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一、选择题(每题2分,共12分)
1 在二次根式$\sqrt{ab^3}$、$\sqrt{a^2 + 1}$、$\sqrt{\dfrac{b}{5}}$、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$中,最简二次根式共有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1 在二次根式$\sqrt{ab^3}$、$\sqrt{a^2 + 1}$、$\sqrt{\dfrac{b}{5}}$、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$中,最简二次根式共有(
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来按照这两个标准逐个判断给出的4个二次根式，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
先明确最简二次根式的判定条件：
1. 被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逐个判断根式：
(1) $\sqrt{ab^3}$：被开方数中$b^3=b^2· b$，$b^2$是能开得尽方的因式，可化简为$|b|\sqrt{ab}$，不是最简二次根式；
(2) $\sqrt{a^2 + 1}$：被开方数是整式，且没有能开得尽方的因式，是最简二次根式；
(3) $\sqrt{\dfrac{b}{5}}$：被开方数含有分母5，可化简为$\dfrac{\sqrt{5b}}{5}$，不是最简二次根式；
(4) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$：根号内的被开方数3是整数，且不含能开得尽方的因数，属于最简二次根式。
综上，最简二次根式共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式的判定
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握最简二次根式的两个判定条件，逐一排查即可得出结果，要注意区分“被开方数含分母”和“根号外的分母为有理数”的差异，避免误判形如$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$的式子不是最简二次根式。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来按照这两个标准逐个判断给出的4个二次根式，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
先明确最简二次根式的判定条件：
1. 被开方数的因数是整数、因式是整式（即被开方数不含分母）；
2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逐个判断根式：
(1) $\sqrt{ab^3}$：被开方数中$b^3=b^2· b$，$b^2$是能开得尽方的因式，可化简为$|b|\sqrt{ab}$，不是最简二次根式；
(2) $\sqrt{a^2 + 1}$：被开方数是整式，且没有能开得尽方的因式，是最简二次根式；
(3) $\sqrt{\dfrac{b}{5}}$：被开方数含有分母5，可化简为$\dfrac{\sqrt{5b}}{5}$，不是最简二次根式；
(4) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$：根号内的被开方数3是整数，且不含能开得尽方的因数，属于最简二次根式。
综上，最简二次根式共有2个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式的判定
2. 二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握最简二次根式的两个判定条件，逐一排查即可得出结果，要注意区分“被开方数含分母”和“根号外的分母为有理数”的差异，避免误判形如$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$的式子不是最简二次根式。
【难度系数】
0.7
2 下列各组二次根式中,属于同类二次根式的是(
A.$2\sqrt{3}$与$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$与$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\sqrt{4a}$与$\sqrt{8a}$
D.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\frac{1}{2}}$
D
)。A.$2\sqrt{3}$与$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{\frac{1}{3}}$与$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\sqrt{4a}$与$\sqrt{8a}$
D.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\frac{1}{2}}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断各组二次根式是否为同类二次根式，首先明确同类二次根式的核心判定规则：几个二次根式先化成最简二次根式后，若被开方数相同，则属于同类二次根式。因此解题思路为：逐个将选项中两个二次根式化为最简形式，再比较二者的被开方数是否相等，相等即为符合要求的选项。
【解析】
同类二次根式判断步骤：①把所有二次根式化为最简二次根式；②对比化简后的被开方数是否一致。
逐一分析选项：
A. $2\sqrt{3}$是最简形式，被开方数为3；$\sqrt{6}$是最简形式，被开方数为6，二者被开方数不同，不属于同类二次根式。
B. 先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3；$\frac{\sqrt{2}}{3}$是最简形式，被开方数为2，二者被开方数不同，不属于同类二次根式。
C. 先化简$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，被开方数为$a$；再化简$\sqrt{8a}=2\sqrt{2a}$，被开方数为$2a$，二者被开方数不同，不属于同类二次根式。
