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6.如图,用一根60 cm长的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.则矩形框架ABCD的面积最大为
150
cm². 答案
6.150
解析
【分析】
首先明确“日”字型框架的边长构成：共3条与AB等长的水平边、2条与AD等长的竖直边，铁丝总长60cm为所有边长之和。我们可设AB的长度为x cm，将竖直边长度用含x的代数式表示，再根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质即可求出最大面积。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{cm} $，竖直边AD的长为$ y \, \mathrm{cm} $。
根据铁丝总长得等量关系：3条水平边长度+2条竖直边长度=60cm，即：
$ 3x + 2y = 60 $
整理得$ y = 30 - \frac{3}{2}x $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $（边长为正）。
矩形ABCD的面积$ S = AB · AD = x · y $，代入y的表达式得：
$ S = x(30 - \frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 30x $
这是开口向下的二次函数（$ a=-\frac{3}{2}＜0 $），在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2×(-\frac{3}{2})} = 10 $
将$ x=10 $代入面积公式得：
$ S_{\mathrm{max}} = -\frac{3}{2}×10^2 + 30×10 = 150 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
150
【知识点】
二次函数最值；矩形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值的基础题型，解题核心是准确梳理边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解，注意要验证最值对应的自变量取值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
首先明确“日”字型框架的边长构成：共3条与AB等长的水平边、2条与AD等长的竖直边，铁丝总长60cm为所有边长之和。我们可设AB的长度为x cm，将竖直边长度用含x的代数式表示，再根据矩形面积公式列出面积关于x的二次函数，最后利用二次函数的最值性质即可求出最大面积。
【解析】
设AB的长为$ x \, \mathrm{cm} $，竖直边AD的长为$ y \, \mathrm{cm} $。
根据铁丝总长得等量关系：3条水平边长度+2条竖直边长度=60cm，即：
$ 3x + 2y = 60 $
整理得$ y = 30 - \frac{3}{2}x $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $（边长为正）。
矩形ABCD的面积$ S = AB · AD = x · y $，代入y的表达式得：
$ S = x(30 - \frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 30x $
这是开口向下的二次函数（$ a=-\frac{3}{2}＜0 $），在顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{30}{2×(-\frac{3}{2})} = 10 $
将$ x=10 $代入面积公式得：
$ S_{\mathrm{max}} = -\frac{3}{2}×10^2 + 30×10 = 150 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
150
【知识点】
二次函数最值；矩形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值的基础题型，解题核心是准确梳理边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解，注意要验证最值对应的自变量取值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
7.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件不变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品，则增加
8
台机器可以使每天的生产总量最大，最大为30 976
件.答案
7.8 30 976
解析
【分析】
