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1.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边的长分别为7,3和21,9,则这两个直角三角形（
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.以上都不对
A
）A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.以上都不对
答案
1.A
解析
【分析】
拿到题目首先明确已知条件：两个都是直角三角形，分别给出了各自的斜边和一条直角边的长度。此时可以优先考虑直角三角形相似的特殊判定规则：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。接下来只需要计算两组对应边的比值，判断是否相等，就能得出结论。
【解析】
解：已知两个三角形均为直角三角形，
计算对应边的比值：
斜边的比为 $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$，
已知直角边的比为 $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
可得两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，因此这两个直角三角形一定相似。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形相似的判定，比例的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形相似的特殊判定方法，解题时只需计算对应边的比值，结合判定规则即可快速得出答案，易错点是忽略直角三角形的专属相似判定条件，错误认为条件不足无法判断。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先明确已知条件：两个都是直角三角形，分别给出了各自的斜边和一条直角边的长度。此时可以优先考虑直角三角形相似的特殊判定规则：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。接下来只需要计算两组对应边的比值，判断是否相等，就能得出结论。
【解析】
解：已知两个三角形均为直角三角形，
计算对应边的比值：
斜边的比为 $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$，
已知直角边的比为 $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
可得两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，因此这两个直角三角形一定相似。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形相似的判定，比例的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形相似的特殊判定方法，解题时只需计算对应边的比值，结合判定规则即可快速得出答案，易错点是忽略直角三角形的专属相似判定条件，错误认为条件不足无法判断。
【难度系数】
0.8
2. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$,则不能使这两个直角三角形相似的条件为（
A.$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$
B.$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$
C.$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A'C'}{A'B'}$
D.$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{B'C'}{A'C'}$
D
）A.$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$
B.$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$
C.$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A'C'}{A'B'}$
D.$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{B'C'}{A'C'}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断不能使两个直角三角形相似的条件，首先明确两个直角三角形已有一组直角（∠C=∠C'=90°）相等，判定相似的思路有两种：一是找到另一组锐角相等，二是找到两组对应边成比例（包括普通三角形的SAS判定，以及直角三角形特有的斜边直角边对应成比例的HL判定）。接下来逐一分析每个选项的边是否为对应成比例的边，即可得出结论。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，逐一分析选项：
A. $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$：AB、$A'B'$是两个三角形的斜边，BC、$B'C'$是两个三角形的直角边，符合直角三角形相似的HL判定（斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似），故两三角形相似，不符合题意；
B. $\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$：AC、BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$中夹直角∠C的两条边，$A'C'$、$B'C'$是$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中夹直角∠C'的两条边，两组对应边成比例且夹角相等，符合相似三角形的SAS判定，故两三角形相似，不符合题意；
C. $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A'C'}{A'B'}$：交叉变形可得$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{AB}{A'B'}$，即两个三角形的直角边AC与$A'C'$的比等于斜边AB与$A'B'$的比，符合HL判定，故两三角形相似，不符合题意；
D. $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{B'C'}{A'C'}$：左边是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边与斜边的比，右边是$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的两条直角边的比，边不对应，既无法推出两组对应边成比例，也无法推出一组锐角相等，不能判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形相似判定，相似三角形判定定理，比例的性质
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定，解题的关键是明确判定相似时边必须对应成比例，逐一排查选项即可准确解题，需注意不要混淆不同三角形的边的对应关系。
【难度系数】
0.7
要判断不能使两个直角三角形相似的条件，首先明确两个直角三角形已有一组直角（∠C=∠C'=90°）相等，判定相似的思路有两种：一是找到另一组锐角相等，二是找到两组对应边成比例（包括普通三角形的SAS判定，以及直角三角形特有的斜边直角边对应成比例的HL判定）。接下来逐一分析每个选项的边是否为对应成比例的边，即可得出结论。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，逐一分析选项：
A. $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}$：AB、$A'B'$是两个三角形的斜边，BC、$B'C'$是两个三角形的直角边，符合直角三角形相似的HL判定（斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似），故两三角形相似，不符合题意；
B. $\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{BC}{B'C'}$：AC、BC是$\mathrm{Rt}△ ABC$中夹直角∠C的两条边，$A'C'$、$B'C'$是$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中夹直角∠C'的两条边，两组对应边成比例且夹角相等，符合相似三角形的SAS判定，故两三角形相似，不符合题意；
C. $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A'C'}{A'B'}$：交叉变形可得$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{AB}{A'B'}$，即两个三角形的直角边AC与$A'C'$的比等于斜边AB与$A'B'$的比，符合HL判定，故两三角形相似，不符合题意；
D. $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{B'C'}{A'C'}$：左边是$\mathrm{Rt}△ ABC$的直角边与斜边的比，右边是$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的两条直角边的比，边不对应，既无法推出两组对应边成比例，也无法推出一组锐角相等，不能判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形相似判定，相似三角形判定定理，比例的性质
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定，解题的关键是明确判定相似时边必须对应成比例，逐一排查选项即可准确解题，需注意不要混淆不同三角形的边的对应关系。
【难度系数】
0.7
3.如图,在四边形 ACBD 中,$∠ABC=∠D=90°,AC=5,AB=4,BD=2.4$.求证:$△ABC∽△ADB$.
