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15 如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示。
若输出的$y$是$\sqrt{5}$，且$10≤ |x| ＜ 100$，则输入的$x$的值为
若输出的$y$是$\sqrt{5}$，且$10≤ |x| ＜ 100$，则输入的$x$的值为
27或−23
。答案
27或−23
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算|x-2|，再对所得结果取算术平方根；若算术平方根是有理数，就将该有理数作为新的被开方数再次取算术平方根，直到得到无理数时输出该结果。已知输出y=√5，我们采用逆向思维推导：最后输出的√5是无理数，说明最后一次的被开方数为(√5)²=5；若5是首次计算|x-2|的结果，解得的x绝对值小于10，不符合10≤|x|＜100的限制，因此5是上一步取算术平方根得到的有理数，即首次计算|x-2|的结果为5²=25，最后解方程|x-2|=25并筛选符合条件的x即可。
【解析】
解：根据输出y=√5，结合运算流程逆向推导：
1. 由于√5是最终输出的无理数，可得最后一次取算术平方根的被开方数为：$(√5)^2=5$。
2. 若$|x-2|=5$，解得$x=7$或$x=-3$，此时$|7|=7＜10$，$|-3|=3＜10$，均不满足$10≤|x|＜100$的要求，舍去。
3. 因此5是上一步取算术平方根得到的有理数，即首次计算$|x-2|$的结果为$5^2=25$，列方程：
$|x-2|=25$
根据绝对值的性质，得$x-2=25$或$x-2=-25$，
解得$x=27$或$x=-23$。
4. 验证：$|27|=27$，$|-23|=23$，均满足$10≤|x|＜100$，符合条件。
【答案】
27或−23
【知识点】
绝对值运算，算术平方根，无理数的概念
【点评】
本题结合流程图考查实数的相关运算，解题的核心是理清运算逻辑，借助逆向推导逐步缩小范围，同时要注意题目给出的限制条件，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
首先明确数值转换器的运算规则：输入x后先计算|x-2|，再对所得结果取算术平方根；若算术平方根是有理数，就将该有理数作为新的被开方数再次取算术平方根，直到得到无理数时输出该结果。已知输出y=√5，我们采用逆向思维推导：最后输出的√5是无理数，说明最后一次的被开方数为(√5)²=5；若5是首次计算|x-2|的结果，解得的x绝对值小于10，不符合10≤|x|＜100的限制，因此5是上一步取算术平方根得到的有理数，即首次计算|x-2|的结果为5²=25，最后解方程|x-2|=25并筛选符合条件的x即可。
【解析】
解：根据输出y=√5，结合运算流程逆向推导：
1. 由于√5是最终输出的无理数，可得最后一次取算术平方根的被开方数为：$(√5)^2=5$。
2. 若$|x-2|=5$，解得$x=7$或$x=-3$，此时$|7|=7＜10$，$|-3|=3＜10$，均不满足$10≤|x|＜100$的要求，舍去。
3. 因此5是上一步取算术平方根得到的有理数，即首次计算$|x-2|$的结果为$5^2=25$，列方程：
$|x-2|=25$
根据绝对值的性质，得$x-2=25$或$x-2=-25$，
解得$x=27$或$x=-23$。
4. 验证：$|27|=27$，$|-23|=23$，均满足$10≤|x|＜100$，符合条件。
【答案】
27或−23
【知识点】
绝对值运算，算术平方根，无理数的概念
【点评】
本题结合流程图考查实数的相关运算，解题的核心是理清运算逻辑，借助逆向推导逐步缩小范围，同时要注意题目给出的限制条件，避免出现不符合要求的解。
【难度系数】
0.6
16 下列关于$a$、$b$的结论：
① $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, b=\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{a+1}=3$，$b$的立方根等于$2$；
③ 某正实数$b$的两个不同平方根分别是$a-7$和$\frac{1}{2}a -8$；
④ $a$是$\sqrt{17}$的整数部分，$b$是不超过$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的最大整数。
其中满足$a ＞ b$的结论是
① $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, b=\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{a+1}=3$，$b$的立方根等于$2$；
③ 某正实数$b$的两个不同平方根分别是$a-7$和$\frac{1}{2}a -8$；
④ $a$是$\sqrt{17}$的整数部分，$b$是不超过$\sqrt{3}+\sqrt{5}$的最大整数。
其中满足$a ＞ b$的结论是
①③④
。（填序号）答案
①③④
解析
【分析】
本题需要逐个分析四个结论，分别根据对应的数学概念计算出每个结论中a、b的取值，再比较a和b的大小，最终筛选出满足a＞b的结论。解题时要牢记平方根、立方根的性质，掌握无理数估算的方法，依次计算避免漏算错算。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 分析结论①：
已知$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\sqrt{5}\approx2.236$，则$a\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$，$b=\frac{1}{2}=0.5$，显然$0.618＞0.5$，即$a＞b$，①符合要求。
2. 分析结论②：
由$\sqrt{a+1}=3$，两边平方得$a+1=9$，解得$a=8$；
由$b$的立方根等于2，得$b=2^3=8$，此时$a=b=8$，不满足$a＞b$，②不符合要求。
3. 分析结论③：
正实数的两个不同平方根互为相反数，因此$(a-7)+(\frac{1}{2}a -8)=0$，
合并同类项得$\frac{3}{2}a -15=0$，解得$a=10$；
则其中一个平方根为$a-7=10-7=3$，因此$b=3^2=9$，$10＞9$即$a＞b$，③符合要求。
4. 分析结论④：
因为$4=\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}=5$，所以$\sqrt{17}$的整数部分$a=4$；
又$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx3.968$，不超过该值的最大整数$b=3$，$4＞3$即$a＞b$，④符合要求。
综上，满足$a＞b$的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
无理数大小估算，平方根的性质，立方根的定义
【点评】
