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7.如图,若A,B,C,P,Q,甲、乙、丙、丁都是正方形网格中的格点,为使$△ ABC ∽ △ PQR$,则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
(第7题图)
(第9题图)
C
)A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
(第7题图)
(第9题图)
答案
C
解析
【分析】要使△ABC∽△PQR，可利用相似三角形判定定理3（三边对应成比例的两个三角形相似）求解。首先设每个小正方形边长为1，先计算△ABC的三边长，再计算PQ的长度得到两个三角形的相似比，据此求出△PQR另外两边的长度，最后逐一验证甲、乙、丙、丁四点到P、Q的距离，符合边长要求的即为点R。
【解析】设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
AB的长度为2；
由勾股定理得，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即△ABC的三边之比为$2:\sqrt{10}:\sqrt{10}$。
2. 计算PQ的长度：$PQ=4$，要使△ABC∽△PQR，相似比为$AB:PQ=2:4=1:2$，因此△PQR的另外两边PR、QR的长度都应为$\sqrt{10}×2=2\sqrt{10}$。
3. 验证各点：
甲到P的距离为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}≠2\sqrt{10}$，不符合；
乙到P的距离为$\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}≠2\sqrt{10}$，不符合；
丙到P的距离为$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，到Q的距离为$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，符合要求；
丁到P的距离为$\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}≠2\sqrt{10}$，不符合。
因此点R应为丙。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定、勾股定理、网格线段计算
【点评】本题结合网格考查相似三角形的判定，解题核心是先利用勾股定理求出已知三角形的边长，再结合相似比确定未知边的长度，即可快速定位符合条件的点，解题时注意等腰三角形的边的对应关系即可。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△ABC的三边长：
AB的长度为2；
由勾股定理得，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即△ABC的三边之比为$2:\sqrt{10}:\sqrt{10}$。
2. 计算PQ的长度：$PQ=4$，要使△ABC∽△PQR，相似比为$AB:PQ=2:4=1:2$，因此△PQR的另外两边PR、QR的长度都应为$\sqrt{10}×2=2\sqrt{10}$。
3. 验证各点：
甲到P的距离为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}≠2\sqrt{10}$，不符合；
乙到P的距离为$\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}≠2\sqrt{10}$，不符合；
丙到P的距离为$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，到Q的距离为$\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$，符合要求；
丁到P的距离为$\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}≠2\sqrt{10}$，不符合。
因此点R应为丙。
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定、勾股定理、网格线段计算
【点评】本题结合网格考查相似三角形的判定，解题核心是先利用勾股定理求出已知三角形的边长，再结合相似比确定未知边的长度，即可快速定位符合条件的点，解题时注意等腰三角形的边的对应关系即可。
【难度系数】0.7
8.△ABC的三边长分别为5,12,13,与它相似的△DEF的最小边长为15,则△DEF的边DE的长为（
A.15
B.36
C.39
D.以上都有可能
D
）A.15
B.36
C.39
D.以上都有可能
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确△ABC的三边大小，确定其最小边，再结合相似三角形的性质计算两个三角形的相似比，求出△DEF的三条边长。需要注意题目仅说明两个三角形相似，未明确顶点的对应关系，因此边DE没有指定对应△ABC的哪条边，需要考虑所有可能的情况。
【解析】
1. 确定△ABC的边长特征：△ABC三边长为5、12、13，其中最小边长为5。
2. 计算相似比：已知与△ABC相似的△DEF的最小边长为15，因此两三角形的相似比为△ABC与△DEF的对应最小边之比，即$5:15=1:3$。
3. 求出△DEF的三边长：根据相似三角形对应边成比例，可得△DEF的三边长分别为$5×3=15$，$12×3=36$，$13×3=39$。
4. 分析DE的可能长度：由于题目未明确△ABC与△DEF的顶点对应关系，因此边DE可以是△DEF三条边中的任意一条，即DE的长可能为15、36或39。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形性质，相似比计算，对应边判定
【点评】
本题设置了“未明确相似三角形顶点对应关系”的陷阱，解题时易默认DE为某条固定对应边导致错选，做题时要仔细审题，全面考虑所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.4