答案
3. 证明:在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 中,$∠D=90°,AB=4,BC=2.4, \therefore AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}=3.2. \therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{5}{4}. \because \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{4}, \therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB}{AD}$.
又$\because ∠ABC=∠D=90°, \therefore △ABC∽△ADB$.
又$\because ∠ABC=∠D=90°, \therefore △ABC∽△ADB$.
解析
【分析】
要证明两个直角三角形相似，已知两个直角相等，可通过“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理证明。首先在$\mathrm{Rt}△ADB$中利用勾股定理求出直角边$AD$的长度，再计算两组对应边的比值，验证比值相等后，结合已知的直角相等即可完成证明。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠ D=90°$，$AB=4$，$BD=2.4$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{4^2 - 2.4^2}=\sqrt{10.24}=3.2$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{4}{3.2}=\dfrac{5}{4}$，
$\because \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{4}$，
$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB}{AD}$，
又$\because ∠ ABC=∠ D=90°$，
$\therefore △ABC∽△ADB$。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得$△ ABC∽△ ADB$。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是明确相似判定的所需条件，结合勾股定理求出未知边长，再验证边的比例关系即可，解题时需注意对应边的匹配，避免出现比例对应错误的问题。
【难度系数】
0.7
要证明两个直角三角形相似，已知两个直角相等，可通过“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理证明。首先在$\mathrm{Rt}△ADB$中利用勾股定理求出直角边$AD$的长度，再计算两组对应边的比值，验证比值相等后，结合已知的直角相等即可完成证明。
【解析】
证明：在$\mathrm{Rt}△ADB$中，$∠ D=90°$，$AB=4$，$BD=2.4$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{4^2 - 2.4^2}=\sqrt{10.24}=3.2$，
$\therefore \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{4}{3.2}=\dfrac{5}{4}$，
$\because \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{4}$，
$\therefore \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB}{AD}$，
又$\because ∠ ABC=∠ D=90°$，
$\therefore △ABC∽△ADB$。
【答案】
证明过程见上述解析，可证得$△ ABC∽△ ADB$。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是明确相似判定的所需条件，结合勾股定理求出未知边长，再验证边的比例关系即可，解题时需注意对应边的匹配，避免出现比例对应错误的问题。
【难度系数】
0.7
4. 下列说法不正确的是 （
A.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
B.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
C.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边分别对应成比例的两个直角三角形相似
A
）A.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
B.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
C.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边分别对应成比例的两个直角三角形相似
答案
4.A
解析
【分析】
本题要求选出说法错误的选项，考查直角三角形相似的判定，解题思路如下：
第一步，先回顾相似三角形的通用判定定理（两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），以及直角三角形本身自带直角相等的特性和其特殊的相似判定规则；
第二步，逐一验证每个选项的条件是否能判定相似，重点注意表述不明确的条件，比如A选项中“一组角”没有限定为锐角，需考虑所有可能性；
第三步，找出不符合判定规则的选项即为答案。
【解析】
结合相似三角形判定定理逐一分析选项：
1. 分析选项A：直角三角形本身已经存在一组相等的直角，若选项中所说的“一组角对应相等”就是这组直角，那么无法得到两个三角形其余的锐角对应相等，缺少判定相似的条件，因此该说法错误；
2. 分析选项B：两个直角三角形已有直角相等，再加上一组锐角对应相等，满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定规则，因此该说法正确；
3. 分析选项C：两条直角边对应成比例，且两条直角边的夹角是直角，角度相等，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，因此该说法正确；
4. 分析选项D：一条直角边和斜边分别对应成比例，属于直角三角形相似的特殊判定规则，可判定两个直角三角形相似，因此该说法正确。
题目要求选不正确的说法，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形相似的判定
【点评】
本题是相似判定的基础应用类题目，易错点是忽略A选项中“一组角”未限定为锐角，误默认相等的角为锐角从而判断A正确，做题时要注意分析条件的严谨性。
【难度系数】
0.7
本题要求选出说法错误的选项，考查直角三角形相似的判定，解题思路如下：
第一步，先回顾相似三角形的通用判定定理（两角对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），以及直角三角形本身自带直角相等的特性和其特殊的相似判定规则；
第二步，逐一验证每个选项的条件是否能判定相似，重点注意表述不明确的条件，比如A选项中“一组角”没有限定为锐角，需考虑所有可能性；
第三步，找出不符合判定规则的选项即为答案。
【解析】
结合相似三角形判定定理逐一分析选项：
1. 分析选项A：直角三角形本身已经存在一组相等的直角，若选项中所说的“一组角对应相等”就是这组直角，那么无法得到两个三角形其余的锐角对应相等，缺少判定相似的条件，因此该说法错误；
2. 分析选项B：两个直角三角形已有直角相等，再加上一组锐角对应相等，满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定规则，因此该说法正确；