本题属于实数基础综合题，核心考查学生对平方根、立方根概念的掌握程度和无理数估算的能力，只要逐个计算每个条件下a、b的值再比较大小即可，解题时要注意计算的准确性，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题需要逐个分析四个结论，分别根据对应的数学概念计算出每个结论中a、b的取值，再比较a和b的大小，最终筛选出满足a＞b的结论。解题时要牢记平方根、立方根的性质，掌握无理数估算的方法，依次计算避免漏算错算。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 分析结论①：
已知$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\sqrt{5}\approx2.236$，则$a\approx\frac{2.236-1}{2}=0.618$，$b=\frac{1}{2}=0.5$，显然$0.618＞0.5$，即$a＞b$，①符合要求。
2. 分析结论②：
由$\sqrt{a+1}=3$，两边平方得$a+1=9$，解得$a=8$；
由$b$的立方根等于2，得$b=2^3=8$，此时$a=b=8$，不满足$a＞b$，②不符合要求。
3. 分析结论③：
正实数的两个不同平方根互为相反数，因此$(a-7)+(\frac{1}{2}a -8)=0$，
合并同类项得$\frac{3}{2}a -15=0$，解得$a=10$；
则其中一个平方根为$a-7=10-7=3$，因此$b=3^2=9$，$10＞9$即$a＞b$，③符合要求。
4. 分析结论④：
因为$4=\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}=5$，所以$\sqrt{17}$的整数部分$a=4$；
又$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{5}\approx2.236$，则$\sqrt{3}+\sqrt{5}\approx3.968$，不超过该值的最大整数$b=3$，$4＞3$即$a＞b$，④符合要求。
综上，满足$a＞b$的是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
无理数大小估算，平方根的性质，立方根的定义
【点评】
本题属于实数基础综合题，核心考查学生对平方根、立方根概念的掌握程度和无理数估算的能力，只要逐个计算每个条件下a、b的值再比较大小即可，解题时要注意计算的准确性，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
17 当$x=2+\sqrt{3}$，$y=2-\sqrt{3}$时，$\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}}$的值为________。
答案
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题若直接将x、y的值代入原式计算，运算量较大且容易出错。观察所求代数式的结构，是两个二次根式的和与差的比值，可先通过分母有理化对原式进行化简，再计算x+y、x-y、(x+1)(y+1)的整体值代入化简后的式子，即可快速求出结果。
【解析】
第一步：对原式进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^2}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})}\\&=\frac{(x+1)+(y+1)+2\sqrt{(x+1)(y+1)}}{(x+1)-(y+1)}\\&=\frac{x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)}}{x-y}\end{aligned}$
第二步：根据已知$x=2+\sqrt{3}$，$y=2-\sqrt{3}$，计算相关整体值：
$x+y=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$
$x-y=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$
$(x+1)(y+1)=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=9-3=6$
第三步：将上述值代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4+2+2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{6+2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{(3+\sqrt{6})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\\&=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简求值、分母有理化、平方差公式
【点评】
解题时优先观察代数式的结构，选择先化简后代入的方法，结合整体代入思想可有效简化运算，避免直接代入带来的复杂计算和错误。
【难度系数】
0.6
本题若直接将x、y的值代入原式计算，运算量较大且容易出错。观察所求代数式的结构，是两个二次根式的和与差的比值，可先通过分母有理化对原式进行化简，再计算x+y、x-y、(x+1)(y+1)的整体值代入化简后的式子，即可快速求出结果。
【解析】
第一步：对原式进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^2}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})}\\&=\frac{(x+1)+(y+1)+2\sqrt{(x+1)(y+1)}}{(x+1)-(y+1)}\\&=\frac{x+y+2+2\sqrt{(x+1)(y+1)}}{x-y}\end{aligned}$
第二步：根据已知$x=2+\sqrt{3}$，$y=2-\sqrt{3}$，计算相关整体值：
$x+y=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4$
$x-y=(2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$
$(x+1)(y+1)=(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=9-3=6$
第三步：将上述值代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4+2+2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{6+2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{(3+\sqrt{6})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\\&=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{3}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简求值、分母有理化、平方差公式