D. 先化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，被开方数为2；再化简$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，二者被开方数相同，属于同类二次根式。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题是二次根式章节的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断规则，易错点是未将二次根式化为最简就直接比较原始被开方数，牢记判定规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要判断各组二次根式是否为同类二次根式，首先明确同类二次根式的核心判定规则：几个二次根式先化成最简二次根式后，若被开方数相同，则属于同类二次根式。因此解题思路为：逐个将选项中两个二次根式化为最简形式，再比较二者的被开方数是否相等，相等即为符合要求的选项。
【解析】
同类二次根式判断步骤：①把所有二次根式化为最简二次根式；②对比化简后的被开方数是否一致。
逐一分析选项：
A. $2\sqrt{3}$是最简形式，被开方数为3；$\sqrt{6}$是最简形式，被开方数为6，二者被开方数不同，不属于同类二次根式。
B. 先化简$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3；$\frac{\sqrt{2}}{3}$是最简形式，被开方数为2，二者被开方数不同，不属于同类二次根式。
C. 先化简$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，被开方数为$a$；再化简$\sqrt{8a}=2\sqrt{2a}$，被开方数为$2a$，二者被开方数不同，不属于同类二次根式。
D. 先化简$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，被开方数为2；再化简$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，二者被开方数相同，属于同类二次根式。
综上本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简；最简二次根式
【点评】
本题是二次根式章节的基础常考题，核心考查同类二次根式的判断规则，易错点是未将二次根式化为最简就直接比较原始被开方数，牢记判定规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3 已知关于x的一元二次方程$(m-3)x^2 -3x + m^2 =9$的常数项为0，则m的值为（
A.3
B.0
D.$\pm3$
C
）。A.3
B.0
D.$\pm3$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再结合两个关键条件推导m的取值：① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 常数项为0，即一般形式中的常数项$c=0$。先根据常数项为0求出m的可能取值，再排除二次项系数为0的不符合项，即可得到正确结果。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$(m-3)x^2 - 3x + m^2 - 9 = 0$
1. 根据常数项为0的条件列方程：
$m^2 - 9 = 0$
解得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$
2. 结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此：
$m-3≠0$，即$m≠3$
3. 综合两个条件，排除$m=3$，最终得$m=-3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，直接得出$m=±3$的错误结论，审题时要注意提取所有限定条件再求解。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，首先需要将给定的方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再结合两个关键条件推导m的取值：① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；② 常数项为0，即一般形式中的常数项$c=0$。先根据常数项为0求出m的可能取值，再排除二次项系数为0的不符合项，即可得到正确结果。
【解析】
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$(m-3)x^2 - 3x + m^2 - 9 = 0$
1. 根据常数项为0的条件列方程：
$m^2 - 9 = 0$
解得$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$
2. 结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，因此：
$m-3≠0$，即$m≠3$
3. 综合两个条件，排除$m=3$，最终得$m=-3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、平方根运算
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型易错题，解题时很容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，直接得出$m=±3$的错误结论，审题时要注意提取所有限定条件再求解。
【难度系数】
0.65
4 关于$x$的一元二次方程$-x^2 + 2x - m = 0$经配方后的方程是(
A.$(x - 1)^2 = m - 1$
B.$(x - 1)^2 = 1 - m$
C.$(x - 1)^2 = m^2 + 1$
D.$(1 - x)^2 = m + 1$
B
)。A.$(x - 1)^2 = m - 1$
B.$(x - 1)^2 = 1 - m$
C.$(x - 1)^2 = m^2 + 1$
D.$(1 - x)^2 = m + 1$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到方程右侧，第三步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧凑成完全平方的形式，最后化简右侧即可得到配方后的方程，按步骤操作即可选出正确选项。
