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一、选择题(每题2分,共12分)
1 下列说法中,正确的是(
A.7是49的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.36的平方根是6
D.0.01是0.1的算术平方根
1 下列说法中,正确的是(
A
)。A.7是49的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.36的平方根是6
D.0.01是0.1的算术平方根
答案
A
解析
【分析】
解决本题首先需要明确平方根和算术平方根的核心定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根，其中大于等于0的那个平方根叫做$a$的算术平方根。正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根仅有1个且为非负数。接下来逐一验证每个选项是否符合定义即可选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心概念：①算术平方根：若非负数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$为$a$的算术平方根，算术平方根一定是非负数；②平方根：若$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$为$a$的平方根，正数的平方根有2个，一正一负互为相反数。
逐一分析选项：
A. 因为$7^2=49$，且7是正数，符合算术平方根的定义，所以7是49的算术平方根，该选项正确；
B. 16的算术平方根是唯一的非负数4，$\pm4$是16的平方根，不是算术平方根，该选项错误；
C. 36的平方根是$\pm6$，仅说6是不完整的，该选项错误；
D. 因为$0.1^2=0.01$，所以0.1是0.01的算术平方根，选项说法颠倒，错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对平方根和算术平方根概念的区分，解题时要抓住算术平方根非负、正数的平方根有两个这两个核心特点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要明确平方根和算术平方根的核心定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根，其中大于等于0的那个平方根叫做$a$的算术平方根。正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根仅有1个且为非负数。接下来逐一验证每个选项是否符合定义即可选出正确答案。
【解析】
首先明确两个核心概念：①算术平方根：若非负数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$为$a$的算术平方根，算术平方根一定是非负数；②平方根：若$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$为$a$的平方根，正数的平方根有2个，一正一负互为相反数。
逐一分析选项：
A. 因为$7^2=49$，且7是正数，符合算术平方根的定义，所以7是49的算术平方根，该选项正确；
B. 16的算术平方根是唯一的非负数4，$\pm4$是16的平方根，不是算术平方根，该选项错误；
C. 36的平方根是$\pm6$，仅说6是不完整的，该选项错误；
D. 因为$0.1^2=0.01$，所以0.1是0.01的算术平方根，选项说法颠倒，错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对平方根和算术平方根概念的区分，解题时要抓住算术平方根非负、正数的平方根有两个这两个核心特点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2 “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜纪录。数据10909用科学记数法可表示为(
A.$0.10909×10^5$
B.$1.0909×10^4$
C.$10.909×10^3$
D.$1.0909×10^3$
B
)。A.$0.10909×10^5$
B.$1.0909×10^4$
C.$10.909×10^3$
D.$1.0909×10^3$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。对于大于1的正整数，$n$的值等于原数的整数位数减1。我们可以先根据$a$的取值范围排除不符合要求的选项，再通过$n$的计算确定最终答案，也可以直接推导正确的表达形式再匹配选项。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将10909的小数点向左移动4位，得到$a=1.0909$，满足$1≤1.0909＜10$的要求。
2. 确定$n$的值：原数10909的整数位数为5位，因此$n=5-1=4$。
因此10909用科学记数法表示为$1.0909×10^4$。
也可通过排除法验证：
选项A：$0.10909＜1$，不符合$a$的取值要求，排除；
选项C：$10.909＞10$，不符合$a$的取值要求，排除；
选项D：$1.0909×10^3=1090.9≠10909$，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是基础常考题，核心考查科学记数法的表示规则，掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法即可快速解题，出错点通常是$n$的数值计算错误或者忽略$a$的取值要求。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。对于大于1的正整数，$n$的值等于原数的整数位数减1。我们可以先根据$a$的取值范围排除不符合要求的选项，再通过$n$的计算确定最终答案，也可以直接推导正确的表达形式再匹配选项。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将10909的小数点向左移动4位，得到$a=1.0909$，满足$1≤1.0909＜10$的要求。
