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20 铁路上A、B两站相距35km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km。现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，请画出E点位置(要求尺规作图，保留作图痕迹)，并求出E站应建在离A站多少千米处。
答案
如图,点 E 即为所求。由题意得 C、D 两村到 E 站的距离相等,则直线 l 是 DC 的垂直平分线,所以 $DE=CE$。因为 $DA ⊥ AB$ 于点 A,$CB ⊥ AB$ 于点 B,所以 $∠ A=∠ B=90°$,所以 $AE^2+AD^2=DE^2$, $BE^2+BC^2=EC^2$,因为 $DE=CE$,所以 $AE^2+AD^2=BE^2+BC^2$。设 $AE=x\ \mathrm{km}$,则 $BE=AB-AE=(35-x)\mathrm{km}$。因为 $DA=15\ \mathrm{km}$, $CB=10\ \mathrm{km}$,所以 $x^2+15^2=(35-x)^2+10^2$,解得 $x=\frac{110}{7}\ \mathrm{km}$。所以 $AE=\frac{110}{7}\ \mathrm{km}$。所以 E 站应建在离 A 站 $\frac{110}{7}$ 千米处。
解析
【分析】
要使E站到C、D两村距离相等，根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此先作线段CD的垂直平分线，它与AB的交点即为所求E点。计算AE长度时，观察到△ADE和△BCE都是直角三角形，且DE=CE，因此可利用勾股定理分别表示出DE²和CE²，令二者相等，设AE为未知数列方程求解即可。
【解析】
1. 作图：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线l，直线l与AB的交点即为所求的点E（保留作图痕迹）。
2. 计算：
由作图可知$DE=CE$，
因为$DA⊥AB$，$CB⊥AB$，所以$∠ A=∠ B=90°$，
根据勾股定理，在$Rt△ ADE$中：$AE^2+AD^2=DE^2$，
在$Rt△ BCE$中：$BE^2+BC^2=CE^2$，
因为$DE=CE$，所以$AE^2+AD^2=BE^2+BC^2$。
设$AE=x\ \mathrm{km}$，则$BE=AB-AE=(35-x)\ \mathrm{km}$，代入$AD=15\ \mathrm{km}$，$CB=10\ \mathrm{km}$得：
$x^2+15^2=(35-x)^2+10^2$
展开计算：
$x^2+225=1225-70x+x^2+100$
消去$x^2$后移项得：
$70x=1225+100-225$
$70x=1100$
解得$x=\frac{110}{7}$
【答案】
E站应建在离A站$\frac{110}{7}$千米处。
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 勾股定理
3. 尺规作图
【点评】
本题将实际问题与几何知识结合，既考查了线段垂直平分线的尺规作图方法和性质，又考查了利用勾股定理建立方程求解的能力，是几何与代数结合的典型基础应用题，需要熟练掌握几何基本性质和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
要使E站到C、D两村距离相等，根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此先作线段CD的垂直平分线，它与AB的交点即为所求E点。计算AE长度时，观察到△ADE和△BCE都是直角三角形，且DE=CE，因此可利用勾股定理分别表示出DE²和CE²，令二者相等，设AE为未知数列方程求解即可。
【解析】
1. 作图：分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线l，直线l与AB的交点即为所求的点E（保留作图痕迹）。
2. 计算：
由作图可知$DE=CE$，
因为$DA⊥AB$，$CB⊥AB$，所以$∠ A=∠ B=90°$，
根据勾股定理，在$Rt△ ADE$中：$AE^2+AD^2=DE^2$，
在$Rt△ BCE$中：$BE^2+BC^2=CE^2$，
因为$DE=CE$，所以$AE^2+AD^2=BE^2+BC^2$。
设$AE=x\ \mathrm{km}$，则$BE=AB-AE=(35-x)\ \mathrm{km}$，代入$AD=15\ \mathrm{km}$，$CB=10\ \mathrm{km}$得：
$x^2+15^2=(35-x)^2+10^2$
展开计算：
$x^2+225=1225-70x+x^2+100$
消去$x^2$后移项得：
$70x=1225+100-225$
$70x=1100$
解得$x=\frac{110}{7}$
【答案】
E站应建在离A站$\frac{110}{7}$千米处。
