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17 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，AD平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点E，点F在AC上，且$∠ FEC=∠ DEC$，求证：$EF // BC$。
答案
因为 AD 平分 $∠ BAC$, $DE ⊥ AB$, $∠ ACB=90°$,所以 $DE=DC$,所以 $∠ ECD=∠ CED$。因为 $∠ FEC=∠ DEC$,所以 $∠ FEC=∠ ECD$,所以 $EF // BC$。
解析
【分析】
要证明$EF // BC$，可通过证明两直线的内错角相等推导平行，即证$∠ FEC = ∠ ECD$。首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由AD平分$∠ BAC$、$DC⊥ AC$、$DE⊥ AB$，可得$DE=DC$，进而推出$∠ DEC = ∠ ECD$。再结合已知条件$∠ FEC=∠ DEC$，通过等量代换即可得到$∠ FEC=∠ ECD$，满足平行线的判定条件。
【解析】
证明：
$\because$ AD平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$∠ ACB=90°$（即$DC ⊥ AC$）
$\therefore$ $DE=DC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
$\therefore$ $∠ ECD = ∠ CED$（等腰三角形两底角相等）
又$\because$ $∠ FEC = ∠ DEC$（已知）
$\therefore$ $∠ FEC = ∠ ECD$（等量代换）
$\therefore$ $EF // BC$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
因为 AD 平分 $∠ BAC$, $DE ⊥ AB$, $∠ ACB=90°$,所以 $DE=DC$,所以 $∠ ECD=∠ CED$。因为 $∠ FEC=∠ DEC$,所以 $∠ FEC=∠ ECD$,所以 $EF // BC$。
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题关键是合理运用角平分线性质得到等线段，进而推导等角，最终通过平行线判定定理完成证明，能很好地考查基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$EF // BC$，可通过证明两直线的内错角相等推导平行，即证$∠ FEC = ∠ ECD$。首先利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由AD平分$∠ BAC$、$DC⊥ AC$、$DE⊥ AB$，可得$DE=DC$，进而推出$∠ DEC = ∠ ECD$。再结合已知条件$∠ FEC=∠ DEC$，通过等量代换即可得到$∠ FEC=∠ ECD$，满足平行线的判定条件。
【解析】
证明：
$\because$ AD平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$，$∠ ACB=90°$（即$DC ⊥ AC$）
$\therefore$ $DE=DC$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
$\therefore$ $∠ ECD = ∠ CED$（等腰三角形两底角相等）
又$\because$ $∠ FEC = ∠ DEC$（已知）
$\therefore$ $∠ FEC = ∠ ECD$（等量代换）
$\therefore$ $EF // BC$（内错角相等，两直线平行）
【答案】
因为 AD 平分 $∠ BAC$, $DE ⊥ AB$, $∠ ACB=90°$,所以 $DE=DC$,所以 $∠ ECD=∠ CED$。因为 $∠ FEC=∠ DEC$,所以 $∠ FEC=∠ ECD$,所以 $EF // BC$。
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，逻辑链条清晰，解题关键是合理运用角平分线性质得到等线段，进而推导等角，最终通过平行线判定定理完成证明，能很好地考查基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
18 如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG⊥CE于点G，2CD＝AB。求证：(1)G是CE的中点；(2)∠B＝2∠BCE。
第18题图
第18题图答案
提示:连接 DE,易证 $DE=DC$。因为 $DG ⊥ CE$,所以 G 是 CE 的中点。因为 $∠ EDB=2∠ BCE$,又因为 $∠ BDE=∠ B$,所以 $∠ B=2∠ BCE$。
