1. 如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC.如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$,那么下列说法错误的是（）


A.线段 AB 被点 C 黄金分割
B.点 C 是线段 AB 的黄金分割点
C.AB 与 AC 的比等于黄金比
D.BC 与 AC 的比等于黄金比

1.C

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的相关概念：第一步，先结合已知比例$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，对应黄金分割的定义，先判断选项A、B的正误；第二步，明确黄金比的定义：黄金比是较长线段与整条线段的比值，也是较短线段与较长线段的比值，数值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，再逐一核对C、D选项的比例关系，即可找出错误说法。
【解析】
根据黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），满足$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，则称线段AB被点C黄金分割，点C是线段AB的黄金分割点，这个相等的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黄金比。
由题中条件$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，符合黄金分割的定义，因此A、B选项说法正确；
由上述定义可知，黄金比为$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，因此D选项说法正确；
C选项中$\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，不是黄金比，说法错误。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.黄金比
【点评】
本题考查黄金分割的基础概念，解题的关键是明确黄金分割中比例的对应关系，不要混淆黄金比的前项和后项，熟记概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2.已知$AB=2$，$P$是线段$AB$上的黄金分割点，且$AP＞BP$，则$AP$的长为________，$BP$的长为________。

2.$\sqrt{5}-1$ $3-\sqrt{5}$

【分析】
解题的核心是掌握黄金分割的定义：若点P把线段AB分为AP和BP两段（AP＞BP），则较长线段AP与总线段AB的比值为固定的黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知AB总长度，且明确给出AP＞BP，无需分类讨论，直接用总长度乘黄金比即可得到AP的长度，再用总长度减去AP的长度就能算出BP的长度。
【解析】
解：
∵P是线段AB上的黄金分割点，且$AP＞BP$，
∴AP为较长线段，满足$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又
∵$AB=2$，
∴$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$，
∴$BP=AB-AP=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$；$3-\sqrt{5}$
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.线段和差计算
【点评】
本题属于黄金分割的基础应用题，解题关键是熟记黄金分割的比值，结合题干给出的线段长短关系确定较长线段后代入计算即可，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.8

3. 学科融合新理念（宣城期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比时（），可以敲击出音符“sol”的声音。若AB=10 cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC为（）

A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ cm
B.$(5\sqrt{5}+5)$cm
C.$(5\sqrt{5}-5)$cm
D.$(12\sqrt{5}-6)$cm
（第3题图）
（第4题图）

3.C

【分析】
解题首先要明确黄金比的定值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。题目给出液面高度AC与瓶高AB的比为黄金比，且已知AB的长度，我们只需根据比例关系列出AC的计算式，再化简二次根式就能得到AC的长度。
【解析】
解：黄金比的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，根据题意可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将$AB=10\mathrm{cm}$代入上式：
$AC=10×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=5×(\sqrt{5}-1)=5\sqrt{5}-5(\mathrm{cm})$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割，二次根式化简
【点评】
本题结合声学实验的场景考查黄金分割的基础应用，体现了学科融合的命题趋势，只要牢记黄金比的数值就能快速求解，属于基础题。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在一片树叶中,P为AB的黄金分割点$(AP＞BP)$.如果AB的长为12 cm,那么线段BP的长为 ()

A.$(\sqrt{5}+1)\mathrm{cm}$
B.$(6\sqrt{5}-12)\mathrm{cm}$
C.$(6\sqrt{5}-6)\mathrm{cm}$
D.$(18-6\sqrt{5})\mathrm{cm}$

4.D

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点P把线段AB分成AP和BP两段（AP＞BP），满足较长线段与总线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则称P是AB的黄金分割点。本题已知AB总长，且P是满足AP＞BP的黄金分割点，解题思路为：先根据黄金分割的比值求出较长线段AP的长度，再用AB的总长减去AP的长度，即可得到BP的长度。
【解析】
解：
∵P为AB的黄金分割点，且$AP＞BP$
∴较长线段AP与AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
已知$AB=12\mathrm{cm}$，代入得：
$AP=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×12=6(\sqrt{5}-1)=6\sqrt{5}-6$（cm）
∴$BP=AB-AP=12-(6\sqrt{5}-6)=18-6\sqrt{5}$（cm）
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割，线段长度计算
【点评】
本题是黄金分割的基础应用题，解题的关键是准确记忆黄金分割的比值，明确较长线段、较短线段和总线段之间的对应关系，避免因混淆长短段的比例关系出错。
【难度系数】
0.7

5.如图，在△ABC中，D，E是边BC的两个“黄金分割”点.若△ABC的面积为1，则△ABE的面积为（）

A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
C.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

