23 先化简，再求值：$(\frac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}})$，其中 $x=\frac{1}{2}$，$y=3$。

原式$= x \sqrt{x} + \sqrt{xy} - x \sqrt{x} + 5\sqrt{xy} = 6\sqrt{xy}$。当$x = \dfrac{1}{2}, y = 3$时,原式$= 6 \sqrt{\dfrac{3}{2}}= 3 \sqrt{6}$。

【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题思路如下：①先利用二次根式的性质，将原式中每一个二次根式都化为最简二次根式，注意题目给出的x、y均为正数，开方时无需考虑负数情况；②去括号，注意括号前是减号时，括号内各项要变号；③合并同类二次根式，得到最简的化简结果；④将x、y的取值代入化简后的式子计算，最终结果化为最简二次根式即可，先化简再代入能大幅减少计算量，降低出错率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \frac{1}{3}x· 3\sqrt{x} + y^2· \frac{\sqrt{xy}}{y^2} - (x^2· \frac{\sqrt{x}}{x} - 5x· \frac{\sqrt{xy}}{x}) \\&= x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy}) \\&= x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy} \\&= 6\sqrt{xy}\end{aligned}$
再代入$x=\frac{1}{2}$，$y=3$计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= 6\sqrt{\frac{1}{2}× 3} \\&=6\sqrt{\frac{3}{2}} \\&=6× \frac{\sqrt{6}}{2} \\&=3\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$3\sqrt{6}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 同类二次根式合并
3. 二次根式化简求值
【点评】
本题重点考查二次根式的运算能力，解题的核心是先将所有二次根式化为最简形式，去括号时注意符号变化，合并同类二次根式后再代入数值计算，最终结果要保证是最简二次根式，避免直接代入原始式子计算导致的运算繁琐和错误。
【难度系数】
0.7

24 (1) 已知$a^2=16$，$|-b|=3$，若$|a+b|=a+b$，求$a+b$的平方根；
(2) 已知$x$是$\sqrt{21}+2$的小数部分，$y$是$\sqrt{21}-1$的整数部分，求$(\sqrt{21}-x)^y$的立方根。

(1) 因为$a^2=16$，$|-b|=3$,所以$a=\pm 4$，$b=\pm 3$。因为$|a + b|=a + b$,所以$a + b ＞ 0$,所以$a=4$，$b=3$或$a=4$，$b=-3$。当$a=4$，$b=3$时,$a + b=4+3=7$,$a + b$的平方根是$\pm\sqrt{7}$;当$a=4$，$b=-3$时,$a + b=4-3=1$,$a + b$的平方根是$\pm 1$。所以$a + b$的平方根是$\pm\sqrt{7}$或$\pm 1$。
(2) 因为$4＜\sqrt{21}＜5$,所以$6＜\sqrt{21}+2＜7$,$3＜\sqrt{21}-1＜4$,所以$\sqrt{21}+2$的整数部分是6,$\sqrt{21}-1$的整数部分是3,所以$\sqrt{21}+2$的小数部分是$\sqrt{21}+2-6=\sqrt{21}-4$,即$x=\sqrt{21}-4$，$y=3$,所以$(\sqrt{21}-x)^y= (\sqrt{21}-\sqrt{21}+4)^3= 4^3$,所以$(\sqrt{21}-x)^y$的立方根是4。

【分析】
(1) 解题思路：第一步根据平方运算的性质，由$a^2=16$得到$a$的所有可能取值，再根据绝对值的性质由$|-b|=3$得到$b$的所有可能取值；第二步根据$|a+b|=a+b$可知$a+b$是非负数，据此筛选出符合条件的$a$、$b$组合；第三步分别计算每组对应$a+b$的值，再求其平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
(2) 解题思路：第一步先估算$\sqrt{21}$的取值范围，由$16＜21＜25$可得$\sqrt{21}$在4和5之间；第二步根据$\sqrt{21}$的范围，求出$\sqrt{21}+2$的范围，用原数减去它的整数部分即可得到小数部分$x$，再求出$\sqrt{21}-1$的范围，直接得到它的整数部分$y$；第三步将$x$、$y$代入式子计算，最后求所得结果的立方根即可。
【解析】
(1) 解：$\because a^2=16$，$|-b|=3$，
$\therefore a=\pm 4$，$b=\pm 3$。
又$\because |a + b|=a + b$，
$\therefore a + b≥ 0$，
$\therefore$符合条件的取值组合为$a=4,b=3$或$a=4,b=-3$。
当$a=4,b=3$时，$a+b=4+3=7$，7的平方根为$\pm\sqrt{7}$；
当$a=4,b=-3$时，$a+b=4-3=1$，1的平方根为$\pm1$。
(2) 解：$\because 16＜21＜25$，
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{21}＜5$，
$\therefore 6＜\sqrt{21}+2＜7$，则$\sqrt{21}+2$的整数部分是6，
$\therefore$小数部分$x=\sqrt{21}+2-6=\sqrt{21}-4$；
同理可得$3＜\sqrt{21}-1＜4$，则$\sqrt{21}-1$的整数部分$y=3$。
代入式子得$(\sqrt{21}-x)^y=(\sqrt{21}-(\sqrt{21}-4))^3=4^3=64$，
$\because 4^3=64$，$\therefore 64$的立方根是4。
【答案】
(1) $\pm\sqrt{7}$或$\pm1$；(2) $4$
【知识点】
绝对值的性质、平方根与立方根、无理数的估算
【点评】
本题是实数运算的基础综合题，解题时要注意分类讨论思想的运用，第一问不要遗漏符合$a+b≥0$的取值组合，第二问要明确无理数整数部分、小数部分的计算方法，整体侧重对基础概念和基础运算的考查。
【难度系数】
0.7

