11.已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{a-2b}{2a+b}$的值为（）

A.$\frac{7}{4}$
B.$\frac{4}{7}$
C.$-\frac{7}{4}$
D.$-\frac{4}{7}$

11.D

【分析】
已知两个字母的比值，求含有这两个字母的分式的值时，可采用设参数的方法解题：先根据已知比例将两个字母用同一个非零参数表示，再代入待求分式中，参数会在化简过程中抵消，即可求出分式的数值。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
∴ 可设 $a=2k$，$b=3k$（$k≠0$）
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{a-2b}{2a+b}$得：
$\begin{aligned}\frac{a-2b}{2a+b}&=\frac{2k - 2×3k}{2×2k + 3k}\\&=\frac{2k - 6k}{4k + 3k}\\&=\frac{-4k}{7k}\end{aligned}$
∵ $k≠0$，约分后得原式$=-\frac{4}{7}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题是比例相关的基础题型，设参数法是解决这类比值类求值问题的常用技巧，计算时要注意符号运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

12.若$x:y=1:3$，$2y=3z$，则$\dfrac{2x+y}{z-y}$的值是。

12.-5

【分析】
本题是比例背景下的分式求值题，解题思路清晰：题目仅给出x、y、z的比例关系，无具体数值，可通过设参数的方法，将x、y、z统一用同一个参数表示，再代入待求分式，参数会被消去，即可得到具体结果。第一步先根据x与y的比例设参数，第二步用参数表示出y和z，第三步代入分式化简计算即可。
【解析】
解：
∵$x:y=1:3$，
∴设$x=k$（$k≠0$），则$y=3k$，
∵$2y=3z$，
∴$z=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{2×3k}{3}=2k$，
将$x=k$、$y=3k$、$z=2k$代入$\dfrac{2x+y}{z-y}$得：
原式$=\dfrac{2k+3k}{2k-3k}=\dfrac{5k}{-k}=-5$（$k≠0$可直接约去）。
【答案】
-5
【知识点】
比例的基本性质；分式化简求值
【点评】
本题是比例求值类基础题，核心是掌握用参数法处理比例关系的技巧，将多个未知量统一用同一个参数表示，计算时注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.8

13. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$\frac{AB+BC}{A'B'+B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$. 若$△ ABC$的周长等于12，则$△ A'B'C'$的周长等于.

13.18

【分析】
解题时首先观察已知的比例关系，发现两个比例式的分子相加恰好是△ABC的周长，分母相加恰好是△A'B'C'的周长，因此可以运用比例的等比性质，直接得到两个三角形的周长比等于已知的比值$\frac{2}{3}$，再代入△ABC的周长即可求出△A'B'C'的周长。
【解析】
已知$\frac{AB+BC}{A'B'+B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{3}$，且三角形周长均为正数，根据比例的等比性质可得：
$\frac{(AB+BC)+AC}{(A'B'+B'C')+A'C'}=\frac{2}{3}$
即$\frac{C_{△ABC}}{C_{△A'B'C'}}=\frac{2}{3}$
又已知$C_{△ABC}=12$，代入得：
$\frac{12}{C_{△A'B'C'}}=\frac{2}{3}$
解得$C_{△A'B'C'}=12×\frac{3}{2}=18$
【答案】
18
【知识点】
等比性质；三角形周长计算
【点评】
本题侧重考查比例性质的基础应用，解题的核心是发现已知比例式的分子、分母之和恰好对应两个三角形的周长，结合等比性质即可快速求解，是比例性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8

14.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}$，求下列各式的值：
(1)$\frac{a - c}{b - d}=$；$(b - d≠0)$
(2)$\frac{2a + 3c - 4e}{2b + 3d - 4f}=$.$(2b + 3d - 4f≠0)$

14.(1)$\frac{2}{5}$ (2)$\frac{2}{5}$

【分析】
本题可通过设参数法结合比例的性质求解，思路如下：先设已知相等比例的比值为常数k，将a、c、e分别用含对应分母b、d、f和k的式子表示，再代入所求的分式，提取公因式后结合题目给出的分母不为0的条件约分，即可得到结果，也可直接利用等比性质快速得出答案。
【解析】
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{5}=k$，则$a=\frac{2}{5}b$，$c=\frac{2}{5}d$，$e=\frac{2}{5}f$。
(1) 代入$\frac{a - c}{b - d}$得：
$\frac{a - c}{b - d}=\frac{\frac{2}{5}b - \frac{2}{5}d}{b - d}=\frac{\frac{2}{5}(b - d)}{b - d}$
∵$b - d≠0$，约分后得结果为$\frac{2}{5}$。
(2) 代入$\frac{2a + 3c - 4e}{2b + 3d - 4f}$得：
$\frac{2a + 3c - 4e}{2b + 3d - 4f}=\frac{2×\frac{2}{5}b + 3×\frac{2}{5}d - 4×\frac{2}{5}f}{2b + 3d - 4f}=\frac{\frac{2}{5}(2b + 3d - 4f)}{2b + 3d - 4f}$
∵$2b + 3d - 4f≠0$，约分后得结果为$\frac{2}{5}$。
【答案】
(1)$\frac{2}{5}$；(2)$\frac{2}{5}$
【知识点】
比例的等比性质，代数式化简
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题型，既可以用设参数的通用方法求解，也可以直接运用等比性质快速得出结果，解题时要注意题目给出的分母不为0的前提，保证约分运算合法有效。
【难度系数】
0.8

15. 已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$.
(1)求代数式$\frac{3a - b + c}{a + 3b - c}$的值；
(2)若$a - b + c = 24$，求$a$的值.