2. 确定$n$的值：原数10909的整数位数为5位，因此$n=5-1=4$。
因此10909用科学记数法表示为$1.0909×10^4$。
也可通过排除法验证：
选项A：$0.10909＜1$，不符合$a$的取值要求，排除；
选项C：$10.909＞10$，不符合$a$的取值要求，排除；
选项D：$1.0909×10^3=1090.9≠10909$，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是基础常考题，核心考查科学记数法的表示规则，掌握$a$的取值范围和$n$的确定方法即可快速解题，出错点通常是$n$的数值计算错误或者忽略$a$的取值要求。
【难度系数】
0.9
3 有下列各数: $3.14$、$\sqrt{\dfrac{49}{100}}$、$0.2$、$\dfrac{1}{π}$、$\sqrt{7}$、$\dfrac{131}{11}$、$\sqrt[3]{27}$、$\sqrt[3]{4}$，其中无理数的个数是(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
)。A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时先将题目中能化简的带根号的数先化简，再结合无理数的三类常见特征（含π且无法消去π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数）逐一判断每个数的类型，最后统计无理数的总个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $3.14$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{\dfrac{49}{100}}=\dfrac{7}{10}=0.7$，是有限小数，属于有理数；
3. $0.2$是有限小数，属于有理数；
4. $\dfrac{1}{π}$：$π$是无限不循环小数，因此$\dfrac{1}{π}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{7}$：7开平方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数；
6. $\dfrac{131}{11}$是分数，所有分数都属于有理数；
7. $\sqrt[3]{27}=3$，是整数，属于有理数；
8. $\sqrt[3]{4}$：4开立方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数。
综上，无理数有$\dfrac{1}{π}$、$\sqrt{7}$、$\sqrt[3]{4}$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；开方运算
【点评】
本题重点考查无理数的识别，解题时要注意先化简带根号的数，不能直接认为带根号的数都是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，另外需注意含π的数（非零系数）通常为无理数，分数的分子分母必须均为整数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时先将题目中能化简的带根号的数先化简，再结合无理数的三类常见特征（含π且无法消去π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数）逐一判断每个数的类型，最后统计无理数的总个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的数：
1. $3.14$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{\dfrac{49}{100}}=\dfrac{7}{10}=0.7$，是有限小数，属于有理数；
3. $0.2$是有限小数，属于有理数；
4. $\dfrac{1}{π}$：$π$是无限不循环小数，因此$\dfrac{1}{π}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $\sqrt{7}$：7开平方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数；
6. $\dfrac{131}{11}$是分数，所有分数都属于有理数；
7. $\sqrt[3]{27}=3$，是整数，属于有理数；
8. $\sqrt[3]{4}$：4开立方无法得到整数或有限小数，是开方开不尽的数，属于无理数。
综上，无理数有$\dfrac{1}{π}$、$\sqrt{7}$、$\sqrt[3]{4}$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；开方运算
【点评】
本题重点考查无理数的识别，解题时要注意先化简带根号的数，不能直接认为带根号的数都是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，另外需注意含π的数（非零系数）通常为无理数，分数的分子分母必须均为整数。
【难度系数】
0.7
④ $\sqrt{81}$的平方根是$x$，64的立方根是$y$，则$x+y$的值为（
A.13
B.7
C.13或－5
D.1或7
D
）。A.13
B.7
C.13或－5
D.1或7
答案
D
解析
【分析】
解题时需先区分算术平方根、平方根、立方根的概念：①$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，结果为非负数；②正数的平方根有2个，互为相反数；③正数的立方根是唯一的正数。解题第一步先算出$\sqrt{81}$的具体值，再求它的平方根得到$x$的两个取值；第二步计算64的立方根得到$y$的取值；最后分两种情况计算$x+y$的结果即可。
【解析】
1. 求$x$的值：