解题时首先明确△ABC的三边大小，确定其最小边，再结合相似三角形的性质计算两个三角形的相似比，求出△DEF的三条边长。需要注意题目仅说明两个三角形相似，未明确顶点的对应关系，因此边DE没有指定对应△ABC的哪条边，需要考虑所有可能的情况。
【解析】
1. 确定△ABC的边长特征：△ABC三边长为5、12、13，其中最小边长为5。
2. 计算相似比：已知与△ABC相似的△DEF的最小边长为15，因此两三角形的相似比为△ABC与△DEF的对应最小边之比，即$5:15=1:3$。
3. 求出△DEF的三边长：根据相似三角形对应边成比例，可得△DEF的三边长分别为$5×3=15$，$12×3=36$，$13×3=39$。
4. 分析DE的可能长度：由于题目未明确△ABC与△DEF的顶点对应关系，因此边DE可以是△DEF三条边中的任意一条，即DE的长可能为15、36或39。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形性质，相似比计算，对应边判定
【点评】
本题设置了“未明确相似三角形顶点对应关系”的陷阱，解题时易默认DE为某条固定对应边导致错选，做题时要仔细审题，全面考虑所有可能的对应情况。
【难度系数】
0.4
9.(教材P115复习题T10变式)如图，∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,则下列结论成立的是（
A.△OAB∽△OCA
B.△OAB∽△ODA
C.△BAC∽△BDA
D.以上都不成立
C
）A.△OAB∽△OCA
B.△OAB∽△ODA
C.△BAC∽△BDA
D.以上都不成立
答案
C
解析
【分析】
解决这道题我们可以采用设特殊值的方法，先设OA=OB=BC=CD为固定数值（如1），利用勾股定理算出各相关线段的长度，再结合相似三角形的判定定理，逐一验证每个选项中的两个三角形是否满足相似条件即可。解题时优先观察三角形是否有公共角，再验证夹公共角的两边是否对应成比例，可提高解题效率。
【解析】
设OA=OB=BC=CD=1，
∵∠AOD=90°，
∴在Rt△OAB中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
易得$OC=OB+BC=2$，$BD=BC+CD=2$，$OD=OB+BC+CD=3$，
在Rt△OAC中，$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
在Rt△OAD中，$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
逐一分析选项：
A. △OAB和△OCA中，$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，对应边比值不相等，两三角形不相似，该选项错误；
B. △OAB和△ODA中，$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，对应边比值不相等，两三角形不相似，该选项错误；
C. △BAC和△BDA中，$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BA}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，三边对应成比例；也可通过∠B为公共角，且夹∠B的两边$\frac{BC}{BA}=\frac{BA}{BD}$，满足两边对应成比例且夹角相等，可判定△BAC∽△BDA，该选项正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形判定的典型习题，通过设特殊值计算各边长度验证比例关系，是解决这类等线段类相似判定题的常用技巧，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以采用设特殊值的方法，先设OA=OB=BC=CD为固定数值（如1），利用勾股定理算出各相关线段的长度，再结合相似三角形的判定定理，逐一验证每个选项中的两个三角形是否满足相似条件即可。解题时优先观察三角形是否有公共角，再验证夹公共角的两边是否对应成比例，可提高解题效率。
【解析】
设OA=OB=BC=CD=1，
∵∠AOD=90°，
∴在Rt△OAB中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
易得$OC=OB+BC=2$，$BD=BC+CD=2$，$OD=OB+BC+CD=3$，
在Rt△OAC中，$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
在Rt△OAD中，$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
逐一分析选项：
A. △OAB和△OCA中，$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，对应边比值不相等，两三角形不相似，该选项错误；
B. △OAB和△ODA中，$\frac{OA}{OD}=\frac{1}{3}$，$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{1}$，对应边比值不相等，两三角形不相似，该选项错误；
C. △BAC和△BDA中，$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BA}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，三边对应成比例；也可通过∠B为公共角，且夹∠B的两边$\frac{BC}{BA}=\frac{BA}{BD}$，满足两边对应成比例且夹角相等，可判定△BAC∽△BDA，该选项正确。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是相似三角形判定的典型习题，通过设特殊值计算各边长度验证比例关系，是解决这类等线段类相似判定题的常用技巧，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.(教材P88练习T4变式)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线.在$AB$边上取一点$E$,连接$DE$,使得$AE=DE$.