3. 分析选项C：两条直角边对应成比例，且两条直角边的夹角是直角，角度相等，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，因此该说法正确；
4. 分析选项D：一条直角边和斜边分别对应成比例，属于直角三角形相似的特殊判定规则，可判定两个直角三角形相似，因此该说法正确。
题目要求选不正确的说法，因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形相似的判定
【点评】
本题是相似判定的基础应用类题目，易错点是忽略A选项中“一组角”未限定为锐角，误默认相等的角为锐角从而判断A正确，做题时要注意分析条件的严谨性。
【难度系数】
0.7
5.（教材P90练习T2变式）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，则图中的相似三角形共有 （
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
）A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先利用已知条件找出图中所有相等的角，再依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理逐一判断相似三角形：首先已知△ABC是直角三角形，CD是斜边上的高，可得三个直角相等，再结合公共角、同角的余角相等推导其余相等的角，即可找出所有相似的三角形。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
①在△ABC和△ACD中：
∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）；
②在△ABC和△CBD中：
∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ABC∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）；
③在△ACD和△CBD中：
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
又
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，共有3对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，解题的关键是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，注意不要遗漏两个小直角三角形相似的情况。
【难度系数】
0.7
解题时先利用已知条件找出图中所有相等的角，再依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理逐一判断相似三角形：首先已知△ABC是直角三角形，CD是斜边上的高，可得三个直角相等，再结合公共角、同角的余角相等推导其余相等的角，即可找出所有相似的三角形。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
①在△ABC和△ACD中：
∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）；
②在△ABC和△CBD中：
∠B=∠B，∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ABC∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）；
③在△ACD和△CBD中：
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
又
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
综上，共有3对相似三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；直角三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是相似三角形判定的常规题型，解题的关键是熟练掌握两角对应相等的三角形相似的判定定理，注意不要遗漏两个小直角三角形相似的情况。
【难度系数】
0.7
6. 半开放性题 新趋势 如图，$AB ⊥ BD$，$DE ⊥ BD$，垂足分别为$B,D$，点$C$在线段$BD$上，添加一个条件：
$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CD}$
，使$△ ABC ∽ △ EDC$。答案
6.$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CD}$
解析
【分析】
解题第一步先梳理已知条件：由$AB⊥BD$、$DE⊥BD$，可得$∠B$和$∠D$都是$90°$，即$△ ABC$和$△ EDC$已经有一组对应角相等。要判定两个三角形相似，结合相似三角形的判定规则，我们只需要再补充一个符合判定要求的条件即可：可以补充另一组对应角相等，也可以补充夹这组直角的两组边对应成比例，还可以补充直角三角形特有的“斜边和一条直角边对应成比例”的条件，本题给出的参考答案就属于最后一类情况。
【解析】
$\because AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$，即$△ ABC$和$△ EDC$均为直角三角形。
若添加条件$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CD}$，根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，即可得到$△ ABC ∽ △ EDC$。
（注：本题为开放题，答案不唯一）
【答案】
$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CD}$
【知识点】
相似三角形的判定，垂直的定义
【点评】
本题是半开放性基础题，核心考查对相似三角形判定定理的掌握程度，解题时先明确题目已给出的相等角，再对照判定定理补充缺少的条件即可，注意添加条件时要保证对应边、对应角的对应关系正确。
【难度系数】
0.7
解题第一步先梳理已知条件：由$AB⊥BD$、$DE⊥BD$，可得$∠B$和$∠D$都是$90°$，即$△ ABC$和$△ EDC$已经有一组对应角相等。要判定两个三角形相似，结合相似三角形的判定规则，我们只需要再补充一个符合判定要求的条件即可：可以补充另一组对应角相等，也可以补充夹这组直角的两组边对应成比例，还可以补充直角三角形特有的“斜边和一条直角边对应成比例”的条件，本题给出的参考答案就属于最后一类情况。
【解析】
$\because AB⊥ BD$，$DE⊥ BD$，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$，即$△ ABC$和$△ EDC$均为直角三角形。
若添加条件$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CD}$，根据直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，即可得到$△ ABC ∽ △ EDC$。
（注：本题为开放题，答案不唯一）
【答案】
$\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{BC}{CD}$
【知识点】
相似三角形的判定，垂直的定义
【点评】
本题是半开放性基础题，核心考查对相似三角形判定定理的掌握程度，解题时先明确题目已给出的相等角，再对照判定定理补充缺少的条件即可，注意添加条件时要保证对应边、对应角的对应关系正确。
【难度系数】
0.7
7.(教材 P92 习题 T10 变式)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DF⊥AE,垂足为 F.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ DFA$;
(2)若$AB=6$,$BC=4$,求 DF 的长.