25 （1）若$a$是$(-4)^2$的平方根，$b$的一个平方根是2，求$a+b$的立方根；
（2）已知$M=\sqrt[n-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根。试求$M-N$的值。

(1) 2或0
(2) $\sqrt{5}-\sqrt[3]{4}$

【分析】
（1）解题思路：先计算$(-4)^2$的值，根据平方根的定义求出$a$的所有可能值；再根据“$b$的一个平方根是2”求出$b$的值；分情况计算$a+b$的结果，最后求立方根即可，注意平方根有正负两个，不要漏解。
（2）解题思路：根据算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，分别列方程求出$n$和$m$的值；再将$m$、$n$代入求出$M$和$N$的值，最后计算$M-N$的差。
【解析】
（1）先计算$(-4)^2=16$，
因为$a$是16的平方根，所以$a=\pm\sqrt{16}=\pm4$，
又因为$b$的一个平方根是2，所以$b=2^2=4$，
分两种情况计算：
①当$a=4$时，$a+b=4+4=8$，8的立方根为$\sqrt[3]{8}=2$；
②当$a=-4$时，$a+b=-4+4=0$，0的立方根为$\sqrt[3]{0}=0$；
因此$a+b$的立方根为2或0。
（2）因为$M=\sqrt[n-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2，
所以$n-4=2$，解得$n=6$，
又因为$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3，
所以$2m-4n+3=3$，将$n=6$代入得：
$2m-4×6+3=3$，
$2m-24=0$，
解得$m=12$，
将$m=12$代入$M$得：$M=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}$，
将$n=6$代入$N$得：$N=\sqrt[3]{6-2}=\sqrt[3]{4}$，
因此$M-N=\sqrt{15}-\sqrt[3]{4}$。
（注：本题第二问题干参数与给出参考答案不匹配，按题干正确逻辑推导结果为$\sqrt{15}-\sqrt[3]{4}$，若按给定参考答案倒推题干存在输入误差）
【答案】
(1) 2或0
(2) $\sqrt{15}-\sqrt[3]{4}$
【知识点】
平方根与立方根定义；算术平方根定义；解方程求参数
【点评】
本题主要考查平方根、算术平方根、立方根的基本定义，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏解；同时牢记不同开方运算对应的根指数，通过根指数列方程求解参数是此类题的通用方法。
【难度系数】
0.7

26 如图,一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B,点 A 表示$-\sqrt{2}$,设点 B 所表示的数为 m。
(1) 实数 m 的值是;
(2) 求$|m+1|+|m-1|$的值;
(3) 在数轴上还有 C、D 两点分别表示实数 c 和 d,且有$|2c+d|$与$\sqrt{d^2 -16}$互为相反数,求$2c -3d$的平方根。

(1) $2-\sqrt{2}$
(2) 因为$m=2-\sqrt{2}$,则$m+1＞0$,$m-1＜0$,所以$|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2$。
(3) 因为$|2c+d|$与$\sqrt{d^2-16}$互为相反数,所以$|2c+d|+\sqrt{d^2-16}=0$,所以$|2c+d|=0$,且$\sqrt{d^2-16}=0$,解得$c=-2$,$d=4$或$c=2$,$d=-4$。当$c=-2$,$d=4$时,$2c-3d=-16$,无平方根;当$c=2$,$d=-4$时,$2c-3d=16$,平方根为$\pm 4$。

【分析】
1. 第(1)问：数轴上点的平移遵循“右加左减”的规律，已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位到点B，只需用点A的数加2即可得到m的值。
2. 第(2)问：计算绝对值的和前，需先判断绝对值内式子的正负性：先估算$m=2-\sqrt{2}$的大小，可得$0＜m＜1$，因此$m+1＞0$，$m-1＜0$；再根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去绝对值后化简即可得到结果。
3. 第(3)问：首先根据互为相反数的两数和为0，得到$|2c+d|+\sqrt{d^2-16}=0$；再结合绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加得0时，两个非负数均为0，据此列方程求出c、d的两组解；最后分别代入$2c-3d$计算，结合平方根的定义（只有非负数才有平方根）筛选符合条件的结果，计算对应平方根即可。
【解析】
(1) 点A表示$-\sqrt{2}$，向右移动2个单位，因此$m=-\sqrt{2}+2=2-\sqrt{2}$。
(2) 由(1)知$m=2-\sqrt{2}$，因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$0＜m＜1$，则$m+1＞0$，$m-1＜0$。
根据绝对值的性质化简：
$|m+1|+|m-1|=(m+1)+(1-m)=m+1+1-m=2$。
(3) 因为$|2c+d|$与$\sqrt{d^2-16}$互为相反数，所以$|2c+d|+\sqrt{d^2-16}=0$。
又因为$|2c+d|≥0$，$\sqrt{d^2-16}≥0$，因此可得：
$\begin{cases}2c+d=0\\d^2-16=0\end{cases}$
解$d^2-16=0$得$d=4$或$d=-4$：
① 当$d=4$时，代入$2c+d=0$得$c=-2$，此时$2c-3d=2×(-2)-3×4=-16$，负数没有平方根，舍去；
② 当$d=-4$时，代入$2c+d=0$得$c=2$，此时$2c-3d=2×2-3×(-4)=16$，16的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $2-\sqrt{2}$
(2) $2$
(3) $\pm4$
【知识点】
数轴点的平移、绝对值化简、非负数的性质
【点评】
本题是基础代数综合题，结合数轴、绝对值、非负性和平方根多个知识点考查，解题时需注意去绝对值前要先判断式子的正负，同时不要忽略平方根的被开方数必须非负的限制，避免多解错误。
【难度系数】
0.7