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22 如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B、D在BD两侧作AB ⊥ BD，ED ⊥ BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=9，BD=8，设CD=x。
（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长。
（2）点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值。
（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长。
（2）点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值。
答案
（1）$AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+81}$。
（2）当A、C、E三点共线时,$AC+CE$ 的值最小。
（3）如图所示,作 $BD=12$,过点 B 作 $AB ⊥ BD$,过点 D 作 $ED ⊥ BD$(点 A 与点 E 在 BD 的异侧),使 $AB=2$, $ED=3$,连接 AE 交 BD 于点 C,设 $BC=x$,则 AE 的长即为 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$ 的最小值.过点 E 作 $EF ⊥ AB$,交 AB 的延长线于点 F,构成 $\mathrm{Rt}△ AEF$,易得 $AF=2+3=5$, $EF=12$,所以 $AE=13$,即 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$ 的最小值为 13。
解析
【分析】
（1）先根据垂直条件确定△ABC和△EDC都是直角三角形，用BD-CD表示出BC的长度，再分别用勾股定理表示AC、CE的长度，相加即可得到AC+CE的表达式；
（2）依据两点之间线段最短的性质，当A、C、E三点共线时，AC+CE的和等于线段AE的长度，此时和最小；
（3）类比前两问的几何模型，将两个根号分别对应两个直角三角形的斜边，参照题干图形构造对应的几何场景，再用勾股定理求出最短路径的长度，即为代数式的最小值。
【解析】
（1）
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴△ABC和△EDC均为直角三角形。
已知CD=x，BD=8，
∴BC=BD-CD=8-x。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(8-x)^2+5^2}=\sqrt{(8-x)^2+25}$
在Rt△EDC中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+9^2}=\sqrt{x^2+81}$
因此$AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+81}$。
（2）根据两点之间线段最短的性质，当A、C、E三点共线时，AC+CE的长度等于线段AE的长，此时AC+CE的值最小。
（3）构造图形：作$BD=12$，过点B作$AB ⊥ BD$，过点D作$ED ⊥ BD$（点A与点E在BD的异侧），使$AB=2$，$ED=3$，连接AE交BD于点C，设$BC=x$，则$CD=12-x$。
此时$AC=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，$CE=\sqrt{(12-x)^2+3^2}=\sqrt{(12-x)^2+9}$，因此AE的长即为代数式的最小值。
过点E作$EF ⊥ AB$，交AB的延长线于点F，易知四边形BDEF是矩形，因此$EF=BD=12$，$BF=ED=3$，可得$AF=AB+BF=2+3=5$。
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
【答案】
（1）$AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+81}$
（2）当A、C、E三点共线时,$AC+CE$ 的值最小。
（3）$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值为13，构造图形如下：
【知识点】
勾股定理，两点之间线段最短，最短路径建模
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，前两问考查勾股定理和最短路径的基础性质，第三问需要学生类比已知模型，将代数的根式最值问题转化为几何最短路径问题，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）先根据垂直条件确定△ABC和△EDC都是直角三角形，用BD-CD表示出BC的长度，再分别用勾股定理表示AC、CE的长度，相加即可得到AC+CE的表达式；
（2）依据两点之间线段最短的性质，当A、C、E三点共线时，AC+CE的和等于线段AE的长度，此时和最小；
（3）类比前两问的几何模型，将两个根号分别对应两个直角三角形的斜边，参照题干图形构造对应的几何场景，再用勾股定理求出最短路径的长度，即为代数式的最小值。
【解析】
（1）
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴△ABC和△EDC均为直角三角形。
已知CD=x，BD=8，
∴BC=BD-CD=8-x。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{(8-x)^2+5^2}=\sqrt{(8-x)^2+25}$
在Rt△EDC中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{x^2+9^2}=\sqrt{x^2+81}$