15.解:(1)设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,则$a=3k,b=4k,c=5k$.原式=$\frac{9k-4k+5k}{3k+12k-5k}=\frac{10k}{10k}=1$.(2)
∵$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$,
∴$\frac{a-b+c}{3-4+5}=\frac{24}{4}=6$.
∴$\frac{a}{3}=6$,
∴$a=18$.

【分析】
遇到连等的比例式时，最常用的解题思路是设公共比值为参数$k$，将$a、b、c$都转化为含$k$的代数式，把多未知数问题转化为单未知数问题求解。第一问将用$k$表示的$a、b、c$代入待求分式，约分后即可得到结果；第二问既可以用参数法代入已知等式求出$k$，再计算$a$，也可以直接运用等比性质快速求出比值，进而得到$a$的值。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$，若$k=0$则待求分式分母为0，无意义），因此$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$。
将其代入$\frac{3a - b + c}{a + 3b - c}$得：
$\mathrm{原式}=\frac{3×3k - 4k + 5k}{3k + 3×4k - 5k}=\frac{9k - 4k + 5k}{3k + 12k - 5k}=\frac{10k}{10k}=1$。
(2) 根据等比性质：几个相等的比，其分子之和与分母之和的比等于原比值，可得：
$\frac{a}{3}=\frac{a - b + c}{3 - 4 + 5}$
已知$a - b + c = 24$，代入得：
$\frac{a}{3}=\frac{24}{4}=6$
解得$a=3×6=18$。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{a=18}$
【知识点】
比例的性质，参数法求值，代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的基础题型，解题核心是掌握连比等式的处理技巧，通过设参数或运用等比性质可大幅降低运算难度，这类方法在比例相关计算中应用非常广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.85

16.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，$a+b+c=12$，试判断$△ ABC$的形状.
思维拓展 强化素养

16.解:
∵$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$,$a+b+c=12$,
∴$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{a+4+b+3+c+8}{3+2+4}=\frac{12+15}{9}=3$.
∴$a=5,b=3,c=4$.
∴$b^2+c^2=3^2+4^2=25=a^2$.
∴$△ABC$是直角三角形.

【分析】
遇到连等的比例式，我们可以优先考虑用等比性质求解公共比值：首先利用等比性质，将三个比例的分子相加、分母相加，结合已知的$a+b+c=12$，算出公共比值；再根据公共比值分别求出$a、b、c$的长度；最后验证较短两边的平方和与最长边的平方是否相等，用勾股定理的逆定理判断三角形形状。
【解析】
解：
∵$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，且$a+b+c=12$，
∴根据等比性质可得：
$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{(a+4)+(b+3)+(c+8)}{3+2+4}=\frac{(a+b+c)+15}{9}=\frac{12+15}{9}=3$，
∴$a+4=3×3=9$，解得$a=5$；
$b+3=2×3=6$，解得$b=3$；
$c+8=4×3=12$，解得$c=4$。
∵$b^2+c^2=3^2+4^2=9+16=25$，$a^2=5^2=25$，
∴$b^2+c^2=a^2$，符合勾股定理的逆定理。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
等比性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于比例性质与三角形判定结合的基础常考题，核心是利用等比性质快速求出三边长，再通过勾股定理逆定理完成判定，解题时要注意等比性质的适用条件，同时熟练掌握直角三角形的判定方法。
【难度系数】
0.8

17. 分类讨论新理念已知$a,b,c$均为非零实数，且满足$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，求$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值。

17.解:分两种情况讨论:①当$a+b+c≠0$时,
∵$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$,
∴$\frac{(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$.
∴$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=1$.
∴$a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a$,即$a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a$.
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c×2a×2b}{abc}=8$.②当$a+b+c=0$时,则$a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a$,
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{-c·(-a)·(-b)}{abc}=-1$.综上所述,$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为8或-1.

【分析】
本题为连比形式的代数式求值问题，解题时首先回忆比例的等比性质，注意等比性质成立的前提是所有分母的和不为0，因此需要分两种情况讨论：①当$a+b+c≠0$时，可直接应用等比性质求出连比的比值，再变形得到$a+b$、$b+c$、$c+a$的表达式代入待求式计算；②当$a+b+c=0$时，不满足等比性质的使用条件，此时可直接将$a+b$、$b+c$、$c+a$用含第三个字母的式子表示，代入待求式化简即可，两种情况的结果都要保留，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
①当$a+b+c≠0$时，
∵$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}$，
根据等比性质可得：$\frac{(a+b-c)+(a-b+c)+(-a+b+c)}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$，
∴$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}{b}=\frac{-a+b+c}{a}=1$，
整理得：$a+b-c=c$，$a-b+c=b$，$-a+b+c=a$，即$a+b=2c$，$a+c=2b$，$b+c=2a$，
代入待求式得：$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{2c×2a×2b}{abc}=8$；
②当$a+b+c=0$时，可得$a+b=-c$，$a+c=-b$，$b+c=-a$，
代入待求式得：$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(-c)·(-a)·(-b)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$。
综上所述，$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$的值为8或-1。
【答案】
8或-1
【知识点】
等比性质，分类讨论思想，分式化简求值
【点评】
本题易错点是忽略等比性质的使用条件，未考虑$a+b+c=0$的情况导致漏解，解题时遇到连比问题应用等比性质前，一定要先判断分母和是否为0，分类讨论做到不重不漏。
【难度系数】
0.6