设小汽车的行驶时间为 t(h)，行驶速度为 v(km/h)，且全程速度不超过 120 km/h.
(1)求 v 关于 t 的函数表达式并写出自变量的取值范围.
(2)小方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发.
①小方需在当天 12 点 48 分至 14 点(含 12 点 48 分和 14 点)间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的取值范围.
②小方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由.
(1)求 v 关于 t 的函数表达式并写出自变量的取值范围.
(2)小方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发.
①小方需在当天 12 点 48 分至 14 点(含 12 点 48 分和 14 点)间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的取值范围.
②小方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由.
答案
8.解:(1)由题意,得 $ v=\frac{480}{t} $. $ \because $ 全程速度不超过 120 km/h,即 $ v≤120 $, $ \therefore t≥4 $. $ \therefore v $ 关于 t 的函数表达式为 $ v=\frac{480}{t}(t≥4) $.(2)①8 点至 12 点 48 分时间长为 $ \frac{24}{5}\ \mathrm{h} $,8 点至 14 点时间长为 6 h.将 $ t=6 $ 代入 $ v=\frac{480}{t} $,得 $ v=80 $;将 $ t=\frac{24}{5} $ 代入 $ v=\frac{480}{t} $,得 $ v=100. \therefore $ 小汽车行驶速度 v 的取值范围为 $ 80≤ v≤100 $.②小方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地.理由如下:8 点至 11 点 30 分时间长为 $ \frac{7}{2}\ \mathrm{h} $,将 $ t=\frac{7}{2} $ 代入 $ v=\frac{480}{t} $,得 $ v=\frac{960}{7}＞120 $,超速了. $ \therefore $ 小方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地.
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据行程问题“路程=速度×时间”的基本等量关系，总路程固定为480km，变形即可得到v与t的函数关系；再结合全程速度不超过120km/h的限制，代入函数式求出t的最小值，即可确定自变量t的取值范围。
2. 第(2)问①：先计算两个时间节点对应的行驶时长，由于v和t成反比例关系（k＞0），t越大v越小，因此最长行驶时间对应最小速度，最短行驶时间对应最大速度，分别代入函数计算即可得到v的取值范围。
3. 第(2)问②：先计算11点30分前到达所需的最长行驶时间，代入函数求出对应的行驶速度，和限速120km/h比较，若超过限速则无法到达。
【解析】
(1) 由行程公式可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
$\because$ 全程速度不超过120 km/h，即$v≤120$，
$\therefore \frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
$\therefore v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 8点至12点48分的时长为$4\mathrm{h}48\mathrm{min}=\frac{24}{5}\ \mathrm{h}$，8点至14点的时长为$6\ \mathrm{h}$。
将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{6}=80$；将$t=\frac{24}{5}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{\frac{24}{5}}=100$。
结合反比例函数增减性，可得小汽车行驶速度v的取值范围为$80≤ v≤100$。
② 小方不能在当天11点30分前到达B地，理由如下：
8点至11点30分的时长为$3\mathrm{h}30\mathrm{min}=\frac{7}{2}\ \mathrm{h}$，将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{960}{7}\approx137.1\mathrm{km/h}$，$\frac{960}{7}＞120$，超过了全程限速，因此无法在11点30分前到达。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤100$；② 不能，理由见解析
【知识点】
反比例函数的应用、行程问题计算、自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际出行场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住路程不变的等量关系建立函数模型，再结合限速、时间范围等约束条件求解，解题时需注意时间单位的统一，取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据行程问题“路程=速度×时间”的基本等量关系，总路程固定为480km，变形即可得到v与t的函数关系；再结合全程速度不超过120km/h的限制，代入函数式求出t的最小值，即可确定自变量t的取值范围。
2. 第(2)问①：先计算两个时间节点对应的行驶时长，由于v和t成反比例关系（k＞0），t越大v越小，因此最长行驶时间对应最小速度，最短行驶时间对应最大速度，分别代入函数计算即可得到v的取值范围。
3. 第(2)问②：先计算11点30分前到达所需的最长行驶时间，代入函数求出对应的行驶速度，和限速120km/h比较，若超过限速则无法到达。
【解析】
(1) 由行程公式可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
$\because$ 全程速度不超过120 km/h，即$v≤120$，
$\therefore \frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
$\therefore v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 8点至12点48分的时长为$4\mathrm{h}48\mathrm{min}=\frac{24}{5}\ \mathrm{h}$，8点至14点的时长为$6\ \mathrm{h}$。
将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{6}=80$；将$t=\frac{24}{5}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{\frac{24}{5}}=100$。
结合反比例函数增减性，可得小汽车行驶速度v的取值范围为$80≤ v≤100$。
② 小方不能在当天11点30分前到达B地，理由如下：
8点至11点30分的时长为$3\mathrm{h}30\mathrm{min}=\frac{7}{2}\ \mathrm{h}$，将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{960}{7}\approx137.1\mathrm{km/h}$，$\frac{960}{7}＞120$，超过了全程限速，因此无法在11点30分前到达。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤100$；② 不能，理由见解析
【知识点】
反比例函数的应用、行程问题计算、自变量取值范围确定
【点评】
本题结合实际出行场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住路程不变的等量关系建立函数模型，再结合限速、时间范围等约束条件求解，解题时需注意时间单位的统一，取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9. 排污整改 情境化 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度$y$(mg/L)随时间$x$(天)的变化情况如图所示，其中线段$AB$表示前3天的变化情况，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度$y$与时间$x$的部分对应值如下表.
