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20 已知$2a+1$的平方根是$\pm 3$，$3a+2b-4$的立方根是$-2$，求$4a-5b+8$的立方根。
答案
因为$2a+1$的平方根是$\pm 3$，$3a+2b-4$的立方根是$-2$，所以$2a+1=9$，$3a+2b-4=-8$，解得$a=4$，$b=-8$。所以$4a-5b+8=4× 4-5× (-8)+8=64$。所以$4a-5b+8$的立方根是4。
解析
【分析】
解题时先回忆平方根和立方根的定义：若一个数的平方根是±m，则这个数等于m²；若一个数的立方根是n，则这个数等于n³。我们先根据这两个性质列出关于a、b的方程，解出a、b的取值后，代入4a-5b+8算出结果，最后计算该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$2a+1$的平方根是$\pm 3$，根据平方根的定义可得：
$2a+1=(\pm3)^2=9$，
解得$a=4$。
又
∵$3a+2b-4$的立方根是$-2$，根据立方根的定义可得：
$3a+2b-4=(-2)^3=-8$，
把$a=4$代入上式：$3×4+2b-4=-8$，
化简得$8+2b=-8$，
解得$b=-8$。
将$a=4$，$b=-8$代入$4a-5b+8$：
$4×4-5×(-8)+8=16+40+8=64$。
∵64的立方根是4，
∴$4a-5b+8$的立方根是4。
【答案】
4
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的性质，能根据定义正确列方程求解未知参数，代入计算时注意正负号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根和立方根的定义：若一个数的平方根是±m，则这个数等于m²；若一个数的立方根是n，则这个数等于n³。我们先根据这两个性质列出关于a、b的方程，解出a、b的取值后，代入4a-5b+8算出结果，最后计算该结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵$2a+1$的平方根是$\pm 3$，根据平方根的定义可得：
$2a+1=(\pm3)^2=9$，
解得$a=4$。
又
∵$3a+2b-4$的立方根是$-2$，根据立方根的定义可得：
$3a+2b-4=(-2)^3=-8$，
把$a=4$代入上式：$3×4+2b-4=-8$，
化简得$8+2b=-8$，
解得$b=-8$。
将$a=4$，$b=-8$代入$4a-5b+8$：
$4×4-5×(-8)+8=16+40+8=64$。
∵64的立方根是4，
∴$4a-5b+8$的立方根是4。
【答案】
4
【知识点】
平方根的定义，立方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握平方根、立方根的性质，能根据定义正确列方程求解未知参数，代入计算时注意正负号即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
21 已知a、b满足$b=\frac{\sqrt{a^2 -4}+\sqrt{4 -a^2}+4}{a -2}$，求$\sqrt{a -6b}$的平方根。
答案
$\sqrt{a-6b}$的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时首先需要明确两个隐含条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。先根据这两个条件求出a的取值，再将a的值代入原式算出b的值，接着计算a-6b的结果，求出$\sqrt{a-6b}$的值，最后计算这个值的平方根即可，注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
要使题中b的表达式有意义，需同时满足：
1. 二次根式被开方数非负：
$\begin{cases}a^2 - 4 ≥ 0 \\4 - a^2 ≥ 0\end{cases}$
联立两个不等式可得$a^2 = 4$，解得$a = 2$或$a = -2$。
2. 分式分母不为0：$a - 2 ≠ 0$，即$a ≠ 2$。
综上可得$a = -2$。
将$a = -2$代入b的表达式：
$b = \frac{\sqrt{(-2)^2 -4} + \sqrt{4 - (-2)^2} + 4}{-2 - 2} = \frac{0 + 0 + 4}{-4} = -1$
接下来计算$\sqrt{a - 6b}$的值：
将$a=-2$，$b=-1$代入得：$a - 6b = -2 - 6×(-1) = 4$
因此$\sqrt{a - 6b} = \sqrt{4} = 2$。
最后求2的平方根：一个正数的平方根有两个，互为相反数，所以2的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{a-6b}$的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；平方根的计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是挖掘二次根式和分式的隐含限制条件求出字母a的取值，计算时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免出现只写正根的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要明确两个隐含条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。先根据这两个条件求出a的取值，再将a的值代入原式算出b的值，接着计算a-6b的结果，求出$\sqrt{a-6b}$的值，最后计算这个值的平方根即可，注意平方根有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
要使题中b的表达式有意义，需同时满足：
1. 二次根式被开方数非负：
$\begin{cases}a^2 - 4 ≥ 0 \\4 - a^2 ≥ 0\end{cases}$
联立两个不等式可得$a^2 = 4$，解得$a = 2$或$a = -2$。