【点评】
解题时优先观察代数式的结构，选择先化简后代入的方法，结合整体代入思想可有效简化运算，避免直接代入带来的复杂计算和错误。
【难度系数】
0.6
18 小明在解方程$\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$时采用了下面的方法：
因为$(\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x})(\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x}) = (\sqrt{24 - x})^2 - (\sqrt{8 - x})^2 = (24 - x) - (8 - x) = 16$，
又因为$\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$，
所以$\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = 8$。
将这两式相加可得$\sqrt{24 - x} = 5$，将$\sqrt{24 - x} = 5$两边平方可解得$x = -1$。
经检验$x = -1$是原方程的解。
请你学习小明的方法，解方程$\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10} = 16$，则$x =$
因为$(\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x})(\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x}) = (\sqrt{24 - x})^2 - (\sqrt{8 - x})^2 = (24 - x) - (8 - x) = 16$，
又因为$\sqrt{24 - x} - \sqrt{8 - x} = 2$，
所以$\sqrt{24 - x} + \sqrt{8 - x} = 8$。
将这两式相加可得$\sqrt{24 - x} = 5$，将$\sqrt{24 - x} = 5$两边平方可解得$x = -1$。
经检验$x = -1$是原方程的解。
请你学习小明的方法，解方程$\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10} = 16$，则$x =$
$\pm\sqrt{39}$
。答案
$\pm\sqrt{39}$
解析
【分析】
观察方程左边是两个含$x^2$的二次根式的和，可类比题干给出的解法，利用平方差公式先计算两个二次根式的和与差的乘积，得到固定常数；再结合已知的两式之和为16，求出两式的差；最后联立两个方程求出其中一个二次根式的值，平方后求解$x$，最后检验根是否符合原方程即可。
【解析】
首先利用平方差公式计算：
$(\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10})(\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10}) = (x^2 + 42) - (x^2 + 10) = 32$
已知$\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10} = 16$，代入上式可得：
$16×(\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10}) = 32$
解得：$\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10} = 2$
联立两个方程：
$\begin{cases}\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10} = 16 \\\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10} = 2\end{cases}$
将两式相加得：$2\sqrt{x^2 + 42} = 18$，即$\sqrt{x^2 + 42} = 9$
两边平方得：$x^2 + 42 = 81$，解得$x^2 = 39$，即$x = \pm\sqrt{39}$
检验：将$x = \sqrt{39}$和$x = -\sqrt{39}$代入原方程，左边均为$9+7=16$，与右边相等，且二次根式均有意义，故均为原方程的解。
【答案】
$\pm\sqrt{39}$
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；无理方程求解
【点评】
本题侧重考查知识迁移能力，借鉴题干给出的平方差配凑法求解无理方程，可避免直接两边平方带来的复杂计算，解题后需注意检验根是否满足原方程及二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.7
观察方程左边是两个含$x^2$的二次根式的和，可类比题干给出的解法，利用平方差公式先计算两个二次根式的和与差的乘积，得到固定常数；再结合已知的两式之和为16，求出两式的差；最后联立两个方程求出其中一个二次根式的值，平方后求解$x$，最后检验根是否符合原方程即可。
【解析】
首先利用平方差公式计算：
$(\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10})(\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10}) = (x^2 + 42) - (x^2 + 10) = 32$
已知$\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10} = 16$，代入上式可得：
$16×(\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10}) = 32$
解得：$\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10} = 2$
联立两个方程：
$\begin{cases}\sqrt{x^2 + 42} + \sqrt{x^2 + 10} = 16 \\\sqrt{x^2 + 42} - \sqrt{x^2 + 10} = 2\end{cases}$
将两式相加得：$2\sqrt{x^2 + 42} = 18$，即$\sqrt{x^2 + 42} = 9$
两边平方得：$x^2 + 42 = 81$，解得$x^2 = 39$，即$x = \pm\sqrt{39}$
检验：将$x = \sqrt{39}$和$x = -\sqrt{39}$代入原方程，左边均为$9+7=16$，与右边相等，且二次根式均有意义，故均为原方程的解。
【答案】
$\pm\sqrt{39}$
【知识点】
平方差公式；二次根式运算；无理方程求解