因此$AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+81}$。
（2）根据两点之间线段最短的性质，当A、C、E三点共线时，AC+CE的长度等于线段AE的长，此时AC+CE的值最小。
（3）构造图形：作$BD=12$，过点B作$AB ⊥ BD$，过点D作$ED ⊥ BD$（点A与点E在BD的异侧），使$AB=2$，$ED=3$，连接AE交BD于点C，设$BC=x$，则$CD=12-x$。
此时$AC=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，$CE=\sqrt{(12-x)^2+3^2}=\sqrt{(12-x)^2+9}$，因此AE的长即为代数式的最小值。
过点E作$EF ⊥ AB$，交AB的延长线于点F，易知四边形BDEF是矩形，因此$EF=BD=12$，$BF=ED=3$，可得$AF=AB+BF=2+3=5$。
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。
【答案】
（1）$AC+CE=\sqrt{(8-x)^2+25}+\sqrt{x^2+81}$
（2）当A、C、E三点共线时,$AC+CE$ 的值最小。
（3）$\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(12 - x)^2 + 9}$的最小值为13，构造图形如下：
【知识点】
勾股定理，两点之间线段最短，最短路径建模
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，前两问考查勾股定理和最短路径的基础性质，第三问需要学生类比已知模型，将代数的根式最值问题转化为几何最短路径问题，对知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
23 综合与实践
【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点F。
【数学思考】(1) 试判断FC与FE的数量关系，并说明理由。
【深入探究】(2) 在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题。
① “乐学小组”提出问题：如图②，如果∠ABC=30°，当∠CAE=40°时，求∠FDB的度数；
② “善思小组”提出问题：如图③，如果CA=6，CB=8。当∠CAE=∠B时，求线段BF的长。
【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点F。
【数学思考】(1) 试判断FC与FE的数量关系，并说明理由。
【深入探究】(2) 在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题。
① “乐学小组”提出问题：如图②，如果∠ABC=30°，当∠CAE=40°时，求∠FDB的度数；
② “善思小组”提出问题：如图③，如果CA=6，CB=8。当∠CAE=∠B时，求线段BF的长。
答案
（1）$FC=FE$。理由:如图①,连接 AF,由旋转的性质知, $AC=AE$, $∠ AED=∠ C=∠ AEF=90°$,因为 $AF=AF$,所以 $\mathrm{Rt}△ AFE ≌ \mathrm{Rt}△ AFC (\mathrm{HL})$,所以 $FC=FE$。
（2）① 如图②,由旋转可得, $△ ABC ≌ △ ADE$, $∠ CAE=∠ BAD$,所以 $AB=AD$, $∠ ADE=∠ ABC$。因为 $∠ ABC=30°$,所以 $∠ ADE=∠ ABC=30°$。因为 $∠ CAE=40°$,所以 $∠ BAD=40°$,所以 $∠ ADB=∠ ABD=70°$,所以 $∠ FDB=∠ ADB-∠ ADE=70°-30°=40°$。
② 如图③,因为 $∠ C=90°$, $CA=6$, $CB=8$,所以 $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$,由旋转的性质知,$∠ CAE=∠ BAD$, $AD=AB=10$, $DE=BC=8$, $∠ B=∠ D$, $∠ C=∠ AED=90°$。因为 $∠ CAE=∠ BAD$, $∠ CAE=∠ B$,所以 $∠ BAD=∠ B$,所以 $AD // BC$,所以 $∠ DAF=∠ AFC$。由(1)得 $\mathrm{Rt}△ AFE ≌ \mathrm{Rt}△ AFC$,所以 $∠ AFC=∠ AFE$,所以 $∠ DAF=∠ AFD$,所以 $DA=DF=10$,所以 $EF=DF-ED=2$,所以 $CF=EF=2$,所以 $BF=BC-FC=6$。
解析
【分析】
(1) 要判断FC和FE的数量关系，观察到旋转后可得AC=AE，∠C和∠AEF均为直角，可连接公共边AF，利用HL判定证明两个直角三角形全等，即可推出两边相等。
(2) ① 根据旋转性质可得△ABC≌△ADE，对应边AB=AD、对应角∠ADE=∠ABC，且旋转角∠CAE=∠BAD，先求出等腰△ABD的底角∠ADB，再用∠ADB减去∠ADE即可得到∠FDB的度数。
② 先利用勾股定理求出AB的长度，结合旋转性质得AD=AB，再由∠CAE=∠B推出∠BAD=∠B，得到AD//BC，结合(1)的全等结论推导得DA=DF，求出EF的长度即可得到CF的长度，最后用BC减CF得到BF的长。
【解析】
(1) $FC=FE$，理由如下：
如图①，连接$AF$，由旋转的性质可知，$AC=AE$，$∠AED=∠C=90°$，因此$∠AEF=∠C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AFE$和$\mathrm{Rt}△AFC$中：
$\{\begin{array}{l}AF=AF\\ AE=AC\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△AFE ≌ \mathrm{Rt}△AFC (\mathrm{HL})$