【解析】
解：对原方程$-x^2 + 2x - m = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时乘$-1$，得$x^2 - 2x + m = 0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 - 2x = -m$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 1 - m$
4. 左侧写成完全平方形式：$(x - 1)^2 = 1 - m$
因此配方后的方程为$(x - 1)^2 = 1 - m$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意二次项系数化为1时符号不要出错，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方法应用，解题思路如下：首先回忆配方法的操作步骤：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到方程右侧，第三步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程左侧凑成完全平方的形式，最后化简右侧即可得到配方后的方程，按步骤操作即可选出正确选项。
【解析】
解：对原方程$-x^2 + 2x - m = 0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时乘$-1$，得$x^2 - 2x + m = 0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 - 2x = -m$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 1 - m$
4. 左侧写成完全平方形式：$(x - 1)^2 = 1 - m$
因此配方后的方程为$(x - 1)^2 = 1 - m$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意二次项系数化为1时符号不要出错，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5 方程$\dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2 -9}=0$的根为(
A.3或-2
B.3
C.-2
D.±3
C
)。A.3或-2
B.3
C.-2
D.±3
答案
5.C
解析
【分析】
要解分式方程求根，首先要明确分式值为0的前提条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（否则分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的增根，剩下的就是方程的根。
【解析】
要使分式$\dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2 -9}=0$成立，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x-3=0$或$x+2=0$，即$x=3$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x^2-9≠0$
因式分解得$(x-3)(x+3)≠0$，即$x≠3$且$x≠-3$
结合两个条件，$x=3$会使分母为0，属于增根，需舍去，因此方程的根为$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是忽略分母不能为0的要求，直接取分子为0的所有解导致错选，求解分式方程后养成验根的习惯就能避免此类错误。
【难度系数】
0.7
要解分式方程求根，首先要明确分式值为0的前提条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（否则分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的取值，再代入分母验证，排除掉使分母为0的增根，剩下的就是方程的根。
【解析】
要使分式$\dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2 -9}=0$成立，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x-3=0$或$x+2=0$，即$x=3$或$x=-2$
2. 分母不为0：$x^2-9≠0$
因式分解得$(x-3)(x+3)≠0$，即$x≠3$且$x≠-3$
结合两个条件，$x=3$会使分母为0，属于增根，需舍去，因此方程的根为$x=-2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点是忽略分母不能为0的要求，直接取分子为0的所有解导致错选，求解分式方程后养成验根的习惯就能避免此类错误。
【难度系数】
0.7
⑥ 已知$|a|=3$，$\sqrt{b^2}=5$，且$|a+b|=a+b$，则$a-b$的值为（
A.2或8
B.2或−8
C.−2或8
D.−2或−8
D
）。A.2或8
B.2或−8
C.−2或8
D.−2或−8
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$求出b的所有可能取值；接着根据$|a+b|=a+b$的特征，得出$a+b$是非负数的结论，以此筛选出符合条件的a、b的取值组合，最后代入计算$a-b$的值即可。
【解析】
解：步骤1：求a的取值
$\because |a|=3$，$\therefore a=3$或$a=-3$。
步骤2：求b的取值
$\because \sqrt{b^2}=5$，且$\sqrt{b^2}=|b|$，$\therefore |b|=5$，即$b=5$或$b=-5$。
步骤3：根据条件筛选取值
绝对值等于自身的数是非负数，因此$a+b≥0$。
若$b=-5$，则$a=3$时$a+b=3-5=-2＜0$，$a=-3$时$a+b=-3-5=-8＜0$，均不符合要求，故b只能取5。
当$b=5$时：
①$a=3$时，$a+b=3+5=8≥0$，符合要求，此时$a-b=3-5=-2$；
②$a=-3$时，$a+b=-3+5=2≥0$，符合要求，此时$a-b=-3-5=-8$。