本题是实际生产中的最值问题，可通过构建二次函数求解，思考步骤如下：第一步，设增加的机器台数为自变量$x$，每天生产总量为函数$y$；第二步，结合题意表示出两个关键量：增加机器后的总台数为$80+x$，每台机器的日产量为$384-4x$（需保证每台产量为正，$x$为非负整数）；第三步，根据“生产总量=机器总台数×每台机器日产量”的等量关系列函数解析式；第四步，利用二次函数的性质求最大值，验证结果符合实际意义即可。
【解析】
设增加$x$台机器时，每天的生产总量为$y$件。
根据题意可得，增加机器后总台数为$(80+x)$台，每台机器日产量为$(384-4x)$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(80+x)(384-4x)\\&=-4x^2+64x+30720\\&=-4(x-8)^2+30976\end{aligned}$
由于二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=8$时，$y$取得最大值，最大值为$30976$。
验证：此时每台机器日产量为$384-4×8=352＞0$，$x=8$为非负整数，符合实际意义。
【答案】
$8$；$30976$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题，解题核心是找准数量关系列出正确的函数解析式，求解时要注意自变量的取值需符合实际意义，避免出现不符合生产逻辑的结果。
【难度系数】
0.65
本题是实际生产中的最值问题，可通过构建二次函数求解，思考步骤如下：第一步，设增加的机器台数为自变量$x$，每天生产总量为函数$y$；第二步，结合题意表示出两个关键量：增加机器后的总台数为$80+x$，每台机器的日产量为$384-4x$（需保证每台产量为正，$x$为非负整数）；第三步，根据“生产总量=机器总台数×每台机器日产量”的等量关系列函数解析式；第四步，利用二次函数的性质求最大值，验证结果符合实际意义即可。
【解析】
设增加$x$台机器时，每天的生产总量为$y$件。
根据题意可得，增加机器后总台数为$(80+x)$台，每台机器日产量为$(384-4x)$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(80+x)(384-4x)\\&=-4x^2+64x+30720\\&=-4(x-8)^2+30976\end{aligned}$
由于二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=8$时，$y$取得最大值，最大值为$30976$。
验证：此时每台机器日产量为$384-4×8=352＞0$，$x=8$为非负整数，符合实际意义。
【答案】
$8$；$30976$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列函数关系式
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题，解题核心是找准数量关系列出正确的函数解析式，求解时要注意自变量的取值需符合实际意义，避免出现不符合生产逻辑的结果。
【难度系数】
0.65
8. 本土人文 情境化（淮南期末）八公山豆腐文化节期间，某商店销售一批纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天的销量减少10本，现商店决定提价销售.设每天的销量为y本，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
（2）当每本纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将纪念册的销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
（2）当每本纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将纪念册的销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？
答案
8.解:(1)$y=300-10(x-44)=-10x+740(44≤ x≤ 52)$.(2)由题意,得$(x-40)(-10x+740)=2\ 400$,解得$x_{1}=50$,$x_{2}=64＞52$(舍去).$\therefore x=50$.答:当每本纪念册的销售单价是50元时,商店每天获利2 400元.(3)由题意,得$w=(x-40)(-10x+740)=-10(x-57)^{2}+2\ 890$.$\because a=-10＜0$,$44≤ x≤ 52$,$\therefore$ 当$x=52$时,$w$有最大值,最大值为$-10×(52-57)^{2}+2\ 890=2\ 640$.答:将纪念册的销售单价定为52元时,商店每天销售纪念册获得的利润$w$最大,最大利润是2 640元.
解析
【分析】
1. 求解y与x的函数关系：已知销售单价44元时销量300本，单价每涨1元销量减少10本，因此销量=基础销量-因涨价减少的销量；再根据“销售单价不低于44元，获利不高于30%”计算最高售价，确定x的取值范围。
2. 求解获利2400元时的售价：总利润=每本利润×销量，每本利润为(x-40)元，销量为y本，列方程求解后，结合x的取值范围舍去不符合要求的解。
