登录
1.(教材P35练习T1变式)已知直角三角形两直角边长之和为20 cm,当这个直角三角形的面积最大时,其中一条直角边长为(
A.8 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.14 cm
B
)A.8 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.14 cm
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过建立二次函数模型求面积的最大值：首先设其中一条直角边的长度为自变量，结合两直角边之和表示出另一条直角边的长度，再根据直角三角形面积公式列出面积关于自变量的二次函数关系式，最后利用二次函数的最值性质求出面积最大时对应的自变量取值即可，注意自变量的取值要符合实际意义。
【解析】
解：设其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$(20-x)\ \mathrm{cm}$，设直角三角形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理为二次函数一般式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x$
其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此该抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$S$取得最大值。
代入$a=-\frac{1}{2}$，$b=10$得：
$x=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10$
$x=10$满足$0＜x＜20$，符合实际意义，因此当面积最大时，其中一条直角边长为10cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数最值应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型基础题，解题核心是通过设未知数建立面积与边长的函数关系，再结合二次函数性质求最值，解题时需注意验证自变量取值是否符合实际情况。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以通过建立二次函数模型求面积的最大值：首先设其中一条直角边的长度为自变量，结合两直角边之和表示出另一条直角边的长度，再根据直角三角形面积公式列出面积关于自变量的二次函数关系式，最后利用二次函数的最值性质求出面积最大时对应的自变量取值即可，注意自变量的取值要符合实际意义。
【解析】
解：设其中一条直角边长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条直角边长为$(20-x)\ \mathrm{cm}$，设直角三角形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
根据直角三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)$
整理为二次函数一般式：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x$
其中二次项系数$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此该抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$S$取得最大值。
代入$a=-\frac{1}{2}$，$b=10$得：
$x=-\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})}=10$
$x=10$满足$0＜x＜20$，符合实际意义，因此当面积最大时，其中一条直角边长为10cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数最值应用
2. 直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值的典型基础题，解题核心是通过设未知数建立面积与边长的函数关系，再结合二次函数性质求最值，解题时需注意验证自变量取值是否符合实际情况。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知$□ ABCD$的周长为$8,∠ B=30°$,设边$AB=x$.当$x$的值为
2
时,$□ ABCD$的面积最大,最大值为2
.答案
2.2 2
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据平行四边形周长公式，用含x的式子表示出AB的邻边BC的长度；第二步，结合∠B=30°的直角三角形的性质，求出平行四边形对应底边上的高，进而将平行四边形的面积表示为关于x的二次函数；第三步，利用二次函数求最值的配方法，求出面积最大时x的值和最大面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为8，AB=x
∴平行四边形对边相等，即$2(AB+BC)=8$
∴$AB+BC=4$，可得$BC=4-x$
过点A作$AE⊥BC$于点E，在$Rt△ABE$中，$∠B=30°$
∴30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$
平行四边形面积$S=底×高=BC·AE=(4-x)·\frac{1}{2}x$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2+2x$
用配方法变形：
$S=-\frac{1}{2}(x^2-4x)=-\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2$
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴该函数图象开口向下，当$x=2$时，S取得最大值，最大值为2。
【答案】
2；2
【知识点】
平行四边形的性质；二次函数的最值；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题的核心是将几何图形的面积问题转化为二次函数的最值问题，需要熟练掌握平行四边形的相关性质和二次函数求最值的方法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据平行四边形周长公式，用含x的式子表示出AB的邻边BC的长度；第二步，结合∠B=30°的直角三角形的性质，求出平行四边形对应底边上的高，进而将平行四边形的面积表示为关于x的二次函数；第三步，利用二次函数求最值的配方法，求出面积最大时x的值和最大面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为8，AB=x
∴平行四边形对边相等，即$2(AB+BC)=8$
∴$AB+BC=4$，可得$BC=4-x$
过点A作$AE⊥BC$于点E，在$Rt△ABE$中，$∠B=30°$
∴30°角所对的直角边等于斜边的一半，即$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$
平行四边形面积$S=底×高=BC·AE=(4-x)·\frac{1}{2}x$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2+2x$
用配方法变形：
$S=-\frac{1}{2}(x^2-4x)=-\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2$
∵二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，
∴该函数图象开口向下，当$x=2$时，S取得最大值，最大值为2。
【答案】
2；2
【知识点】
平行四边形的性质；二次函数的最值；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题的核心是将几何图形的面积问题转化为二次函数的最值问题，需要熟练掌握平行四边形的相关性质和二次函数求最值的方法。
【难度系数】
0.7
3. 为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃ABCD让学生种菜，苗圃其中一边靠墙(可利用的墙长不超过16 m)，另外三边由36 m长的栅栏围成.设矩形苗圃ABCD中垂直于墙的边AB的长为x m，面积为y m².