因此$a-b$的值为-2或-8。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，易错点是忽略$\sqrt{b^2}$的结果为非负数，或者未根据$|a+b|=a+b$的限制条件筛选掉不符合要求的取值，解题时要注意对所有可能的取值组合进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时先根据绝对值的性质求出a的所有可能取值，再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$求出b的所有可能取值；接着根据$|a+b|=a+b$的特征，得出$a+b$是非负数的结论，以此筛选出符合条件的a、b的取值组合，最后代入计算$a-b$的值即可。
【解析】
解：步骤1：求a的取值
$\because |a|=3$，$\therefore a=3$或$a=-3$。
步骤2：求b的取值
$\because \sqrt{b^2}=5$，且$\sqrt{b^2}=|b|$，$\therefore |b|=5$，即$b=5$或$b=-5$。
步骤3：根据条件筛选取值
绝对值等于自身的数是非负数，因此$a+b≥0$。
若$b=-5$，则$a=3$时$a+b=3-5=-2＜0$，$a=-3$时$a+b=-3-5=-8＜0$，均不符合要求，故b只能取5。
当$b=5$时：
①$a=3$时，$a+b=3+5=8≥0$，符合要求，此时$a-b=3-5=-2$；
②$a=-3$时，$a+b=-3+5=2≥0$，符合要求，此时$a-b=-3-5=-8$。
因此$a-b$的值为-2或-8。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质；二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，易错点是忽略$\sqrt{b^2}$的结果为非负数，或者未根据$|a+b|=a+b$的限制条件筛选掉不符合要求的取值，解题时要注意对所有可能的取值组合进行验证，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每题3分,共36分)
7 化简$\sqrt{12a}$的结果是
7 化简$\sqrt{12a}$的结果是
$2\sqrt{3a}$
。答案
7.$2\sqrt{3a}$
解析
【分析】
要化简二次根式，需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时首先将被开方数中的数字因数分解质因数，找出其中的完全平方因数，再利用二次根式的乘法性质拆分计算，最后将完全平方数开方后整理即可得到结果。
【解析】
要使$\sqrt{12a}$有意义，则$12a≥0$，即$a≥0$。
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{12a}=\sqrt{4×3a}=\sqrt{4}×\sqrt{3a}=2\sqrt{3a}$
【答案】
$2\sqrt{3a}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题核心是准确拆分被开方数中的完全平方因数，计算时注意被开方数的非负性要求，掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要化简二次根式，需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时首先将被开方数中的数字因数分解质因数，找出其中的完全平方因数，再利用二次根式的乘法性质拆分计算，最后将完全平方数开方后整理即可得到结果。
【解析】
要使$\sqrt{12a}$有意义，则$12a≥0$，即$a≥0$。
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{12a}=\sqrt{4×3a}=\sqrt{4}×\sqrt{3a}=2\sqrt{3a}$
【答案】
$2\sqrt{3a}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题核心是准确拆分被开方数中的完全平方因数，计算时注意被开方数的非负性要求，掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
8 如果$\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-5}$有意义，那么$x$的取值范围是
$x ≥ -3 且 x ≠ 5$
。答案
8.$x ≥ -3 且 x ≠ 5$
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需要分别考虑式子中包含的二次根式和分式的有意义条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，两个条件需同时满足，分别列出不等式求解后取公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-5}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x+3}$的被开方数非负，即：
$x+3≥0$，解得$x≥-3$；
2. 分式的分母不为0，即：
$x-5≠0$，解得$x≠5$。
综上，两个条件同时成立时，x的取值范围是$x≥-3$且$x≠5$。
【答案】
$x ≥ -3 且 x ≠ 5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式取值范围的基础题型，解题时需注意梳理代数式中所有限制条件，不要遗漏分母不为0的要求，最后取各条件解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.85
要确定代数式有意义时x的取值范围，需要分别考虑式子中包含的二次根式和分式的有意义条件：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，两个条件需同时满足，分别列出不等式求解后取公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
要使$\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-5}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x+3}$的被开方数非负，即：
$x+3≥0$，解得$x≥-3$；
2. 分式的分母不为0，即：