(1)求证:$DE// AC$;
(2)作$EF// BC$,交$AC$于点$F$,连接$DF$,求证:$△ ABC∽△ DFE$.
(1)求证:$DE// AC$;
(2)作$EF// BC$,交$AC$于点$F$,连接$DF$,求证:$△ ABC∽△ DFE$.
答案
(1)证明:$\because AD$是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD. \because AE=DE,\therefore ∠ BAD=∠ EDA. \therefore ∠ CAD=∠ EDA. \therefore DE// AC.$
(2)$\because AB=AC,AD$是$∠ BAC$的平分线,$\therefore BD=CD. \because DE// AC,\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}=1. \therefore BE=AE.$ 同理可得$AF=CF,\therefore DE,EF,DF$是$△ ABC$的中位线.$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}. \therefore △ ABC∽ △ DFE.$
(2)$\because AB=AC,AD$是$∠ BAC$的平分线,$\therefore BD=CD. \because DE// AC,\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}=1. \therefore BE=AE.$ 同理可得$AF=CF,\therefore DE,EF,DF$是$△ ABC$的中位线.$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}. \therefore △ ABC∽ △ DFE.$
解析
【分析】
(1) 要证$DE// AC$，可通过证明内错角相等推导。首先利用角平分线性质得$∠ BAD=∠ CAD$，再结合$AE=DE$，由等腰三角形等边对等角得$∠ BAD=∠ EDA$，等量代换得到内错角$∠ CAD=∠ EDA$，即可推出两直线平行。
(2) 要证$△ ABC∽△ DFE$，可选用三边成比例的相似三角形判定定理。首先由等腰三角形三线合一，结合$AD$是角平分线得$BD=CD$，再结合$DE// AC$，由平行线分线段成比例得$E$是$AB$中点，同理得$F$是$AC$中点，进而推出$DE、EF、DF$都是$△ ABC$的中位线，根据中位线性质得到三边对应成比例，即可证明两三角形相似。
【解析】
(1) 证明：$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\because AE=DE$，$\therefore ∠ BAD=∠ EDA$。
$\therefore ∠ CAD=∠ EDA$，
$\therefore DE// AC$。
(2) 证明：$\because AB=AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore BD=CD$。
$\because DE// AC$，$\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}=1$，$\therefore BE=AE$，即$E$是$AB$中点。
同理可得$AF=CF$，即$F$是$AC$中点，
$\therefore DE、EF、DF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore △ ABC∽△ DFE$。
【答案】
(1) 证明成立，$DE// AC$；
(2) 证明成立，$△ ABC∽△ DFE$。
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的判定、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，融合了等腰三角形、平行线、相似三角形的相关知识，解题关键是熟练运用角平分线、等腰三角形三线合一、平行线分线段成比例、中位线的性质推导边与角的关系，掌握相似三角形的判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$DE// AC$，可通过证明内错角相等推导。首先利用角平分线性质得$∠ BAD=∠ CAD$，再结合$AE=DE$，由等腰三角形等边对等角得$∠ BAD=∠ EDA$，等量代换得到内错角$∠ CAD=∠ EDA$，即可推出两直线平行。
(2) 要证$△ ABC∽△ DFE$，可选用三边成比例的相似三角形判定定理。首先由等腰三角形三线合一，结合$AD$是角平分线得$BD=CD$，再结合$DE// AC$，由平行线分线段成比例得$E$是$AB$中点，同理得$F$是$AC$中点，进而推出$DE、EF、DF$都是$△ ABC$的中位线，根据中位线性质得到三边对应成比例，即可证明两三角形相似。
【解析】
(1) 证明：$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\because AE=DE$，$\therefore ∠ BAD=∠ EDA$。
$\therefore ∠ CAD=∠ EDA$，
$\therefore DE// AC$。
(2) 证明：$\because AB=AC$，$AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore BD=CD$。
$\because DE// AC$，$\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BD}{CD}=1$，$\therefore BE=AE$，即$E$是$AB$中点。
同理可得$AF=CF$，即$F$是$AC$中点，
$\therefore DE、EF、DF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{2}$，
$\therefore △ ABC∽△ DFE$。
【答案】
(1) 证明成立，$DE// AC$；
(2) 证明成立，$△ ABC∽△ DFE$。
【知识点】