(1)求证:$△ ABE ∽ △ DFA$;
(2)若$AB=6$,$BC=4$,求 DF 的长.
答案
7.(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD// BC,∠B=90°. \therefore ∠AEB=∠DAF. \because DF⊥ AE, \therefore ∠AFD=90°. \therefore ∠B=∠AFD$.
$\therefore △ABE∽△DFA.$ (2)解:$\because E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$\because AB=6, \therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=2\sqrt{10}. \because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD=BC=4. \because △ABE∽△DFA, \therefore \dfrac{AB}{DF}=\dfrac{AE}{AD}$,即 $\dfrac{6}{DF}=\dfrac{2\sqrt{10}}{4}. \therefore DF=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$.
$\therefore △ABE∽△DFA.$ (2)解:$\because E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2$. 在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中,$\because AB=6, \therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=2\sqrt{10}. \because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD=BC=4. \because △ABE∽△DFA, \therefore \dfrac{AB}{DF}=\dfrac{AE}{AD}$,即 $\dfrac{6}{DF}=\dfrac{2\sqrt{10}}{4}. \therefore DF=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE∽△DFA，可通过找两组对应角相等推导：首先利用矩形的性质得到AD//BC，推出内错角∠AEB=∠DAF，再结合两个三角形的直角相等，根据两角对应相等的两个三角形相似即可完成证明。
(2) 求DF的长度时，先根据E是BC中点求出BE的长，用勾股定理计算出Rt△ABE的斜边AE的长度，再利用第一问得到的相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DF的值。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AD// BC,∠B=90°$。$\therefore ∠AEB=∠DAF$。
$\because DF⊥ AE, \therefore ∠AFD=90°$，$\therefore ∠B=∠AFD$。
$\therefore △ABE∽△DFA$。
(2) 解：$\because E$ 是 $BC$ 的中点，$BC=4$，$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中，$AB=6$，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AD=BC=4$。
$\because △ABE∽△DFA, \therefore \dfrac{AB}{DF}=\dfrac{AE}{AD}$，代入数值得 $\dfrac{6}{DF}=\dfrac{2\sqrt{10}}{4}$，
解得：$DF=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) $△ ABE ∽ △ DFA$，证明成立；
(2) $DF$ 的长为$\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$。
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用矩形性质推导等角判定相似，再结合勾股定理和相似三角形的边比例关系求解线段长，准确找到相似三角形的对应角、对应边是解题的关键，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE∽△DFA，可通过找两组对应角相等推导：首先利用矩形的性质得到AD//BC，推出内错角∠AEB=∠DAF，再结合两个三角形的直角相等，根据两角对应相等的两个三角形相似即可完成证明。
(2) 求DF的长度时，先根据E是BC中点求出BE的长，用勾股定理计算出Rt△ABE的斜边AE的长度，再利用第一问得到的相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DF的值。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AD// BC,∠B=90°$。$\therefore ∠AEB=∠DAF$。
$\because DF⊥ AE, \therefore ∠AFD=90°$，$\therefore ∠B=∠AFD$。
$\therefore △ABE∽△DFA$。
(2) 解：$\because E$ 是 $BC$ 的中点，$BC=4$，$\therefore BE=\dfrac{1}{2}BC=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ABE$ 中，$AB=6$，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AD=BC=4$。
$\because △ABE∽△DFA, \therefore \dfrac{AB}{DF}=\dfrac{AE}{AD}$，代入数值得 $\dfrac{6}{DF}=\dfrac{2\sqrt{10}}{4}$，
解得：$DF=\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) $△ ABE ∽ △ DFA$，证明成立；
(2) $DF$ 的长为$\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$。
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用矩形性质推导等角判定相似，再结合勾股定理和相似三角形的边比例关系求解线段长，准确找到相似三角形的对应角、对应边是解题的关键，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