$x-5≠0$，解得$x≠5$。
综上，两个条件同时成立时，x的取值范围是$x≥-3$且$x≠5$。
【答案】
$x ≥ -3 且 x ≠ 5$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式取值范围的基础题型，解题时需注意梳理代数式中所有限制条件，不要遗漏分母不为0的要求，最后取各条件解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.85
9 写出$\sqrt{2a - b}$的一个有理化因式
$\sqrt{2a - b}$（答案不唯一）
。答案
9.$\sqrt{2a - b}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时首先回忆有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。接下来观察所给式子是单个二次根式$\sqrt{2a-b}$的形式，根据二次根式的性质$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$，本题中$\sqrt{2a-b}$有意义，故$2a-b≥0$），因此将该二次根式与自身相乘，所得结果为$2a-b$，不含二次根式，满足有理化因式的要求，即可得到答案，也可写出其他满足条件的有理化因式，答案不唯一。
【解析】
根据有理化因式的定义：若两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含二次根式，则二者互为有理化因式。
已知所给式子为$\sqrt{2a-b}$，将其与自身相乘：
$\sqrt{2a-b} × \sqrt{2a-b} = (\sqrt{2a-b})^2 = 2a - b$
乘积$2a - b$为整式，不含二次根式，因此$\sqrt{2a-b}$是$\sqrt{2a-b}$的一个有理化因式。
注：形如$k\sqrt{2a-b}$（$k$为不等于0的有理式）的式子均是$\sqrt{2a-b}$的有理化因式，故答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2a - b}$（答案不唯一）
【知识点】
有理化因式的概念；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对有理化因式概念的理解和二次根式运算的应用，单个二次根式的最简有理化因式通常为其本身，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。接下来观察所给式子是单个二次根式$\sqrt{2a-b}$的形式，根据二次根式的性质$(\sqrt{x})^2=x$（$x≥0$，本题中$\sqrt{2a-b}$有意义，故$2a-b≥0$），因此将该二次根式与自身相乘，所得结果为$2a-b$，不含二次根式，满足有理化因式的要求，即可得到答案，也可写出其他满足条件的有理化因式，答案不唯一。
【解析】
根据有理化因式的定义：若两个含有二次根式的非零代数式相乘，积不含二次根式，则二者互为有理化因式。
已知所给式子为$\sqrt{2a-b}$，将其与自身相乘：
$\sqrt{2a-b} × \sqrt{2a-b} = (\sqrt{2a-b})^2 = 2a - b$
乘积$2a - b$为整式，不含二次根式，因此$\sqrt{2a-b}$是$\sqrt{2a-b}$的一个有理化因式。
注：形如$k\sqrt{2a-b}$（$k$为不等于0的有理式）的式子均是$\sqrt{2a-b}$的有理化因式，故答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2a - b}$（答案不唯一）
【知识点】
有理化因式的概念；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对有理化因式概念的理解和二次根式运算的应用，单个二次根式的最简有理化因式通常为其本身，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
⑩ 计算：$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} - 2\sqrt{45} - \dfrac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \_\_\_\_\_\_$。
答案
10.$\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 5\sqrt{5} + \sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先将式子中的每一项分别化简：第一步先把带分数化为假分数，将第一项化为最简二次根式；第二步化简第二项的被开方数，得到最简二次根式；第三步对第三项进行分母有理化，消除分母中的根号；最后将所有同类二次根式合并，即可得到结果。计算过程中要注意符号的变化，避免因符号出错导致结果错误。
【解析】
先对各项逐一化简：
1. 化简第一项：$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{\sqrt{5×3}}{\sqrt{3×3}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$
2. 化简第二项：$2\sqrt{45} = 2\sqrt{9×5} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
3. 化简第三项：对$\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{5}$：
$\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})} = \dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3-5} = \dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{-2} = -(\sqrt{3}+\sqrt{5})$
因此原式的第三项为$-\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = -[-(\sqrt{3}+\sqrt{5})] = \sqrt{3}+\sqrt{5}$