【点评】
本题侧重考查知识迁移能力，借鉴题干给出的平方差配凑法求解无理方程，可避免直接两边平方带来的复杂计算，解题后需注意检验根是否满足原方程及二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题(第19题12分,第20—25题每题5分,第26题10分,共52分)
19 计算：
(1) $\sqrt{3} × \sqrt{8} ÷ \sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{80} + \sqrt{45} - 3\sqrt{8} + \sqrt{72}$；
(3) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 1)^2$。
19 计算：
(1) $\sqrt{3} × \sqrt{8} ÷ \sqrt{6}$；
(2) $\sqrt{80} + \sqrt{45} - 3\sqrt{8} + \sqrt{72}$；
(3) $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 1)^2$。
答案
(1) 2
(2) $7\sqrt{5}$
(3) $7-2\sqrt{3}$
(2) $7\sqrt{5}$
(3) $7-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本次三道小题均属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 二次根式乘除混合运算，可利用二次根式乘除运算法则，将所有根式合并到同一个根号下运算，也可先将各根式化为最简二次根式后再计算，最终结果化为最简即可；
(2) 二次根式加减运算，核心是先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式，非同类二次根式不可合并；
(3) 包含乘法的二次根式混合运算，观察式子结构可发现两个乘积项分别符合平方差公式、完全平方公式的结构特征，优先用乘法公式简化计算，可减少计算量、降低出错率。
【解析】
(1) 利用二次根式乘除运算法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3} × \sqrt{8} ÷ \sqrt{6}&=\sqrt{3×8÷6}\\&=\sqrt{24÷6}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
(2) 先将各二次根式化为最简，再合并同类二次根式：
先化简得：$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$3\sqrt{8}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{5}+3\sqrt{5}-6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\&=(4+3)\sqrt{5}+(-6+6)\sqrt{2}\\&=7\sqrt{5}\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2]+[(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2]\\&=(5-2)+(3-2\sqrt{3}+1)\\&=3+4-2\sqrt{3}\\&=7-2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{7\sqrt{5}}$；(3) $\boldsymbol{7-2\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的乘除运算；同类二次根式的合并；乘法公式的应用
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题型，分别考察了二次根式的乘除、加减以及混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法、运算法则，同时能灵活运用乘法公式简化计算。
【难度系数】
0.8
本次三道小题均属于二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 二次根式乘除混合运算，可利用二次根式乘除运算法则，将所有根式合并到同一个根号下运算，也可先将各根式化为最简二次根式后再计算，最终结果化为最简即可；
(2) 二次根式加减运算，核心是先把所有二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式，非同类二次根式不可合并；
(3) 包含乘法的二次根式混合运算，观察式子结构可发现两个乘积项分别符合平方差公式、完全平方公式的结构特征，优先用乘法公式简化计算，可减少计算量、降低出错率。
【解析】
(1) 利用二次根式乘除运算法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3} × \sqrt{8} ÷ \sqrt{6}&=\sqrt{3×8÷6}\\&=\sqrt{24÷6}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
(2) 先将各二次根式化为最简，再合并同类二次根式：
先化简得：$\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$3\sqrt{8}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{5}+3\sqrt{5}-6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\&=(4+3)\sqrt{5}+(-6+6)\sqrt{2}\\&=7\sqrt{5}\end{aligned}$
(3) 利用平方差公式和完全平方公式计算：
$\begin{aligned}原式&=[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2]+[(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2]\\&=(5-2)+(3-2\sqrt{3}+1)\\&=3+4-2\sqrt{3}\\&=7-2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{7\sqrt{5}}$；(3) $\boldsymbol{7-2\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的乘除运算；同类二次根式的合并；乘法公式的应用
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题型，分别考察了二次根式的乘除、加减以及混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法、运算法则，同时能灵活运用乘法公式简化计算。
【难度系数】
0.8