5.A

【分析】
解题时首先明确两个核心知识点：一是黄金分割的定义，线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长线段与整条线段的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；二是同高的三角形面积比等于对应底边的长度比。本题中△ABE和△ABC有公共的高（点A到BC的垂线段），因此只需要求出底BE与BC的长度比，再结合△ABC的面积即可计算△ABE的面积。观察图形可知E是BC上靠近点C的黄金分割点，因此BE是BC被分割后的较长线段，直接可得BE与BC的比值为黄金比，代入面积比例关系即可求解。
【解析】
解：
∵E是BC的黄金分割点，且靠近点C，
∴BE为分割后的较长线段，即$\frac{BE}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵△ABE与△ABC同高（高均为点A到BC的垂线段），
∴$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{BE}{BC}$。
已知$S_{△ ABC}=1$，代入得：
$S_{△ ABE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × 1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割，同高三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，将黄金分割的性质和三角形面积的比例关系结合考查，只要掌握黄金比的含义和同高三角形的面积规律，就能快速得出结果，注意判断清楚黄金分割点对应的较长线段是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,舞台AB的长为12 m,一名主持人现在站在点A处,则她需要走m,可使得站位最自然得体.

6.$(18-6\sqrt{5})$或$(6\sqrt{5}-6)$

【分析】
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，该固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。一条线段有2个黄金分割点，分别靠近线段的两个端点，因此本题需要分两种情况讨论：主持人走到靠近A的黄金分割点，或走到靠近B的黄金分割点，分别计算两种情况下从A出发走的距离即可。
【解析】
黄金分割的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，分两种情况计算：
1. 若主持人走到靠近点A的黄金分割点$P_1$处，此时较长线段为$BP_1$：
$BP_1 = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 12 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 6\sqrt{5}-6$
则走的距离$AP_1 = AB - BP_1 = 12 - (6\sqrt{5}-6) = 18-6\sqrt{5}$（m）
2. 若主持人走到靠近点B的黄金分割点$P_2$处，此时较长线段为$AP_2$：
走的距离$AP_2 = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} =12 × \frac{\sqrt{5}-1}{2}=6\sqrt{5}-6$（m）
综上，需要走的距离为$(18-6\sqrt{5})$m或$(6\sqrt{5}-6)$m。
【答案】
$(18-6\sqrt{5})$或$(6\sqrt{5}-6)$
【知识点】
黄金分割、线段的黄金分割点
【点评】
本题是黄金分割在实际场景中的应用，解题的关键是明确一条线段存在两个黄金分割点，需分情况讨论计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7

7. 日常生活 情境化 我们把宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1$的矩形叫作黄金矩形，它给我们协调、匀称的美感. 如图，这是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个正方形AMND，那么右边的窗户BCNM是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由.

7.解:右边的窗户 BCNM 是黄金矩形.证明如下:
∵矩形 ABCD 是黄金矩形,
∴设 $AB=x$,$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.
∵四边形 AMND 是正方形,
∴$AD=AM=MN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.
∴$MB=AB-AM=x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$.
∴$MB: MN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}: \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}: 1$.
∴右边的窗户 BCNM 是黄金矩形.

【分析】
要判断矩形BCNM是否为黄金矩形，只需验证它的宽与长的比是否等于黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$即可，解题思路如下：
1. 利用已知大黄金矩形ABCD的性质，设出大矩形的长AB为参数x，根据黄金矩形的定义表示出大矩形的宽AD的长度；
2. 结合正方形AMND的性质，可知正方形的边长等于AD，进而求出小矩形BCNM的短边MB的长度；
3. 小矩形BCNM的长边为MN（等于AD），计算短边MB与长边MN的比值，化简后和黄金比对比，即可得出结论。
【解析】
解：右边的窗户BCNM是黄金矩形，证明如下：
∵ 矩形ABCD是黄金矩形，
∴ 设$AB=x$，则$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$。
∵ 四边形AMND是正方形，
∴ $AD=AM=MN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
∴ $MB=AB-AM=x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$，
∴ 小矩形BCNM的宽与长的比为：
$MB:MN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x : \frac{\sqrt{5}-1}{2}x=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，
对该式分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+1$：
$\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即$MB:MN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1$，符合黄金矩形的定义。
∴ 右边的窗户BCNM是黄金矩形。
【答案】
右边的窗户BCNM是黄金矩形，证明如下：
∵矩形ABCD是黄金矩形，
∴设$AB=x$,$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.
∵四边形AMND是正方形,
∴$AD=AM=MN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$.
∴$MB=AB-AM=x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$.
∴$MB: MN=\frac{3-\sqrt{5}}{2}: \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}: 1$.
∴右边的窗户BCNM是黄金矩形.
【知识点】
黄金矩形的定义；正方形的性质；二次根式的化简
【点评】
本题结合生活中的窗户设计情境，考查黄金矩形的判定，解题的核心是紧扣黄金矩形的定义，通过设参数表示各边长度，计算宽长比并化简验证即可，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7