先计算$\sqrt{81}=9$，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，因此$x=3$或$x=-3$。
2. 求$y$的值：
因为$4^3=64$，所以64的立方根是4，即$y=4$。
3. 计算$x+y$：
当$x=3$时，$x+y=3+4=7$；
当$x=-3$时，$x+y=-3+4=1$。
因此$x+y$的值为1或7。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根；立方根的定义
【点评】
本题易错点有两处：一是误把$\sqrt{81}$的平方根当成81的平方根，导致$x$取值错误；二是忽略正数的平方根有两个，只计算正的平方根造成漏解，解题时要注意区分类似概念的差异。
【难度系数】
0.7
解题时需先区分算术平方根、平方根、立方根的概念：①$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，结果为非负数；②正数的平方根有2个，互为相反数；③正数的立方根是唯一的正数。解题第一步先算出$\sqrt{81}$的具体值，再求它的平方根得到$x$的两个取值；第二步计算64的立方根得到$y$的取值；最后分两种情况计算$x+y$的结果即可。
【解析】
1. 求$x$的值：
先计算$\sqrt{81}=9$，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$，因此$x=3$或$x=-3$。
2. 求$y$的值：
因为$4^3=64$，所以64的立方根是4，即$y=4$。
3. 计算$x+y$：
当$x=3$时，$x+y=3+4=7$；
当$x=-3$时，$x+y=-3+4=1$。
因此$x+y$的值为1或7。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；算术平方根；立方根的定义
【点评】
本题易错点有两处：一是误把$\sqrt{81}$的平方根当成81的平方根，导致$x$取值错误；二是忽略正数的平方根有两个，只计算正的平方根造成漏解，解题时要注意区分类似概念的差异。
【难度系数】
0.7
5 若$2a^2=32$，则$\sqrt[3]{a-4}$的值为(
A.0
B.−2
C.0或2
D.0或−2
D
)。A.0
B.−2
C.0或2
D.0或−2
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据已知的等式求出a的所有可能取值，再将不同的a值分别代入三次根式计算结果即可。需要注意正数的平方根有两个互为相反数的值，不要漏解，同时立方根对任意实数都有意义，负数的立方根为负数。
【解析】
步骤1：求解a的取值
已知$2a^2=32$，等式两边同时除以2得：$a^2=16$，根据平方根的性质，可得$a=\pm4$。
步骤2：分类代入计算$\sqrt[3]{a-4}$的值
①当$a=4$时，$a-4=4-4=0$，因此$\sqrt[3]{0}=0$；
②当$a=-4$时，$a-4=-4-4=-8$，因此$\sqrt[3]{-8}=-2$。
综上，$\sqrt[3]{a-4}$的值为0或−2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 立方根的运算 3. 解简单一元二次方程
【点评】
本题重点考查平方根与立方根的性质，易错点为求解a时漏掉负根，或是混淆平方根与立方根的取值特点，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的等式求出a的所有可能取值，再将不同的a值分别代入三次根式计算结果即可。需要注意正数的平方根有两个互为相反数的值，不要漏解，同时立方根对任意实数都有意义，负数的立方根为负数。
【解析】
步骤1：求解a的取值
已知$2a^2=32$，等式两边同时除以2得：$a^2=16$，根据平方根的性质，可得$a=\pm4$。
步骤2：分类代入计算$\sqrt[3]{a-4}$的值
①当$a=4$时，$a-4=4-4=0$，因此$\sqrt[3]{0}=0$；
②当$a=-4$时，$a-4=-4-4=-8$，因此$\sqrt[3]{-8}=-2$。
综上，$\sqrt[3]{a-4}$的值为0或−2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方根的性质 2. 立方根的运算 3. 解简单一元二次方程
【点评】
本题重点考查平方根与立方根的性质，易错点为求解a时漏掉负根，或是混淆平方根与立方根的取值特点，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6 我国南宋著名数学家秦九韶提出了利用三角形三边长$a$、$b$、$c$求三角形面积的“秦九韶公式”，即 $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$。已知在$△ ABC$中，$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，则$b$边上的高为（
A.$\frac{\sqrt{39}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{26}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{39}}{6}$
D.$\frac{\sqrt{26}}{4}$
A
）。A.$\frac{\sqrt{39}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{26}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{39}}{6}$
D.$\frac{\sqrt{26}}{4}$
答案
A
解析
【分析】
本题要求b边上的高，可按两步思路求解：第一步，题目已给出秦九韶面积公式和三角形三边长，先将三边数值代入公式，准确计算出△ABC的面积；第二步，结合三角形“面积=1/2×底×高”的基本公式，将b作为底、已求面积代入，反推即可得到b边上的高，计算过程中要遵循二次根式的运算和化简规则，避免计算错误。
【解析】
1. 计算△ABC的面积