解析
【分析】
首先，题目中出现直角三角形（AD为高，故△ABD是直角三角形）和三角形中线，优先联想直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此考虑作辅助线连接DE。
① 证明G是CE中点：已知DG⊥CE，若能证明△CDE是等腰三角形，就可通过等腰三角形三线合一得到G是CE中点。结合CE是中线可得DE=½AB，再结合已知2CD=AB即CD=½AB，就能推出DE=CD，得到等腰△CDE，第一问即可得证。
② 证明∠B=2∠BCE：先由DE=BE可得∠B=∠EDB，再利用三角形外角的性质，∠EDB是△CDE的外角，等于两个底角之和，结合DE=CD可得∠DEC=∠BCE，即可推出∠EDB=2∠BCE，等量代换就得到第二问的结论。
【解析】
证明：连接DE
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形
∵CE是△ABC的中线，
∴E是AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB上的中线
∴$DE=BE=AE=\frac{1}{2}AB$
又
∵$2CD=AB$，即$CD=\frac{1}{2}AB$
∴$DE=CD$，即△CDE是等腰三角形
∵$DG⊥CE$，根据等腰三角形三线合一的性质
∴G是CE的中点。
(2)
∵$DE=BE$（已证）
∴$∠B=∠EDB$（等边对等角）
∵$DE=CD$（已证）
∴$∠DEC=∠BCE$（等边对等角）
∵∠EDB是△CDE的外角
∴$∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE$
∴$∠B=2∠BCE$（等量代换）
【答案】
(1) G是CE的中点得证；(2) $∠B=2∠BCE$得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，解题核心是正确作出辅助线DE，将已知条件和基础几何性质串联，解题过程需要熟练掌握特殊三角形及三角形外角的相关性质，通过等量代换完成结论推导。
【难度系数】
0.7
首先，题目中出现直角三角形（AD为高，故△ABD是直角三角形）和三角形中线，优先联想直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此考虑作辅助线连接DE。
① 证明G是CE中点：已知DG⊥CE，若能证明△CDE是等腰三角形，就可通过等腰三角形三线合一得到G是CE中点。结合CE是中线可得DE=½AB，再结合已知2CD=AB即CD=½AB，就能推出DE=CD，得到等腰△CDE，第一问即可得证。
② 证明∠B=2∠BCE：先由DE=BE可得∠B=∠EDB，再利用三角形外角的性质，∠EDB是△CDE的外角，等于两个底角之和，结合DE=CD可得∠DEC=∠BCE，即可推出∠EDB=2∠BCE，等量代换就得到第二问的结论。
【解析】
证明：连接DE
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形
∵CE是△ABC的中线，
∴E是AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB上的中线
∴$DE=BE=AE=\frac{1}{2}AB$
又
∵$2CD=AB$，即$CD=\frac{1}{2}AB$
∴$DE=CD$，即△CDE是等腰三角形
∵$DG⊥CE$，根据等腰三角形三线合一的性质
∴G是CE的中点。
(2)
∵$DE=BE$（已证）
∴$∠B=∠EDB$（等边对等角）
∵$DE=CD$（已证）
∴$∠DEC=∠BCE$（等边对等角）
∵∠EDB是△CDE的外角
∴$∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE$
∴$∠B=2∠BCE$（等量代换）
【答案】
(1) G是CE的中点得证；(2) $∠B=2∠BCE$得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是典型的几何综合证明题，解题核心是正确作出辅助线DE，将已知条件和基础几何性质串联，解题过程需要熟练掌握特殊三角形及三角形外角的相关性质，通过等量代换完成结论推导。
【难度系数】
0.7
19 如图，△DCE 和△ACB 都是等腰三角形，∠DCE 和∠ACB 是顶角且∠DCE=∠ACB。
（1）求证：AD＝BE；
（2）若$DE^2－AE^2＝EB^2$，求证：∠ACB＝90°。
（1）求证：AD＝BE；
（2）若$DE^2－AE^2＝EB^2$，求证：∠ACB＝90°。
答案
（1）提示:易证 $△ BCE ≌ △ ACD$,所以 $AD=BE$。
（2）提示:由(1)得 $△ BCE ≌ △ ACD$,所以 $∠ B=∠ CAD$。因为 $DE^2-AE^2=EB^2$,所以 $AE^2+AD^2=DE^2$,所以 $∠ DAE=90°$,即 $∠ CAD+∠ CAE=90°$,所以 $∠ B+∠ CAE=90°$,所以 $∠ ACB=90°$。