将三项化简结果代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 6\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \\&=\dfrac{\sqrt{15}}{3} + \sqrt{3} + (-6\sqrt{5}+\sqrt{5}) \\&=\dfrac{\sqrt{15}}{3} -5\sqrt{5} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 5\sqrt{5} + \sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式的常规运算题，核心是掌握最简二次根式的化简方法和分母有理化的技巧，计算过程中要重点关注分母有理化及去括号时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时先将式子中的每一项分别化简：第一步先把带分数化为假分数，将第一项化为最简二次根式；第二步化简第二项的被开方数，得到最简二次根式；第三步对第三项进行分母有理化，消除分母中的根号；最后将所有同类二次根式合并，即可得到结果。计算过程中要注意符号的变化，避免因符号出错导致结果错误。
【解析】
先对各项逐一化简：
1. 化简第一项：$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{\sqrt{5×3}}{\sqrt{3×3}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$
2. 化简第二项：$2\sqrt{45} = 2\sqrt{9×5} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
3. 化简第三项：对$\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{5}$：
$\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = \dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})} = \dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3-5} = \dfrac{2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{-2} = -(\sqrt{3}+\sqrt{5})$
因此原式的第三项为$-\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} = -[-(\sqrt{3}+\sqrt{5})] = \sqrt{3}+\sqrt{5}$
将三项化简结果代入原式合并：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 6\sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{5} \\&=\dfrac{\sqrt{15}}{3} + \sqrt{3} + (-6\sqrt{5}+\sqrt{5}) \\&=\dfrac{\sqrt{15}}{3} -5\sqrt{5} + \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{15}}{3} - 5\sqrt{5} + \sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简，分母有理化，同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式的常规运算题，核心是掌握最简二次根式的化简方法和分母有理化的技巧，计算过程中要重点关注分母有理化及去括号时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
11 方程$x(x+3)=4(x+3)$的解是
$x_1=-3, x_2=4$
。答案
11.$x_1=-3, x_2=4$
解析
【分析】
观察方程可知左右两边都含有公因式(x+3)，注意不能直接两边除以(x+3)，否则会漏掉x=-3的解。正确解题思路为：先将右侧的项移到左侧，再提取公因式(x+3)，将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程分别求解即可。
【解析】
第一步：移项，将右侧的$4(x+3)$移到左侧，得：
$x(x+3) - 4(x+3) = 0$
第二步：提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(x - 4) = 0$
第三步：根据乘积为0的性质，可得两个一元一次方程：
$x+3=0$ 或 $x-4=0$
第四步：分别解两个方程，得：
$x_1=-3$，$x_2=4$
【答案】
$x_1=-3, x_2=4$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题时需注意不要直接约去含有未知数的公因式，避免出现漏解的情况，采用因式分解法求解该类方程更加简便快捷。
【难度系数】
0.8
观察方程可知左右两边都含有公因式(x+3)，注意不能直接两边除以(x+3)，否则会漏掉x=-3的解。正确解题思路为：先将右侧的项移到左侧，再提取公因式(x+3)，将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程分别求解即可。
【解析】
第一步：移项，将右侧的$4(x+3)$移到左侧，得：
$x(x+3) - 4(x+3) = 0$
第二步：提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(x - 4) = 0$
第三步：根据乘积为0的性质，可得两个一元一次方程：
$x+3=0$ 或 $x-4=0$
第四步：分别解两个方程，得：
$x_1=-3$，$x_2=4$
【答案】
$x_1=-3, x_2=4$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，解题时需注意不要直接约去含有未知数的公因式，避免出现漏解的情况，采用因式分解法求解该类方程更加简便快捷。
【难度系数】
0.8
⑫ 不等式$x ＜ \sqrt{3}x + 4$的解是
$x ＞ -2\sqrt{3} - 2$
。答案
12.$x ＞ -2\sqrt{3} - 2$
解析
【分析】