3. 求最大利润：先写出总利润w关于x的函数表达式，整理为二次函数顶点式，结合二次函数的增减性和x的取值范围，找到利润最大时的x值并计算最大利润。
【解析】
(1) 当销售单价为x元时，相比44元上涨了(x-44)元，因此销量减少10(x-44)本，所以：
$y=300-10(x-44)=-10x+740$
由获利不高于30%，得最高售价为$40×(1+30\%)=52$元，结合销售单价不低于44元，得自变量取值范围：$44≤ x≤52$。
(2) 总利润=每本利润×销量，根据题意列方程：
$(x-40)(-10x+740)=2400$
整理求解得$x_1=50$，$x_2=64$
$\because 64＞52$，不符合售价要求，舍去
$\therefore x=50$
(3) 总利润w的表达式为：
$w=(x-40)(-10x+740)=-10(x-57)^2+2890$
$\because a=-10＜0$，二次函数开口向下，对称轴为$x=57$
又$\because 44≤ x≤52$，在对称轴左侧，w随x的增大而增大
$\therefore$ 当$x=52$时，w取得最大值，最大值为：
$w=-10×(52-57)^2+2890=2640$
【答案】
(1) $y=-10x+740(44≤ x≤52)$；
(2) 当每本纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
(3) 将纪念册的销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元。
【知识点】
一次函数应用；一元二次方程应用；二次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的实际应用，解题的关键是理清售价、销量、利润三者间的数量关系，特别要注意结合实际限定条件确定自变量的取值范围，避免得到不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
1. 求解y与x的函数关系：已知销售单价44元时销量300本，单价每涨1元销量减少10本，因此销量=基础销量-因涨价减少的销量；再根据“销售单价不低于44元，获利不高于30%”计算最高售价，确定x的取值范围。
2. 求解获利2400元时的售价：总利润=每本利润×销量，每本利润为(x-40)元，销量为y本，列方程求解后，结合x的取值范围舍去不符合要求的解。
3. 求最大利润：先写出总利润w关于x的函数表达式，整理为二次函数顶点式，结合二次函数的增减性和x的取值范围，找到利润最大时的x值并计算最大利润。
【解析】
(1) 当销售单价为x元时，相比44元上涨了(x-44)元，因此销量减少10(x-44)本，所以：
$y=300-10(x-44)=-10x+740$
由获利不高于30%，得最高售价为$40×(1+30\%)=52$元，结合销售单价不低于44元，得自变量取值范围：$44≤ x≤52$。
(2) 总利润=每本利润×销量，根据题意列方程：
$(x-40)(-10x+740)=2400$
整理求解得$x_1=50$，$x_2=64$
$\because 64＞52$，不符合售价要求，舍去
$\therefore x=50$
(3) 总利润w的表达式为：
$w=(x-40)(-10x+740)=-10(x-57)^2+2890$
$\because a=-10＜0$，二次函数开口向下，对称轴为$x=57$
又$\because 44≤ x≤52$，在对称轴左侧，w随x的增大而增大
$\therefore$ 当$x=52$时，w取得最大值，最大值为：
$w=-10×(52-57)^2+2890=2640$
【答案】
(1) $y=-10x+740(44≤ x≤52)$；
(2) 当每本纪念册的销售单价是50元时，商店每天获利2400元；
(3) 将纪念册的销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元。
【知识点】
一次函数应用；一元二次方程应用；二次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的实际应用，解题的关键是理清售价、销量、利润三者间的数量关系，特别要注意结合实际限定条件确定自变量的取值范围，避免得到不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
9. 动手操作 新趋势 根据以下素材，探究并解答问题。
(1)初步探究:折一个底面积为$484\ \mathrm{cm}^2$的无盖长方体盒子,求剪掉的小正方形的边长.
(2)探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值.若有,求出最大值和此时剪掉的小正方形的边长;若没有,请说明理由.
(1)初步探究:折一个底面积为$484\ \mathrm{cm}^2$的无盖长方体盒子,求剪掉的小正方形的边长.
(2)探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值.若有,求出最大值和此时剪掉的小正方形的边长;若没有,请说明理由.