已知$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，可得$a^2=5$，$b^2=6$，$c^2=7$，代入秦九韶公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[30-2^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×26}\\&=\frac{\sqrt{26}}{2}\end{aligned}$
2. 求b边上的高h
设b边上的高为h，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bh$，变形得$h=\frac{2S}{b}$，代入数值：
$\begin{aligned}h&=\frac{2×\frac{\sqrt{26}}{2}}{\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{26}×\sqrt{6}}{6}\\&=\frac{\sqrt{156}}{6}\\&=\frac{2\sqrt{39}}{6}\\&=\frac{\sqrt{39}}{3}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式运算，三角形面积计算，代数式代入求值
【点评】
本题结合传统数学文化设置考点，侧重考查公式的灵活运用和运算能力，解题核心是先通过已知公式求出面积，再结合面积公式推导高，计算时需注意二次根式分母有理化的规范。
【难度系数】
0.7
本题要求b边上的高，可按两步思路求解：第一步，题目已给出秦九韶面积公式和三角形三边长，先将三边数值代入公式，准确计算出△ABC的面积；第二步，结合三角形“面积=1/2×底×高”的基本公式，将b作为底、已求面积代入，反推即可得到b边上的高，计算过程中要遵循二次根式的运算和化简规则，避免计算错误。
【解析】
1. 计算△ABC的面积
已知$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，可得$a^2=5$，$b^2=6$，$c^2=7$，代入秦九韶公式：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×[30-2^2]}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}×26}\\&=\frac{\sqrt{26}}{2}\end{aligned}$
2. 求b边上的高h
设b边上的高为h，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bh$，变形得$h=\frac{2S}{b}$，代入数值：
$\begin{aligned}h&=\frac{2×\frac{\sqrt{26}}{2}}{\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{6}}\\&=\frac{\sqrt{26}×\sqrt{6}}{6}\\&=\frac{\sqrt{156}}{6}\\&=\frac{2\sqrt{39}}{6}\\&=\frac{\sqrt{39}}{3}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式运算，三角形面积计算，代数式代入求值
【点评】
本题结合传统数学文化设置考点，侧重考查公式的灵活运用和运算能力，解题核心是先通过已知公式求出面积，再结合面积公式推导高，计算时需注意二次根式分母有理化的规范。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每题3分,共36分)
7 计算：$2\sqrt{2} × \dfrac{\sqrt{12}}{4} ÷ \sqrt{27} =$
7 计算：$2\sqrt{2} × \dfrac{\sqrt{12}}{4} ÷ \sqrt{27} =$
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
。答案
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
解析
【分析】
这是二次根式的乘除混合运算题，解题时先将式中的非最简二次根式全部化为最简二次根式，再按照从左到右的运算顺序，分别对系数、被开方数进行乘除运算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
解：先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
将化简结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2} × \dfrac{2\sqrt{3}}{4} ÷ 3\sqrt{3}\\&=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}÷3\sqrt{3}\\&=\sqrt{2}×\sqrt{3}÷3\sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
二次根式的乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是先化简二次根式再运算，运算过程中要注意区分系数和被开方数的运算规则，最终结果必须是最简二次根式。
【难度系数】
0.7
这是二次根式的乘除混合运算题，解题时先将式中的非最简二次根式全部化为最简二次根式，再按照从左到右的运算顺序，分别对系数、被开方数进行乘除运算，最后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
解：先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
将化简结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{2} × \dfrac{2\sqrt{3}}{4} ÷ 3\sqrt{3}\\&=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}÷3\sqrt{3}\\&=\sqrt{2}×\sqrt{3}÷3\sqrt{3}\\&=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