$\therefore FC=FE$
(2) ① 如图②，由旋转的性质可得$△ABC ≌ △ADE$，旋转角$∠CAE=∠BAD$，
$\therefore AB=AD$，$∠ADE=∠ABC$。
$\because ∠ABC=30°$，$\therefore ∠ADE=30°$，
又$\because ∠CAE=40°$，$\therefore ∠BAD=40°$，
在等腰$△ABD$中，$∠ADB=∠ABD=\frac{180°-∠BAD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
$\therefore ∠FDB=∠ADB-∠ADE=70°-30°=40°$。
② 如图③，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$CA=6$，$CB=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由旋转的性质可知：$∠CAE=∠BAD$，$AD=AB=10$，$DE=BC=8$，$∠B=∠D$，$∠C=∠AED=90°$，
$\because ∠CAE=∠B$，$\therefore ∠BAD=∠B$，
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠DAF=∠AFC$，
由(1)得$\mathrm{Rt}△AFE ≌ \mathrm{Rt}△AFC$，$\therefore ∠AFC=∠AFE$，
$\therefore ∠DAF=∠AFD$，
$\therefore DA=DF=10$，
$\therefore EF=DF-DE=10-8=2$，
$\because CF=EF$，$\therefore CF=2$，
$\therefore BF=BC-CF=8-2=6$。
【答案】
（1）$FC=FE$，理由见解析。
（2）① $\boldsymbol{40°}$；
② $\boldsymbol{6}$。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为几何综合探究题，围绕旋转的性质逐层设置问题，解题时可利用前后小问的关联，将前一问的结论作为后一问的解题条件，考查逻辑推理能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断FC和FE的数量关系，观察到旋转后可得AC=AE，∠C和∠AEF均为直角，可连接公共边AF，利用HL判定证明两个直角三角形全等，即可推出两边相等。
(2) ① 根据旋转性质可得△ABC≌△ADE，对应边AB=AD、对应角∠ADE=∠ABC，且旋转角∠CAE=∠BAD，先求出等腰△ABD的底角∠ADB，再用∠ADB减去∠ADE即可得到∠FDB的度数。
② 先利用勾股定理求出AB的长度，结合旋转性质得AD=AB，再由∠CAE=∠B推出∠BAD=∠B，得到AD//BC，结合(1)的全等结论推导得DA=DF，求出EF的长度即可得到CF的长度，最后用BC减CF得到BF的长。
【解析】
(1) $FC=FE$，理由如下：
如图①，连接$AF$，由旋转的性质可知，$AC=AE$，$∠AED=∠C=90°$，因此$∠AEF=∠C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△AFE$和$\mathrm{Rt}△AFC$中：
$\{\begin{array}{l}AF=AF\\ AE=AC\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△AFE ≌ \mathrm{Rt}△AFC (\mathrm{HL})$
$\therefore FC=FE$
(2) ① 如图②，由旋转的性质可得$△ABC ≌ △ADE$，旋转角$∠CAE=∠BAD$，
$\therefore AB=AD$，$∠ADE=∠ABC$。
$\because ∠ABC=30°$，$\therefore ∠ADE=30°$，
又$\because ∠CAE=40°$，$\therefore ∠BAD=40°$，
在等腰$△ABD$中，$∠ADB=∠ABD=\frac{180°-∠BAD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
$\therefore ∠FDB=∠ADB-∠ADE=70°-30°=40°$。
② 如图③，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$CA=6$，$CB=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
由旋转的性质可知：$∠CAE=∠BAD$，$AD=AB=10$，$DE=BC=8$，$∠B=∠D$，$∠C=∠AED=90°$，
$\because ∠CAE=∠B$，$\therefore ∠BAD=∠B$，
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠DAF=∠AFC$，
由(1)得$\mathrm{Rt}△AFE ≌ \mathrm{Rt}△AFC$，$\therefore ∠AFC=∠AFE$，
$\therefore ∠DAF=∠AFD$，
$\therefore DA=DF=10$，
$\therefore EF=DF-DE=10-8=2$，
$\because CF=EF$，$\therefore CF=2$，
$\therefore BF=BC-CF=8-2=6$。
【答案】
（1）$FC=FE$，理由见解析。
（2）① $\boldsymbol{40°}$；
② $\boldsymbol{6}$。
【知识点】
旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题为几何综合探究题，围绕旋转的性质逐层设置问题，解题时可利用前后小问的关联，将前一问的结论作为后一问的解题条件，考查逻辑推理能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.6