这是一道含无理数系数的一元一次不等式求解问题，解题思路和普通一元一次不等式一致：首先将含未知数x的项移到不等式同侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后系数化为1得到解集。需要注意两点：一是当未知数的系数为负数时，系数化为1要改变不等号的方向；二是系数为无理数时，最后要对结果做分母有理化处理。
【解析】
解不等式 $x ＜ \sqrt{3}x + 4$，步骤如下：
1. 移项：将含$x$的项移到不等式左边，得 $x - \sqrt{3}x ＜ 4$；
2. 合并同类项：提取公因式$x$，得 $(1 - \sqrt{3})x ＜ 4$；
3. 系数化为1：因为$1 - \sqrt{3} ＜ 0$，根据不等式性质，不等号方向改变，得 $x ＞ \frac{4}{1 - \sqrt{3}}$；
4. 分母有理化：分子分母同乘$1 + \sqrt{3}$，得
$x ＞ \frac{4(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{-2} = -2 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$x ＞ -2\sqrt{3} - 2$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，分母有理化
【点评】
本题考查含无理系数的一元一次不等式求解，易错点为系数为负时未改变不等号方向、分母有理化计算错误，解题时需注意这两个细节。
【难度系数】
0.7
这是一道含无理数系数的一元一次不等式求解问题，解题思路和普通一元一次不等式一致：首先将含未知数x的项移到不等式同侧，常数项移到另一侧，再合并同类项，最后系数化为1得到解集。需要注意两点：一是当未知数的系数为负数时，系数化为1要改变不等号的方向；二是系数为无理数时，最后要对结果做分母有理化处理。
【解析】
解不等式 $x ＜ \sqrt{3}x + 4$，步骤如下：
1. 移项：将含$x$的项移到不等式左边，得 $x - \sqrt{3}x ＜ 4$；
2. 合并同类项：提取公因式$x$，得 $(1 - \sqrt{3})x ＜ 4$；
3. 系数化为1：因为$1 - \sqrt{3} ＜ 0$，根据不等式性质，不等号方向改变，得 $x ＞ \frac{4}{1 - \sqrt{3}}$；
4. 分母有理化：分子分母同乘$1 + \sqrt{3}$，得
$x ＞ \frac{4(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{-2} = -2 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$x ＞ -2\sqrt{3} - 2$
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质，分母有理化
【点评】
本题考查含无理系数的一元一次不等式求解，易错点为系数为负时未改变不等号方向、分母有理化计算错误，解题时需注意这两个细节。
【难度系数】
0.7
13 写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为$-\dfrac{1}{3}$，这个方程的一般形式是
$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
。答案
13.$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
解析
【分析】
要构造满足条件的一元二次方程，我们可以利用一元二次方程根的性质：若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，当二次项系数为1时，方程可写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式。我们先代入已知的两个根得到因式形式的方程，再展开整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式即可。
【解析】
已知方程的两个根分别为$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{1}{3}$，则可写出因式形式的方程：
$(x - 1)(x + \dfrac{1}{3}) = 0$
将左边展开并整理：
$x· x + x· \dfrac{1}{3} - 1· x - 1×\dfrac{1}{3} = 0$
$x^2 + \dfrac{1}{3}x - x - \dfrac{1}{3} = 0$
合并同类项得：
$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
【答案】
$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解；根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，考查根据方程的根构造一元二次方程的能力，既可以用因式分解逆运算推导，也可以用根与系数的关系计算系数，解题时注意最终结果要化为一元二次方程的一般形式。
【难度系数】
0.8
要构造满足条件的一元二次方程，我们可以利用一元二次方程根的性质：若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，当二次项系数为1时，方程可写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式。我们先代入已知的两个根得到因式形式的方程，再展开整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式即可。
【解析】
已知方程的两个根分别为$x_1=1$，$x_2=-\dfrac{1}{3}$，则可写出因式形式的方程：
$(x - 1)(x + \dfrac{1}{3}) = 0$
将左边展开并整理：
$x· x + x· \dfrac{1}{3} - 1· x - 1×\dfrac{1}{3} = 0$
$x^2 + \dfrac{1}{3}x - x - \dfrac{1}{3} = 0$
合并同类项得：
$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
【答案】
$x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0$
【知识点】