(1)在整改过程中，当$0 ≤ x ≤ 3$时，求硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(2)在整改过程中，当$x ≥ 3$时，求硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
(1)在整改过程中，当$0 ≤ x ≤ 3$时，求硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(2)在整改过程中，当$x ≥ 3$时，求硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式.
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L?为什么?
答案
9.解:(1)设硫化物的浓度 y 关于时间 x 的函数表达式为 $ y=kx+b $,把 $ A(0,12),B(3,4.5) $ 代入,得 $ \begin{cases} b=12,\\ 3k+b=4.5, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=-2.5,\\ b=12. \end{cases} $ $ \therefore $ 硫化物的浓度 y 关于时间 x 的函数表达式为 $ y=-2.5x+12(0≤ x≤3) $.(2) $ \because 3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=13.5 $, $ \therefore $ 当 $ x≥3 $ 时,y 是 x 的反比例函数. $ \therefore $ 硫化物的浓度 y 关于时间 x 的函数表达式为 $ y=\frac{13.5}{x}(x≥3) $.(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在 15 天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L.理由如下:当 $ y=1 $ 时, $ 1=\frac{13.5}{x} $,解得 $ x=13.5＜15 $. $ \therefore $ 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在 15 天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L.
解析
【分析】
本题分三步求解：(1)当$0 ≤ x ≤ 3$时，函数图像为线段，属于一次函数，可设解析式为$y=kx+b$，代入线段经过的两个已知点坐标，解方程组即可求出参数得到函数表达式；(2)当$x≥3$时，观察表格中$x$与$y$的乘积为定值，可判断该阶段为反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入一组对应值求出$k$即可得到解析式；(3)要判断15天内硫化物浓度能否达标，只需令反比例函数中$y=1$，求出对应的$x$值，再和15比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)设当$0 ≤ x ≤ 3$时，硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式为$y=kx+b$，
由题意得函数图像过点$A(0,12)$、$B(3,4.5)$，代入得：
$\begin{cases} b=12\\ 3k+b=4.5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2.5\\ b=12 \end{cases}$
∴此时函数表达式为$y=-2.5x+12(0≤ x≤3)$。
(2)观察$x≥3$时的对应值可得：$3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=13.5$，即$x$与$y$的乘积为定值，因此$y$是$x$的反比例函数，
设解析式为$y=\frac{k}{x}(x≥3)$，将$(3,4.5)$代入得$k=3×4.5=13.5$，
∴此时函数表达式为$y=\frac{13.5}{x}(x≥3)$。
(3)能，理由如下：
令$y=1$，代入反比例函数解析式得$1=\frac{13.5}{x}$，解得$x=13.5$，
∵$13.5＜15$，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L。
【答案】
(1)$y=-2.5x+12(0≤ x≤3)$
(2)$y=\frac{13.5}{x}(x≥3)$
(3)能，当硫化物浓度降到1.0mg/L时仅需13.5天，小于15天，因此可以达标。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生态环保的实际情境考查函数的应用，解题核心是根据不同阶段的函数特征判断函数类型，再通过待定系数法求出对应解析式，最后代入数值计算即可解决问题，注重考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题分三步求解：(1)当$0 ≤ x ≤ 3$时，函数图像为线段，属于一次函数，可设解析式为$y=kx+b$，代入线段经过的两个已知点坐标，解方程组即可求出参数得到函数表达式；(2)当$x≥3$时，观察表格中$x$与$y$的乘积为定值，可判断该阶段为反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入一组对应值求出$k$即可得到解析式；(3)要判断15天内硫化物浓度能否达标，只需令反比例函数中$y=1$，求出对应的$x$值，再和15比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)设当$0 ≤ x ≤ 3$时，硫化物的浓度$y$关于时间$x$的函数表达式为$y=kx+b$，
由题意得函数图像过点$A(0,12)$、$B(3,4.5)$，代入得：
$\begin{cases} b=12\\ 3k+b=4.5 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2.5\\ b=12 \end{cases}$
∴此时函数表达式为$y=-2.5x+12(0≤ x≤3)$。
(2)观察$x≥3$时的对应值可得：$3×4.5=5×2.7=6×2.25=9×1.5=13.5$，即$x$与$y$的乘积为定值，因此$y$是$x$的反比例函数，
设解析式为$y=\frac{k}{x}(x≥3)$，将$(3,4.5)$代入得$k=3×4.5=13.5$，
∴此时函数表达式为$y=\frac{13.5}{x}(x≥3)$。
(3)能，理由如下：
令$y=1$，代入反比例函数解析式得$1=\frac{13.5}{x}$，解得$x=13.5$，
∵$13.5＜15$，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L。
【答案】
(1)$y=-2.5x+12(0≤ x≤3)$
(2)$y=\frac{13.5}{x}(x≥3)$
(3)能，当硫化物浓度降到1.0mg/L时仅需13.5天，小于15天，因此可以达标。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生态环保的实际情境考查函数的应用，解题核心是根据不同阶段的函数特征判断函数类型，再通过待定系数法求出对应解析式，最后代入数值计算即可解决问题，注重考查学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