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 勾股定理
3. 尺规作图
【点评】
本题将实际问题与几何知识结合，既考查了线段垂直平分线的尺规作图方法和性质，又考查了利用勾股定理建立方程求解的能力，是几何与代数结合的典型基础应用题，需要熟练掌握几何基本性质和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
21 已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°，且A、D、E三点在同一条直线上。
（1）当△ABC与△BDE在如图①所示位置时，连接CE。求证：∠EBC=∠EAC；
（2）在（1）的条件下，判断AE、CE、BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当△ABC与△BDE在如图②所示的位置时，连接CE，若BE平分∠ABC，AD=1，求△BCE的面积。
（1）当△ABC与△BDE在如图①所示位置时，连接CE。求证：∠EBC=∠EAC；
（2）在（1）的条件下，判断AE、CE、BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）当△ABC与△BDE在如图②所示的位置时，连接CE，若BE平分∠ABC，AD=1，求△BCE的面积。
答案
（1）因为$△ ABC$和$△ BDE$都是等腰直角三角形,所以 $∠ BEA=∠ BCA=45°$。记 BC 与 AE 相交于点 O,则 $∠ BOE=∠ AOC$,在 $△ BEO$ 和 $△ ACO$ 中,$∠ OBE+∠ BOE+∠ OEB=180°$, $∠ OAC+∠ AOC+∠ OCA=180°$,所以 $∠ OBE=∠ OAC$,即 $∠ EBC=∠ EAC$。
（2）$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$。理由如下:如图①,过点 C 作 $CF ⊥ AE$ 于点 F。因为 $∠ ABD+∠ DBC=∠ DBC+∠ EBC=45°$,所以 $∠ ABD=∠ EBC$。由(1)知,$∠ EBC=∠ EAC$,所以 $∠ ABD=∠ EAC$,即 $∠ ABD=∠ CAF$。
在 $△ ABD$ 和 $△ CAF$ 中,因为$\begin{cases}∠ ADB=∠ CFA=90°,\\∠ ABD=∠ CAF,\\AB=CA,\end{cases}$所以 $△ ABD ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$,所以 $BD=AF$, $AD=CF$。在等腰直角 $△ BDE$ 中,$BD=DE$,所以 $AF=DE$,所以 $AD+DF=DF+EF$,所以 $AD=EF$,所以 $EF=CF$,所以 $△ CFE$ 是等腰直角三角形,所以 $CF=\frac{\sqrt{2}}{2}CE$,所以 $AE=AF+EF=BD+CF=BD+\frac{\sqrt{2}}{2}CE$,即 $AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$。
（3）如图②,过点 C 作 $CF ⊥ AE$ 交 AE 的延长线于点 F。因为 $∠ ABD+∠ BAD=∠ BAD+∠ CAF=90°$,所以 $∠ ABD=∠ CAF$。在 $△ ABD$ 和 $△ CAF$ 中,因为$\begin{cases}∠ D=∠ F=90°,\\∠ ABD=∠ CAF,\\AB=CA,\end{cases}$所以 $△ ABD ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$,所以 $BD=AF$, $AD=CF$。又因为 $BD=DE$,所以 $DE=AF$,所以 $AD+AE=AE+EF$,所以 $AD=EF$,所以 $EF=CF$,所以 $△ CFE$ 是等腰直角三角形,所以 $∠ CEF=45°$,所以 $∠ BEC=180°-∠ BED-∠ CEF=90°$。因为 BE 平分 $∠ ABC$,而在等腰直角 $△ BAC$ 中,$∠ ABC=45°$,所以 $∠ CBE=∠ ABE=22.5°$,所以 $∠ ABD=∠ DBE-∠ ABE=22.5°$,所以 $∠ CAF=22.5°$,所以 $∠ ACE=∠ CEF-∠ CAF=22.5°$,所以 $∠ ACE=∠ CAF$,所以 $AE=CE$。因为 $AD=1$,所以 $AE=CE=\sqrt{2}CF=\sqrt{2}AD=\sqrt{2}$,所以 $BD=DE=AE+AD=\sqrt{2}+1$。在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=2+\sqrt{2}$。所以 $S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE· CE=\frac{1}{2} × (2+\sqrt{2}) × \sqrt{2}=\sqrt{2}+1$。
解析
【分析】