二次根式的乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是先化简二次根式再运算，运算过程中要注意区分系数和被开方数的运算规则，最终结果必须是最简二次根式。
【难度系数】
0.7
⑧ 如果$\sqrt[3]{2.37} \approx 1.333$，$\sqrt[3]{23.7} \approx 2.872$，那么$\sqrt[3]{23700} \approx$
28.72
。答案
28.72
解析
【分析】
本题考查立方根的相关性质，解题思路如下：首先观察待求的被开方数23700与题干给出的已知被开方数的关联，可发现23700是23.7的1000倍，而1000是10的三次方；再根据立方根的运算性质：两个数乘积的立方根等于两个数立方根的乘积，即可将待求式拆分为已知立方根的式子与$\sqrt[3]{10^3}$的乘积，代入已知数值计算即可。也可直接用立方根小数点移动规律：被开方数小数点向右移动3位，立方根小数点向右移动1位，快速得到结果。
【解析】
解：先将被开方数23700变形：
$23700 = 23.7 × 1000 = 23.7 × 10^3$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$可得：
$\sqrt[3]{23700}=\sqrt[3]{23.7 × 10^3}=\sqrt[3]{23.7} × \sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入得：
$\sqrt[3]{23700}\approx2.872 × 10 = 28.72$
【答案】
28.72
【知识点】
立方根的性质，立方根的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握立方根的小数点移动规律或立方根的运算性质，解题时只需找准待求被开方数与已知条件中被开方数的倍数关系，代入计算即可，是立方根章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题考查立方根的相关性质，解题思路如下：首先观察待求的被开方数23700与题干给出的已知被开方数的关联，可发现23700是23.7的1000倍，而1000是10的三次方；再根据立方根的运算性质：两个数乘积的立方根等于两个数立方根的乘积，即可将待求式拆分为已知立方根的式子与$\sqrt[3]{10^3}$的乘积，代入已知数值计算即可。也可直接用立方根小数点移动规律：被开方数小数点向右移动3位，立方根小数点向右移动1位，快速得到结果。
【解析】
解：先将被开方数23700变形：
$23700 = 23.7 × 1000 = 23.7 × 10^3$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$可得：
$\sqrt[3]{23700}=\sqrt[3]{23.7 × 10^3}=\sqrt[3]{23.7} × \sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入得：
$\sqrt[3]{23700}\approx2.872 × 10 = 28.72$
【答案】
28.72
【知识点】
立方根的性质，立方根的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握立方根的小数点移动规律或立方根的运算性质，解题时只需找准待求被开方数与已知条件中被开方数的倍数关系，代入计算即可，是立方根章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
9 若代数式$\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}$有意义，则$x$的取值范围是
$x ≥ 2且x ≠ 3$
。答案
$x ≥ 2且x ≠ 3$
解析
【分析】
要确定该代数式有意义的x的取值范围，需要同时满足两个限制条件：一是根号下的被开方数必须是非负数，保证二次根式有意义；二是分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们可以分别列出对应不等式，求解后取两个解集的公共部分，就能得到最终的x取值范围。
【解析】
解：要使代数式$\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式被开方数非负：$x-2≥0$，解得$x≥2$；
2. 分式分母不为零：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
将两个解集取公共部分，即可得到x的取值范围。
【答案】
$x ≥ 2且x ≠ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数部分的基础常考题，解题时要注意梳理代数式中所有带限制要求的结构，避免只考虑二次根式的要求、遗漏分母不为0的条件而失分。
【难度系数】
0.8
要确定该代数式有意义的x的取值范围，需要同时满足两个限制条件：一是根号下的被开方数必须是非负数，保证二次根式有意义；二是分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们可以分别列出对应不等式，求解后取两个解集的公共部分，就能得到最终的x取值范围。
【解析】
解：要使代数式$\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式被开方数非负：$x-2≥0$，解得$x≥2$；
2. 分式分母不为零：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
将两个解集取公共部分，即可得到x的取值范围。
【答案】
$x ≥ 2且x ≠ 3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数部分的基础常考题，解题时要注意梳理代数式中所有带限制要求的结构，避免只考虑二次根式的要求、遗漏分母不为0的条件而失分。