一元二次方程的根；因式分解；根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，考查根据方程的根构造一元二次方程的能力，既可以用因式分解逆运算推导，也可以用根与系数的关系计算系数，解题时注意最终结果要化为一元二次方程的一般形式。
【难度系数】
0.8
14 已知关于$x$的方程$3ax^2 - bx - 1 = 0$和$ax^2 + 2bx - 5 = 0$有共同的根$x=-1$，则$a=$
1
，$b=$－2
。答案
14.$a=1, b=-2$
解析
【分析】
已知x=-1是两个方程的公共根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=-1分别代入两个方程，即可得到两个关于a、b的等式，联立组成二元一次方程组，求解该方程组就能得到a、b的值。
【解析】
因为x=-1是两个方程的共同根，将x=-1代入第一个方程$3ax^2 - bx - 1 = 0$：
$3a×(-1)^2 - b×(-1) -1 = 0$
化简得：$3a + b = 1$ ①
再将x=-1代入第二个方程$ax^2 + 2bx - 5 = 0$：
$a×(-1)^2 + 2b×(-1) -5 = 0$
化简得：$a - 2b = 5$ ②
联立①②组成二元一次方程组，用加减消元法求解：
将①×2得：$6a + 2b = 2$ ③
③+②得：$7a = 7$，解得$a=1$
把$a=1$代入①得：$3×1 + b = 1$，解得$b=-2$
【答案】
$a=1$，$b=-2$
【知识点】
方程的根的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的性质，通过公共根代入构造参数方程组的思路是解决此类公共根问题的常用方法，计算难度较低，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
已知x=-1是两个方程的公共根，根据方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=-1分别代入两个方程，即可得到两个关于a、b的等式，联立组成二元一次方程组，求解该方程组就能得到a、b的值。
【解析】
因为x=-1是两个方程的共同根，将x=-1代入第一个方程$3ax^2 - bx - 1 = 0$：
$3a×(-1)^2 - b×(-1) -1 = 0$
化简得：$3a + b = 1$ ①
再将x=-1代入第二个方程$ax^2 + 2bx - 5 = 0$：
$a×(-1)^2 + 2b×(-1) -5 = 0$
化简得：$a - 2b = 5$ ②
联立①②组成二元一次方程组，用加减消元法求解：
将①×2得：$6a + 2b = 2$ ③
③+②得：$7a = 7$，解得$a=1$
把$a=1$代入①得：$3×1 + b = 1$，解得$b=-2$
【答案】
$a=1$，$b=-2$
【知识点】
方程的根的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的性质，通过公共根代入构造参数方程组的思路是解决此类公共根问题的常用方法，计算难度较低，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
15 实数$a$、$b$在数轴上所对应的点如图所示，化简：$|\sqrt{3} - b| + |a + \sqrt{3}| + \sqrt{a^2} =$ 
$-2a - b$
。答案
15.$-2a - b$
解析
【分析】
解题时先根据数轴上点的位置判断出实数a、b的取值范围，再分别判断每个绝对值内表达式以及二次根式对应的正负性，结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）和二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$a ＜ -\sqrt{3}$，$0 ＜ b ＜ \sqrt{3}$，
∴ $\sqrt{3} - b ＞ 0$，$a + \sqrt{3} ＜ 0$，$a ＜ 0$，
根据绝对值和二次根式的性质：
$|\sqrt{3} - b| = \sqrt{3} - b$，
$|a + \sqrt{3}| = -(a + \sqrt{3}) = -a - \sqrt{3}$，
$\sqrt{a^2} = |a| = -a$，
将上述结果代入原式得：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{3} - b) + (-a - \sqrt{3}) + (-a) \\&= \sqrt{3} - b - a - \sqrt{3} - a \\&= -2a - b\end{aligned}$
【答案】
$-2a - b$
【知识点】
数轴的应用；绝对值化简；二次根式的性质
【点评】
本题是典型的代数式化简类题目，解题核心是先通过数轴确定未知实数的取值范围，以此判断绝对值内表达式的正负，再结合相关性质去绝对值后合并，易错点是去绝对值时符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先根据数轴上点的位置判断出实数a、b的取值范围，再分别判断每个绝对值内表达式以及二次根式对应的正负性，结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）和二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$去绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知：$a ＜ -\sqrt{3}$，$0 ＜ b ＜ \sqrt{3}$，
∴ $\sqrt{3} - b ＞ 0$，$a + \sqrt{3} ＜ 0$，$a ＜ 0$，
根据绝对值和二次根式的性质：
$|\sqrt{3} - b| = \sqrt{3} - b$，
$|a + \sqrt{3}| = -(a + \sqrt{3}) = -a - \sqrt{3}$，
$\sqrt{a^2} = |a| = -a$，
将上述结果代入原式得：
$\begin{aligned}原式&= (\sqrt{3} - b) + (-a - \sqrt{3}) + (-a) \\&= \sqrt{3} - b - a - \sqrt{3} - a \\&= -2a - b\end{aligned}$
【答案】
$-2a - b$
【知识点】
数轴的应用；绝对值化简；二次根式的性质
【点评】
本题是典型的代数式化简类题目，解题核心是先通过数轴确定未知实数的取值范围，以此判断绝对值内表达式的正负，再结合相关性质去绝对值后合并，易错点是去绝对值时符号出错。
【难度系数】
0.7