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？
答案
3.解:(1)由题意,得$y=(36-2x)x=-2x^{2}+36x$.又$\because 0＜36-2x≤ 16,\therefore 10≤ x＜18$.$\therefore y$与$x$之间的函数关系式为$y=-2x^{2}+36x(10≤ x＜18)$.(2)由(1),得$y=-2x^{2}+36x=-2(x-9)^{2}+162$.$\because -2＜0,10≤ x＜18$,$\therefore$ 当$x=10$时,$y$有最大值,最大值为$-2×(10-9)^{2}+162=160$.
解析
【分析】
(1) 求函数关系式时，先依据矩形面积=长×宽的公式分析：垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为栅栏总长减去2个垂直边的长度，即(36-2x)m，二者相乘即可得到y与x的关系式。求自变量取值范围时，需结合实际约束：一是平行于墙的边长不能超过可用墙长16m，二是边长必须为正数，列不等式组求解即可。
(2) 求最值时，先将二次函数解析式配方为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合第一问得到的自变量取值范围，分析函数在该区间内的增减性，即可找到取最大值对应的x值，代入计算得到最大面积。
【解析】
解：(1) 已知垂直于墙的边AB=x m，则平行于墙的边BC的长度为(36-2x)m，根据矩形面积公式得：
$y = x(36-2x) = -2x^2 + 36x$
根据实际意义，平行于墙的边长需满足：$\begin{cases}36-2x ＞ 0 \\ 36-2x ≤ 16 \end{cases}$
解$36-2x ＞ 0$得$x ＜ 18$，解$36-2x ≤ 16$得$x ≥ 10$，因此自变量x的取值范围是$10≤ x ＜ 18$。
即y与x之间的函数关系式为$y=-2x^2+36x(10≤ x ＜ 18)$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$y=-2x^2+36x=-2(x-9)^2+162$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=9$的右侧，y随x的增大而减小，
又$\because$自变量取值范围为$10≤ x ＜ 18$，该区间在对称轴右侧，
$\therefore$当$x=10$时，y取得最大值，代入计算得：
$y_{\mathrm{最大}}=-2×(10-9)^2+162=160$
【答案】
(1) $y=-2x^2+36x(10≤ x ＜ 18)$；
(2) 当$x=10$时，y有最大值，最大值为$160\mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的图象与性质，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题的易错点是忽略实际问题中自变量的取值范围，直接套用顶点坐标求最值，需结合函数在自变量区间内的增减性判断最值点，避免出错。
【难度系数】
0.6
(1) 求函数关系式时，先依据矩形面积=长×宽的公式分析：垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为栅栏总长减去2个垂直边的长度，即(36-2x)m，二者相乘即可得到y与x的关系式。求自变量取值范围时，需结合实际约束：一是平行于墙的边长不能超过可用墙长16m，二是边长必须为正数，列不等式组求解即可。
(2) 求最值时，先将二次函数解析式配方为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合第一问得到的自变量取值范围，分析函数在该区间内的增减性，即可找到取最大值对应的x值，代入计算得到最大面积。
【解析】
解：(1) 已知垂直于墙的边AB=x m，则平行于墙的边BC的长度为(36-2x)m，根据矩形面积公式得：
$y = x(36-2x) = -2x^2 + 36x$
根据实际意义，平行于墙的边长需满足：$\begin{cases}36-2x ＞ 0 \\ 36-2x ≤ 16 \end{cases}$
解$36-2x ＞ 0$得$x ＜ 18$，解$36-2x ≤ 16$得$x ≥ 10$，因此自变量x的取值范围是$10≤ x ＜ 18$。
即y与x之间的函数关系式为$y=-2x^2+36x(10≤ x ＜ 18)$。
(2) 将函数解析式配方为顶点式：
$y=-2x^2+36x=-2(x-9)^2+162$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$x=9$的右侧，y随x的增大而减小，
又$\because$自变量取值范围为$10≤ x ＜ 18$，该区间在对称轴右侧，