【难度系数】
0.8
10 0.$\dot{3}\dot{2}$ =
$\dfrac{32}{99}$
。（填最简分数）答案
$\dfrac{32}{99}$
解析
【分析】
本题是将纯循环小数化为最简分数，解题核心是消去无限循环的小数部分。我们可以通过设未知数的方法求解：首先观察循环节的位数，循环节有几位就把原小数扩大10的几次方，使得扩大后的数和原数的小数部分完全相同，再通过两式相减消去循环部分，最后解出未知数并约分为最简分数即可。
【解析】
解：设$ x = 0.\dot{3}\dot{2} = 0.323232··· $ ①
该数的循环节有2位，将等式①两边同时乘100，可得：
$ 100x = 32.323232··· $ ②
用②减去①，得：
$ 100x - x = 32.3232··· - 0.3232··· $
即$ 99x = 32 $
解得$ x = \frac{32}{99} $
32和99的最大公因数为1，因此$\frac{32}{99}$是最简分数。
【答案】
$\dfrac{32}{99}$
【知识点】
纯循环小数化分数，方程思想应用，最简分数判定
【点评】
本题考查循环小数与分数的互化，通过构造等式消去无限循环的小数部分是解题的核心技巧，转化后需注意检验结果是否为最简分数。
【难度系数】
0.7
本题是将纯循环小数化为最简分数，解题核心是消去无限循环的小数部分。我们可以通过设未知数的方法求解：首先观察循环节的位数，循环节有几位就把原小数扩大10的几次方，使得扩大后的数和原数的小数部分完全相同，再通过两式相减消去循环部分，最后解出未知数并约分为最简分数即可。
【解析】
解：设$ x = 0.\dot{3}\dot{2} = 0.323232··· $ ①
该数的循环节有2位，将等式①两边同时乘100，可得：
$ 100x = 32.323232··· $ ②
用②减去①，得：
$ 100x - x = 32.3232··· - 0.3232··· $
即$ 99x = 32 $
解得$ x = \frac{32}{99} $
32和99的最大公因数为1，因此$\frac{32}{99}$是最简分数。
【答案】
$\dfrac{32}{99}$
【知识点】
纯循环小数化分数，方程思想应用，最简分数判定
【点评】
本题考查循环小数与分数的互化，通过构造等式消去无限循环的小数部分是解题的核心技巧，转化后需注意检验结果是否为最简分数。
【难度系数】
0.7
11 已知$x$是$\sqrt{10}$的整数部分，$y$是$\sqrt{10}$的小数部分，则$(y-\sqrt{10})^{x-1}$的平方根为
$\pm 3$
。答案
$\pm 3$
解析
【分析】
解题首先要确定√10的取值范围，从而得到它的整数部分x和小数部分y的表达式：第一步，根据平方数的大小关系判断√10介于哪两个相邻整数之间，得到整数部分x；第二步，根据“小数部分=原数-整数部分”写出y的表达式；第三步，将x、y代入待求的代数式计算出结果；第四步，求该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个值。
【解析】
解：
∵3²=9，4²=16，且9＜10＜16
∴3＜√10＜4
∴√10的整数部分x=3，小数部分y=√10 - 3
将x、y代入$(y-\sqrt{10})^{x-1}$得：
$y-\sqrt{10} = (\sqrt{10} - 3) - \sqrt{10} = -3$
$x-1 = 3 - 1 = 2$
∴$(y-\sqrt{10})^{x-1} = (-3)² = 9$
∵9的平方根为$±\sqrt{9}=±3$
∴原式的平方根为±3
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；平方根的计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题时注意平方根的结果有正负两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
解题首先要确定√10的取值范围，从而得到它的整数部分x和小数部分y的表达式：第一步，根据平方数的大小关系判断√10介于哪两个相邻整数之间，得到整数部分x；第二步，根据“小数部分=原数-整数部分”写出y的表达式；第三步，将x、y代入待求的代数式计算出结果；第四步，求该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个值。
【解析】
解：
∵3²=9，4²=16，且9＜10＜16
∴3＜√10＜4
∴√10的整数部分x=3，小数部分y=√10 - 3
将x、y代入$(y-\sqrt{10})^{x-1}$得：
$y-\sqrt{10} = (\sqrt{10} - 3) - \sqrt{10} = -3$
$x-1 = 3 - 1 = 2$
∴$(y-\sqrt{10})^{x-1} = (-3)² = 9$
∵9的平方根为$±\sqrt{9}=±3$
∴原式的平方根为±3
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；平方根的计算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，解题时注意平方根的结果有正负两个，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
⑫ 已知 $ m = 1 + \sqrt{2} $，$ n = 1 - \sqrt{2} $，则代数式 $ \sqrt{m^2 + n^2 - 3mn} $ 的值为
3
。答案
3
解析
【分析】
观察所求代数式的结构，包含m²、n²、mn这类项，直接代入m、n的数值计算会比较繁琐，因此想到利用乘法公式的恒等变形简化计算。解题时首先计算m+n与mn的值，再将被开方数转化为含m+n和mn的形式，最后整体代入求值即可，这种整体代入的方法能有效降低运算量，减少计算错误。
【解析】
解：已知$ m = 1 + \sqrt{2} $，$ n = 1 - \sqrt{2} $，先计算$ m+n $与$ mn $的值：