（2）提示:由(1)得 $△ BCE ≌ △ ACD$,所以 $∠ B=∠ CAD$。因为 $DE^2-AE^2=EB^2$,所以 $AE^2+AD^2=DE^2$,所以 $∠ DAE=90°$,即 $∠ CAD+∠ CAE=90°$,所以 $∠ B+∠ CAE=90°$,所以 $∠ ACB=90°$。
解析
【分析】
（1）要证明两条线段相等，通常通过证明线段所在的三角形全等求解。已知两个等腰三角形顶角相等，首先推导两个三角形的夹角相等，结合等腰三角形两腰相等的性质，用SAS判定△ACD和△BCE全等，即可得到对应边AD=BE。
（2）已知线段的平方关系，可联想到勾股定理的逆定理。先利用第一问的结论将EB替换为AD，代入所给等式可推出△ADE是直角三角形，得到∠DAE=90°，再结合全等三角形的对应角相等，将角转化到△ACB中，利用三角形内角和即可证明∠ACB=90°。
【解析】
（1）证明：
∵△DCE和△ACB都是等腰三角形，且∠DCE、∠ACB为顶角
∴$DC=EC$，$AC=BC$
∵$∠ DCE=∠ ACB$
∴$∠ DCE-∠ ACE=∠ ACB-∠ ACE$，即$∠ ACD=∠ BCE$
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ ACD=∠ BCE \\ DC=EC \end{cases}$
∴$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$
∴$AD=BE$
（2）证明：
由（1）得$△ ACD≌△ BCE$，因此$∠ CAD=∠ CBE$，$AD=BE$
∵$DE^2-AE^2=EB^2$，将$EB$替换为$AD$得：
$DE^2=AE^2+AD^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ADE$为直角三角形，$∠ DAE=90°$
即$∠ CAD+∠ CAB=90°$
将$∠ CAD$替换为$∠ CBE$，得$∠ CBE+∠ CAB=90°$
在$△ ACB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB=180°-(∠ CAB+∠ CBE)=180°-90°=90°$
【答案】
（1）$AD=BE$，证明成立；
（2）$∠ ACB=90°$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，第一问是典型的“手拉手”全等模型，考查全等判定与性质的基础应用；第二问需要结合前一问结论进行线段和角的代换，再利用勾股逆定理推导角度关系，对逻辑推理能力有一定要求，是几何部分的常见典型题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两条线段相等，通常通过证明线段所在的三角形全等求解。已知两个等腰三角形顶角相等，首先推导两个三角形的夹角相等，结合等腰三角形两腰相等的性质，用SAS判定△ACD和△BCE全等，即可得到对应边AD=BE。
（2）已知线段的平方关系，可联想到勾股定理的逆定理。先利用第一问的结论将EB替换为AD，代入所给等式可推出△ADE是直角三角形，得到∠DAE=90°，再结合全等三角形的对应角相等，将角转化到△ACB中，利用三角形内角和即可证明∠ACB=90°。
【解析】
（1）证明：
∵△DCE和△ACB都是等腰三角形，且∠DCE、∠ACB为顶角
∴$DC=EC$，$AC=BC$
∵$∠ DCE=∠ ACB$
∴$∠ DCE-∠ ACE=∠ ACB-∠ ACE$，即$∠ ACD=∠ BCE$
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ ACD=∠ BCE \\ DC=EC \end{cases}$
∴$△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$
∴$AD=BE$
（2）证明：
由（1）得$△ ACD≌△ BCE$，因此$∠ CAD=∠ CBE$，$AD=BE$
∵$DE^2-AE^2=EB^2$，将$EB$替换为$AD$得：
$DE^2=AE^2+AD^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ADE$为直角三角形，$∠ DAE=90°$
即$∠ CAD+∠ CAB=90°$
将$∠ CAD$替换为$∠ CBE$，得$∠ CBE+∠ CAB=90°$
在$△ ACB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB=180°-(∠ CAB+∠ CBE)=180°-90°=90°$
【答案】
（1）$AD=BE$，证明成立；
（2）$∠ ACB=90°$，证明成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，第一问是典型的“手拉手”全等模型，考查全等判定与性质的基础应用；第二问需要结合前一问结论进行线段和角的代换，再利用勾股逆定理推导角度关系，对逻辑推理能力有一定要求，是几何部分的常见典型题。
【难度系数】
0.7