（1）证明角相等可利用三角形内角和定理：首先由等腰直角三角形的性质可得∠BEA=∠BCA=45°，再结合BC与AE的交点形成的对顶角相等，即可通过三角形内角和为180°推出∠EBC=∠EAC。
（2）探究线段数量关系需通过构造全等转化线段：过点C作CF⊥AE于F，先证明△ABD≌△CAF，将BD转化为AF，AD转化为CF；再结合等腰直角△BDE中BD=DE，推导得EF=CF，即△CFE为等腰直角三角形，得到CE与CF的数量关系，最后拆分AE的组成即可得到三者关系。
（3）求三角形面积先确定底和高：过点C作CF⊥AE交AE延长线于F，先证△ABD≌△CAF得到AD=CF；再结合角平分线的性质推导得∠BEC=90°，且AE=CE，结合AD=1求出CE和BE的长度，利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°，
∴∠BEA=∠BCA=45°。
记BC与AE相交于点O，则∠BOE=∠AOC，
在△BEO和△ACO中，∠OBE+∠BOE+∠OEB=180°，∠OAC+∠AOC+∠OCA=180°，
∴∠OBE=∠OAC，即∠EBC=∠EAC。
（2）线段关系为$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$，理由如下：
如图①，过点C作$CF ⊥ AE$于点F。
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠EBC=45°，
∴∠ABD=∠EBC。
由(1)知∠EBC=∠EAC，
∴∠ABD=∠CAF。
在$△ ABD$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CFA=90°,\\∠ ABD=∠ CAF,\\AB=CA,\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AF$，$AD=CF$。
∵在等腰直角$△ BDE$中，$BD=DE$，
∴$AF=DE$，即$AD+DF=DF+EF$，
∴$AD=EF$，
∴$EF=CF$，即$△ CFE$是等腰直角三角形，
∴$CF=\frac{\sqrt{2}}{2}CE$，
∴$AE=AF+EF=BD+CF=BD+\frac{\sqrt{2}}{2}CE$，
即$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$。
（3）解：如图②，过点C作$CF ⊥ AE$交AE的延长线于点F。
∵∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF。
在$△ ABD$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ F=90°,\\∠ ABD=∠ CAF,\\AB=CA,\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AF$，$AD=CF$。
又
∵$BD=DE$，
∴$DE=AF$，
即$AD+AE=AE+EF$，
∴$AD=EF$，
∴$EF=CF$，即$△ CFE$是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴$∠ BEC=180°-∠ BED-∠ CEF=180°-45°-45°=90°$。
∵BE平分$∠ ABC$，等腰直角$△ BAC$中$∠ ABC=45°$，
∴$∠ CBE=∠ ABE=22.5°$，
∴$∠ ABD=∠ DBE-∠ ABE=45°-22.5°=22.5°$，
∴$∠ CAF=22.5°$，
∴$∠ ACE=∠ CEF-∠ CAF=45°-22.5°=22.5°$，
∴$∠ ACE=∠ CAF$，
∴$AE=CE$。
∵$AD=1$，
∴$CF=AD=1$，
∴$AE=CE=\sqrt{2}CF=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$，
∴$BD=DE=AE+AD=\sqrt{2}+1$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{2×(\sqrt{2}+1)^2}=2+\sqrt{2}$。
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE· CE=\frac{1}{2} × (2+\sqrt{2}) × \sqrt{2}=\sqrt{2}+1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$，理由见上述解析；
（3）$\sqrt{2}+1$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，将等腰直角三角形、全等三角形、角平分线等知识点结合考查，解题的关键是合理构造垂线作为辅助线，通过全等实现线段和角的等量转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