$ m+n = (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2 $
根据平方差公式计算$ mn $：
$ mn = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 $
对被开方数利用完全平方公式变形：
$ m^2 + n^2 - 3mn = (m+n)^2 - 2mn - 3mn = (m+n)^2 - 5mn $
将$ m+n=2 $，$ mn=-1 $代入得：
$ \sqrt{m^2 + n^2 - 3mn} = \sqrt{2^2 - 5×(-1)} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是熟练运用乘法公式进行恒等变形，采用整体代入的思路可以大幅简化计算过程，解题时要注意符号运算，避免代入负号时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
观察所求代数式的结构，包含m²、n²、mn这类项，直接代入m、n的数值计算会比较繁琐，因此想到利用乘法公式的恒等变形简化计算。解题时首先计算m+n与mn的值，再将被开方数转化为含m+n和mn的形式，最后整体代入求值即可，这种整体代入的方法能有效降低运算量，减少计算错误。
【解析】
解：已知$ m = 1 + \sqrt{2} $，$ n = 1 - \sqrt{2} $，先计算$ m+n $与$ mn $的值：
$ m+n = (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2 $
根据平方差公式计算$ mn $：
$ mn = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 $
对被开方数利用完全平方公式变形：
$ m^2 + n^2 - 3mn = (m+n)^2 - 2mn - 3mn = (m+n)^2 - 5mn $
将$ m+n=2 $，$ mn=-1 $代入得：
$ \sqrt{m^2 + n^2 - 3mn} = \sqrt{2^2 - 5×(-1)} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是熟练运用乘法公式进行恒等变形，采用整体代入的思路可以大幅简化计算过程，解题时要注意符号运算，避免代入负号时出现计算错误。
【难度系数】
0.7
13 不等式$\sqrt{7}x + 18 ≥ 5x$ 的解集为
$x ≤ 5+\sqrt{7}$
。答案
$x ≤ 5+\sqrt{7}$
解析
【分析】
本题属于带无理系数的一元一次不等式求解问题，解题思路和普通一元一次不等式一致：先移项，将含未知数的项和常数项分别放在不等式两侧，再合并同类项，最后将未知数系数化为1，注意要先判断系数的正负，确定不等号方向是否需要改变，最后对结果进行分母有理化即可得到解集。
【解析】
解：对不等式$\sqrt{7}x + 18 ≥ 5x$进行求解：
1. 移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
$\sqrt{7}x - 5x ≥ -18$
2. 合并同类项，得：
$(\sqrt{7} - 5)x ≥ -18$
3. 系数化为1：由于$\sqrt{7} ＜ 5$，因此$\sqrt{7}-5 ＜ 0$，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，得：
$x ≤ \frac{-18}{\sqrt{7} - 5}$
4. 对右侧的式子分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7} + 5$：
$\frac{-18}{\sqrt{7} - 5} = \frac{-18(\sqrt{7} + 5)}{(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)} = \frac{-18(\sqrt{7} + 5)}{7 - 25} = \frac{-18(\sqrt{7} + 5)}{-18} = 5 + \sqrt{7}$
因此不等式的解集为$x ≤ 5+\sqrt{7}$。
【答案】
$x ≤ 5+\sqrt{7}$
【知识点】
一元一次不等式的解法，分母有理化，不等式的基本性质
【点评】
本题核心考查一元一次不等式的求解规则，易错点有两处：一是系数化为1时忽略系数为负，未改变不等号方向；二是分母有理化时运算出错，掌握不等式的基本性质和二次根式运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题属于带无理系数的一元一次不等式求解问题，解题思路和普通一元一次不等式一致：先移项，将含未知数的项和常数项分别放在不等式两侧，再合并同类项，最后将未知数系数化为1，注意要先判断系数的正负，确定不等号方向是否需要改变，最后对结果进行分母有理化即可得到解集。
【解析】
解：对不等式$\sqrt{7}x + 18 ≥ 5x$进行求解：
1. 移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得：
$\sqrt{7}x - 5x ≥ -18$
2. 合并同类项，得：
$(\sqrt{7} - 5)x ≥ -18$
3. 系数化为1：由于$\sqrt{7} ＜ 5$，因此$\sqrt{7}-5 ＜ 0$，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，得：
$x ≤ \frac{-18}{\sqrt{7} - 5}$
4. 对右侧的式子分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7} + 5$：
$\frac{-18}{\sqrt{7} - 5} = \frac{-18(\sqrt{7} + 5)}{(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)} = \frac{-18(\sqrt{7} + 5)}{7 - 25} = \frac{-18(\sqrt{7} + 5)}{-18} = 5 + \sqrt{7}$