等腰三角形性质、平行线的判定、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，融合了等腰三角形、平行线、相似三角形的相关知识，解题关键是熟练运用角平分线、等腰三角形三线合一、平行线分线段成比例、中位线的性质推导边与角的关系，掌握相似三角形的判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点,请按要求解答下列问题:
(1)判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由;
(2)画一个三角形,使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点,并且与△ABC相似.(不要求写证明过程)
(1)判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由;
(2)画一个三角形,使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点,并且与△ABC相似.(不要求写证明过程)
答案
(1)$△ ABC∽ △ DEF.$理由如下:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF=2\sqrt{10} ,\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}. \therefore △ ABC∽ △ DEF.$(2)如图,$△ P_4P_5P_2$即为所求.
解析
【分析】
(1)要判断两个格点三角形是否相似，可优先采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题思路为：先借助勾股定理分别计算△ABC和△DEF的三条边长，再计算三组对应边的比值，若三组比值相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
(2)要从5个给定格点中选取3个构造与△ABC相似的三角形，先计算各格点之间的线段长度，筛选出三边长度比和△ABC三边比完全相等的三个点，连接即可得到所求三角形。
【解析】
(1) △ABC∽△DEF，推导过程如下：
设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理计算两个三角形的各边长度：
在△ABC中：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
在△DEF中：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$；
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可证得△ABC∽△DEF。
(2) 选取$P_2、P_4、P_5$三个格点连接，得到的$△ P_4P_5P_2$即为满足要求的三角形。
【答案】
(1)$△ ABC∽ △ DEF.$理由如下:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF=2\sqrt{10} ,\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}. \therefore △ ABC∽ △ DEF.$
(2)如图,$△ P_4P_5P_2$即为所求.
【知识点】
1.勾股定理
2.相似三角形的判定
3.格点作图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的相关知识，既要求学生熟练掌握勾股定理计算格点线段长度的方法，也需要学生灵活运用三边成比例判定相似的定理，属于基础类的综合考查题型。
【难度系数】
0.7
(1)要判断两个格点三角形是否相似，可优先采用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理。解题思路为：先借助勾股定理分别计算△ABC和△DEF的三条边长，再计算三组对应边的比值，若三组比值相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
(2)要从5个给定格点中选取3个构造与△ABC相似的三角形，先计算各格点之间的线段长度，筛选出三边长度比和△ABC三边比完全相等的三个点，连接即可得到所求三角形。
【解析】
(1) △ABC∽△DEF，推导过程如下：
设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理计算两个三角形的各边长度：
在△ABC中：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{4^2+3^2}=5$；
在△DEF中：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$；
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
可得$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可证得△ABC∽△DEF。
(2) 选取$P_2、P_4、P_5$三个格点连接，得到的$△ P_4P_5P_2$即为满足要求的三角形。
【答案】
(1)$△ ABC∽ △ DEF.$理由如下:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF=2\sqrt{10} ,\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{4},\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}. \therefore △ ABC∽ △ DEF.$
(2)如图,$△ P_4P_5P_2$即为所求.
【知识点】
1.勾股定理
2.相似三角形的判定
3.格点作图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的相关知识，既要求学生熟练掌握勾股定理计算格点线段长度的方法，也需要学生灵活运用三边成比例判定相似的定理，属于基础类的综合考查题型。
【难度系数】
0.7