答案
9.解:(1)设剪掉的小正方形的边长为$x$ cm,则无盖长方体盒子的底面边长为$(40-2x)$cm.根据题意,得$(40-2x)^{2}=484$,解得$x_{1}=9$,$x_{2}=31$(舍去).答:剪掉的小正方形的边长为9 cm.(2)有最大值.设剪掉的小正方形的边长为$a$ cm,折成的无盖长方体盒子的侧面积为$S\ \mathrm{cm}^2$.根据题意,得$S=4a(40-2a)=-8(a-10)^{2}+800$.$\because -8＜0$,且$0＜a＜20$,$\therefore$ 当$a=10$时,$S$有最大值,最大值为800.答:当剪掉的小正方形的边长为10 cm时,折成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值,最大面积为$800\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先设剪掉的小正方形边长为$x$ cm，折成无盖长方体后底面为正方形，边长为原正方形边长减去两侧剪掉的小正方形边长，即$(40-2x)$ cm，再结合底面积的已知条件列一元二次方程求解，最后结合实际边长不能为负的要求舍去不符合题意的解即可。
(2) 求解第二问时，先设小正方形边长为$a$ cm，侧面积为$S$ cm²，无盖长方体侧面积是4个完全相同的长方形面积之和，每个长方形的长为$(40-2a)$ cm、宽为$a$ cm，据此列出侧面积关于$a$的函数关系式，整理为二次函数顶点式后，结合抛物线开口方向和自变量的实际取值范围，即可求出侧面积的最大值和对应的边长。
【解析】
(1) 设剪掉的小正方形的边长为$x$ cm，则无盖长方体盒子的底面边长为$(40-2x)$cm。
根据题意列方程得：
$(40-2x)^{2}=484$
解得$x_{1}=9$，$x_{2}=31$。
$\because 40-2x＞0$，即$x＜20$，
$\therefore x_{2}=31$不符合实际意义，舍去。
(2) 侧面积有最大值，求解过程如下：
设剪掉的小正方形的边长为$a$ cm，折成的无盖长方体盒子的侧面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
根据侧面积的构成列关系式得：
$S=4a(40-2a)=-8(a-10)^{2}+800$
$\because -8＜0$，抛物线开口向下，且自变量取值范围为$0＜a＜20$，
$\therefore$ 当$a=10$时，$S$取得最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪掉的小正方形的边长为9 cm；
(2) 侧面积有最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；长方体侧面积计算
【点评】
本题结合手工折叠纸盒的实际情境，考查方程与函数在几何问题中的实际应用，解题时需要结合图形的边长关系列关系式，同时注意根据实际意义舍去不符合要求的解，兼顾了对动手能力和代数应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
(1) 求解第一问时，先设剪掉的小正方形边长为$x$ cm，折成无盖长方体后底面为正方形，边长为原正方形边长减去两侧剪掉的小正方形边长，即$(40-2x)$ cm，再结合底面积的已知条件列一元二次方程求解，最后结合实际边长不能为负的要求舍去不符合题意的解即可。
(2) 求解第二问时，先设小正方形边长为$a$ cm，侧面积为$S$ cm²，无盖长方体侧面积是4个完全相同的长方形面积之和，每个长方形的长为$(40-2a)$ cm、宽为$a$ cm，据此列出侧面积关于$a$的函数关系式，整理为二次函数顶点式后，结合抛物线开口方向和自变量的实际取值范围，即可求出侧面积的最大值和对应的边长。
【解析】
(1) 设剪掉的小正方形的边长为$x$ cm，则无盖长方体盒子的底面边长为$(40-2x)$cm。
根据题意列方程得：
$(40-2x)^{2}=484$
解得$x_{1}=9$，$x_{2}=31$。
$\because 40-2x＞0$，即$x＜20$，
$\therefore x_{2}=31$不符合实际意义，舍去。
(2) 侧面积有最大值，求解过程如下：
设剪掉的小正方形的边长为$a$ cm，折成的无盖长方体盒子的侧面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
根据侧面积的构成列关系式得：
$S=4a(40-2a)=-8(a-10)^{2}+800$
$\because -8＜0$，抛物线开口向下，且自变量取值范围为$0＜a＜20$，
$\therefore$ 当$a=10$时，$S$取得最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 剪掉的小正方形的边长为9 cm；
(2) 侧面积有最大值，最大值为$800\ \mathrm{cm}^2$，此时剪掉的小正方形的边长为10 cm。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；长方体侧面积计算
【点评】
本题结合手工折叠纸盒的实际情境，考查方程与函数在几何问题中的实际应用，解题时需要结合图形的边长关系列关系式，同时注意根据实际意义舍去不符合要求的解，兼顾了对动手能力和代数应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