2. 分式分母不为0：$a - 2 ≠ 0$，即$a ≠ 2$。
综上可得$a = -2$。
将$a = -2$代入b的表达式：
$b = \frac{\sqrt{(-2)^2 -4} + \sqrt{4 - (-2)^2} + 4}{-2 - 2} = \frac{0 + 0 + 4}{-4} = -1$
接下来计算$\sqrt{a - 6b}$的值：
将$a=-2$，$b=-1$代入得：$a - 6b = -2 - 6×(-1) = 4$
因此$\sqrt{a - 6b} = \sqrt{4} = 2$。
最后求2的平方根：一个正数的平方根有两个，互为相反数，所以2的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{a-6b}$的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；平方根的计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题核心是挖掘二次根式和分式的隐含限制条件求出字母a的取值，计算时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免出现只写正根的错误。
【难度系数】
0.7
22 已知$\sqrt{\dfrac{x - 1}{2 - x}} = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{2 - x}}$成立。
（1）求$x$的取值范围；
（2）化简：$\sqrt{\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4x + 4}}$。
（1）求$x$的取值范围；
（2）化简：$\sqrt{\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4x + 4}}$。
答案
(1) $1≤ x ＜ 2$
(2) 因为$1≤ x ＜ 2$,所以$x-1≥ 0$,$x-2＜0$,所以原式$=\sqrt{\dfrac{(x-1)^2}{(x-2)^2}}=\dfrac{|x-1|}{|x-2|}=\dfrac{x-1}{2-x}$。
(2) 因为$1≤ x ＜ 2$,所以$x-1≥ 0$,$x-2＜0$,所以原式$=\sqrt{\dfrac{(x-1)^2}{(x-2)^2}}=\dfrac{|x-1|}{|x-2|}=\dfrac{x-1}{2-x}$。
解析
【分析】
（1）求解x的取值范围需依据二次根式除法法则的成立条件：等式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立时，需满足被开方数$a≥0$，且分母的被开方数$b＞0$，据此列出不等式组求解即可。
（2）化简二次根式时，先利用完全平方公式将根号内的分子、分母因式分解，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号，最后结合第（1）问求出的x的取值范围，判断绝对值内式子的正负性，去掉绝对值符号即可完成化简。
【解析】
（1）根据二次根式除法法则的成立条件，列不等式组：
$\begin{cases}x - 1 ≥ 0 \\2 - x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$，得$x≥1$；
解不等式$2-x＞0$，得$x＜2$；
因此x的取值范围为$1≤ x＜2$。
（2）先对根号内的多项式因式分解：
原式$=\sqrt{\dfrac{(x-1)^2}{(x-2)^2}}$
根据二次根式的性质可得：
原式$=\dfrac{|x-1|}{|x-2|}$
由（1）知$1≤ x＜2$，则$x-1≥0$，$x-2＜0$，因此$|x-1|=x-1$，$|x-2|=2-x$，代入得：
原式$=\dfrac{x-1}{2-x}$
【答案】
（1）$1≤ x ＜ 2$
（2）$\dfrac{x-1}{2-x}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题围绕二次根式的相关性质设计，解题核心是先准确确定x的取值范围，再结合范围去绝对值符号，需注意二次根式分母的被开方数必须为正，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.7
（1）求解x的取值范围需依据二次根式除法法则的成立条件：等式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立时，需满足被开方数$a≥0$，且分母的被开方数$b＞0$，据此列出不等式组求解即可。
（2）化简二次根式时，先利用完全平方公式将根号内的分子、分母因式分解，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去掉根号，最后结合第（1）问求出的x的取值范围，判断绝对值内式子的正负性，去掉绝对值符号即可完成化简。
【解析】
（1）根据二次根式除法法则的成立条件，列不等式组：
$\begin{cases}x - 1 ≥ 0 \\2 - x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$x-1≥0$，得$x≥1$；
解不等式$2-x＞0$，得$x＜2$；
因此x的取值范围为$1≤ x＜2$。
（2）先对根号内的多项式因式分解：
原式$=\sqrt{\dfrac{(x-1)^2}{(x-2)^2}}$
根据二次根式的性质可得：
原式$=\dfrac{|x-1|}{|x-2|}$
由（1）知$1≤ x＜2$，则$x-1≥0$，$x-2＜0$，因此$|x-1|=x-1$，$|x-2|=2-x$，代入得：
原式$=\dfrac{x-1}{2-x}$
【答案】
（1）$1≤ x ＜ 2$
（2）$\dfrac{x-1}{2-x}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题围绕二次根式的相关性质设计，解题核心是先准确确定x的取值范围，再结合范围去绝对值符号，需注意二次根式分母的被开方数必须为正，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.7