（1）证明角相等可利用三角形内角和定理：首先由等腰直角三角形的性质可得∠BEA=∠BCA=45°，再结合BC与AE的交点形成的对顶角相等，即可通过三角形内角和为180°推出∠EBC=∠EAC。
（2）探究线段数量关系需通过构造全等转化线段：过点C作CF⊥AE于F，先证明△ABD≌△CAF，将BD转化为AF，AD转化为CF；再结合等腰直角△BDE中BD=DE，推导得EF=CF，即△CFE为等腰直角三角形，得到CE与CF的数量关系，最后拆分AE的组成即可得到三者关系。
（3）求三角形面积先确定底和高：过点C作CF⊥AE交AE延长线于F，先证△ABD≌△CAF得到AD=CF；再结合角平分线的性质推导得∠BEC=90°，且AE=CE，结合AD=1求出CE和BE的长度，利用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BDE=90°，
∴∠BEA=∠BCA=45°。
记BC与AE相交于点O，则∠BOE=∠AOC，
在△BEO和△ACO中，∠OBE+∠BOE+∠OEB=180°，∠OAC+∠AOC+∠OCA=180°，
∴∠OBE=∠OAC，即∠EBC=∠EAC。
（2）线段关系为$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$，理由如下：
如图①，过点C作$CF ⊥ AE$于点F。
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠EBC=45°，
∴∠ABD=∠EBC。
由(1)知∠EBC=∠EAC，
∴∠ABD=∠CAF。
在$△ ABD$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CFA=90°,\\∠ ABD=∠ CAF,\\AB=CA,\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AF$，$AD=CF$。
∵在等腰直角$△ BDE$中，$BD=DE$，
∴$AF=DE$，即$AD+DF=DF+EF$，
∴$AD=EF$，
∴$EF=CF$，即$△ CFE$是等腰直角三角形，
∴$CF=\frac{\sqrt{2}}{2}CE$，
∴$AE=AF+EF=BD+CF=BD+\frac{\sqrt{2}}{2}CE$，
即$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$。
（3）解：如图②，过点C作$CF ⊥ AE$交AE的延长线于点F。
∵∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAF=90°，
∴∠ABD=∠CAF。
在$△ ABD$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ F=90°,\\∠ ABD=∠ CAF,\\AB=CA,\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AF$，$AD=CF$。
又
∵$BD=DE$，
∴$DE=AF$，
即$AD+AE=AE+EF$，
∴$AD=EF$，
∴$EF=CF$，即$△ CFE$是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴$∠ BEC=180°-∠ BED-∠ CEF=180°-45°-45°=90°$。
∵BE平分$∠ ABC$，等腰直角$△ BAC$中$∠ ABC=45°$，
∴$∠ CBE=∠ ABE=22.5°$，
∴$∠ ABD=∠ DBE-∠ ABE=45°-22.5°=22.5°$，
∴$∠ CAF=22.5°$，
∴$∠ ACE=∠ CEF-∠ CAF=45°-22.5°=22.5°$，
∴$∠ ACE=∠ CAF$，
∴$AE=CE$。
∵$AD=1$，
∴$CF=AD=1$，
∴$AE=CE=\sqrt{2}CF=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$，
∴$BD=DE=AE+AD=\sqrt{2}+1$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{2×(\sqrt{2}+1)^2}=2+\sqrt{2}$。
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE· CE=\frac{1}{2} × (2+\sqrt{2}) × \sqrt{2}=\sqrt{2}+1$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$AE=\frac{\sqrt{2}}{2}CE+BD$，理由见上述解析；
（3）$\sqrt{2}+1$
【知识点】
等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合题，将等腰直角三角形、全等三角形、角平分线等知识点结合考查，解题的关键是合理构造垂线作为辅助线，通过全等实现线段和角的等量转化，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