因此不等式的解集为$x ≤ 5+\sqrt{7}$。
【答案】
$x ≤ 5+\sqrt{7}$
【知识点】
一元一次不等式的解法，分母有理化，不等式的基本性质
【点评】
本题核心考查一元一次不等式的求解规则，易错点有两处：一是系数化为1时忽略系数为负，未改变不等号方向；二是分母有理化时运算出错，掌握不等式的基本性质和二次根式运算规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
14 方程组$\begin{cases}\sqrt{2}x + y = 2, \\ 4x - \sqrt{2}y = \sqrt{2}\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
$\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\y=1\end{cases}$
解析
【分析】
本题是含二次根式系数的二元一次方程组求解问题，可采用加减消元法解答：第一步观察两个方程中未知数的系数，发现将第一个方程两边同乘$\sqrt{2}$后，$y$的系数变为$\sqrt{2}$，与第二个方程中$y$的系数$-\sqrt{2}$互为相反数，两式相加即可消去$y$，求出$x$的值；第二步将求出的$x$代入原方程，即可求出$y$的值，最后代入验证解的正确性即可。
【解析】
先将方程组标记为：
$\begin{cases}\sqrt{2}x + y = 2 \quad ① \\ 4x - \sqrt{2}y = \sqrt{2} \quad ②\end{cases}$
1. 消去$y$：将①式两边同时乘$\sqrt{2}$，得：
$\sqrt{2}×\sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 2×\sqrt{2}$，化简为$2x + \sqrt{2}y = 2\sqrt{2} \quad ③$
2. ②+③得：$4x - \sqrt{2}y + 2x + \sqrt{2}y = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
合并同类项得$6x = 3\sqrt{2}$，解得$x = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 把$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入①式：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + y = 2$
计算得$\frac{2}{2} + y =2$，即$1+y=2$，解得$y=1$
4. 验证：将$x=\frac{\sqrt{2}}{2},y=1$代入②式，左边$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}×1=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，与右边相等，解正确。
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，二次根式的运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查带无理数系数的二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元或代入消元法，同时注意二次根式的运算规则，避免化简错误即可得分。
【难度系数】
0.7
本题是含二次根式系数的二元一次方程组求解问题，可采用加减消元法解答：第一步观察两个方程中未知数的系数，发现将第一个方程两边同乘$\sqrt{2}$后，$y$的系数变为$\sqrt{2}$，与第二个方程中$y$的系数$-\sqrt{2}$互为相反数，两式相加即可消去$y$，求出$x$的值；第二步将求出的$x$代入原方程，即可求出$y$的值，最后代入验证解的正确性即可。
【解析】
先将方程组标记为：
$\begin{cases}\sqrt{2}x + y = 2 \quad ① \\ 4x - \sqrt{2}y = \sqrt{2} \quad ②\end{cases}$
1. 消去$y$：将①式两边同时乘$\sqrt{2}$，得：
$\sqrt{2}×\sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 2×\sqrt{2}$，化简为$2x + \sqrt{2}y = 2\sqrt{2} \quad ③$
2. ②+③得：$4x - \sqrt{2}y + 2x + \sqrt{2}y = \sqrt{2} + 2\sqrt{2}$
合并同类项得$6x = 3\sqrt{2}$，解得$x = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 把$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入①式：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + y = 2$
计算得$\frac{2}{2} + y =2$，即$1+y=2$，解得$y=1$
4. 验证：将$x=\frac{\sqrt{2}}{2},y=1$代入②式，左边$=4×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}×1=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，与右边相等，解正确。
【答案】
$\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，二次根式的运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查带无理数系数的二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元或代入消元法，同时注意二次根式的运算规则，避免化简错误即可得分。
【难度系数】
0.7