$\therefore$当$x=10$时，y取得最大值，代入计算得：
$y_{\mathrm{最大}}=-2×(10-9)^2+162=160$
【答案】
(1) $y=-2x^2+36x(10≤ x ＜ 18)$；
(2) 当$x=10$时，y有最大值，最大值为$160\mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的图象与性质，自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数解决实际面积问题的典型题型，解题的易错点是忽略实际问题中自变量的取值范围，直接套用顶点坐标求最值，需结合函数在自变量区间内的增减性判断最值点，避免出错。
【难度系数】
0.6
4. 生产生活情境化某果园有100棵橘子树，平均每棵树结600个橘子。根据经验估计，果园里每多种一棵橘子树，平均每棵橘子树就会少结5个橘子。设果园里增种$ x $棵橘子树，橘子的总个数为$ y $。
(1)求$ y $关于$ x $的函数关系式；
(2)当果园里增种多少棵橘子树时，橘子的总个数最多？
(1)求$ y $关于$ x $的函数关系式；
(2)当果园里增种多少棵橘子树时，橘子的总个数最多？
答案
4.解:(1)根据题意,得$y=(x+100)(600-5x)=-5(x-10)^{2}+60\ 500$.(2)$\because -5＜0$,$\therefore$ 当$x=10$时,$y$有最大值,即当果园里增种10棵橘子树时,橘子的总个数最多.
解析
【分析】
解决第一问时，需先明确两个核心数量：①增种x棵后橘子树的总棵数，为原有100棵加增种的x棵，即$(100+x)$棵；②增种后平均每棵树的结果数，每多种1棵少结5个橘子，增种x棵则单棵少结$5x$个，即单棵结果数为$(600-5x)$个。根据“橘子总个数=总棵数×单棵结果数”的等量关系，代入即可列出函数关系式，再整理为标准形式。
解决第二问时，所得y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处y取得最大值，求出顶点对应的x值即为最优增种棵数。
【解析】
(1) 根据题意，增种x棵橘子树后，总棵数为$(100+x)$棵，平均每棵树结果$(600-5x)$个，因此总个数：
$y=(x+100)(600-5x)$
展开并配方整理得：$y=-5(x-10)^2+60500$。
(2) $\because$ 二次函数$y=-5(x-10)^2+60500$的二次项系数$-5＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，当$x=10$时，y取得最大值，即此时橘子总个数最多。
【答案】
(1) $y=-5(x-10)^2+60500$（或$y=-5x^2+100x+60000$）；
(2) 当增种10棵橘子树时，橘子总个数最多。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合果园种植的实际情境考查二次函数的应用，解题关键是找准数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决第一问时，需先明确两个核心数量：①增种x棵后橘子树的总棵数，为原有100棵加增种的x棵，即$(100+x)$棵；②增种后平均每棵树的结果数，每多种1棵少结5个橘子，增种x棵则单棵少结$5x$个，即单棵结果数为$(600-5x)$个。根据“橘子总个数=总棵数×单棵结果数”的等量关系，代入即可列出函数关系式，再整理为标准形式。
解决第二问时，所得y是关于x的二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处y取得最大值，求出顶点对应的x值即为最优增种棵数。
【解析】
(1) 根据题意，增种x棵橘子树后，总棵数为$(100+x)$棵，平均每棵树结果$(600-5x)$个，因此总个数：
$y=(x+100)(600-5x)$
展开并配方整理得：$y=-5(x-10)^2+60500$。
(2) $\because$ 二次函数$y=-5(x-10)^2+60500$的二次项系数$-5＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，当$x=10$时，y取得最大值，即此时橘子总个数最多。
【答案】
(1) $y=-5(x-10)^2+60500$（或$y=-5x^2+100x+60000$）；
(2) 当增种10棵橘子树时，橘子总个数最多。
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合果园种植的实际情境考查二次函数的应用，解题关键是找准数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
5.(教材P42习题T3变式)(合肥包河区期末)
某商店计划推出一批新型保温杯.经市场调研发现,每个保温杯盈利20元时,每天可售出120个;单价每降低1元,每天可多售出15个.为促进销量,商家决定在成本不变的情况下降价销售,但每个保温杯的利润不低于13元.每个保温杯降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
某商店计划推出一批新型保温杯.经市场调研发现,每个保温杯盈利20元时,每天可售出120个;单价每降低1元,每天可多售出15个.为促进销量,商家决定在成本不变的情况下降价销售,但每个保温杯的利润不低于13元.每个保温杯降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
答案
5.解:设每个保温杯降价$x$元,每天的销售利润为$y$元.根据题意,得$y=(20-x)(120+15x)=-15x^{2}+180x+2\ 400=-15(x-6)^{2}+2\ 940$.$\because 13≤ 20-x≤ 20$,$\therefore 0≤ x≤ 7$.$\because -15＜0$,$\therefore$ 当$x=6$时,$y$有最大值,最大值为2 940.答:每个保温杯降价6元时,每天的销售利润最大,最大利润为2 940元.
解析
【分析】
这是一道销售利润最值的实际应用题，解题思路如下：①首先牢记总利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售总量；②设降价x元，每天销售利润为y元，分别表示出降价后的单个利润和销售量，进而列出y关于x的函数关系式；③根据题目中“每个保温杯利润不低于13元”的限制条件，求出自变量x的取值范围；④将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，确定取得最大值时x的值以及对应的最大利润。
【解析】
解：设每个保温杯降价$x$元，每天的销售利润为$y$元。
根据总利润=单个利润×销售量，可得：
$y=(20-x)(120+15x)$
展开并整理为顶点式：
$y=-15x^2+180x+2400=-15(x-6)^2+2940$
由题意得每个保温杯利润不低于13元，且降价金额不为负，即$\begin{cases}20-x≥13\\x≥0\end{cases}$，解得$0≤ x≤7$。
$\because$ 二次项系数$-15＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=6$（在$0≤ x≤7$取值范围内）时，$y$取得最大值，最大值为2940。
答：每个保温杯降价6元时，每天的销售利润最大，最大利润为2940元。
【答案】
每个保温杯降价6元时，每天的销售利润最大，最大利润为2940元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，核心是正确建立利润的函数模型，解题时需特别注意自变量的取值要符合实际意义，避免直接套用顶点坐标导致错误，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润最值的实际应用题，解题思路如下：①首先牢记总利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售总量；②设降价x元，每天销售利润为y元，分别表示出降价后的单个利润和销售量，进而列出y关于x的函数关系式；③根据题目中“每个保温杯利润不低于13元”的限制条件，求出自变量x的取值范围；④将二次函数整理为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，确定取得最大值时x的值以及对应的最大利润。
【解析】
解：设每个保温杯降价$x$元，每天的销售利润为$y$元。
根据总利润=单个利润×销售量，可得：
$y=(20-x)(120+15x)$
展开并整理为顶点式：
$y=-15x^2+180x+2400=-15(x-6)^2+2940$
由题意得每个保温杯利润不低于13元，且降价金额不为负，即$\begin{cases}20-x≥13\\x≥0\end{cases}$，解得$0≤ x≤7$。
$\because$ 二次项系数$-15＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=6$（在$0≤ x≤7$取值范围内）时，$y$取得最大值，最大值为2940。
答：每个保温杯降价6元时，每天的销售利润最大，最大利润为2940元。
【答案】
每个保温杯降价6元时，每天的销售利润最大，最大利润为2940元。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，核心是正确建立利润的函数模型，解题时需特别注意自变量的取值要符合实际意义，避免直接套用顶点坐标导致错误，能够有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
