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1. (2025·甘孜州中考)对于抛物线 $y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是 (
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
D.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
B
)A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点坐标为$(1,3)$
C.抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
D.当 $x＞-3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大
答案
1. B 解析:
∵抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2+3$,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,3)$,当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,
∴A、C 选项不符合题意,B 选项符合题意;因为当$-3＜x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,故 D 选项不符合题意.故选 B.
∵抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2+3$,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,3)$,当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,
∴A、C 选项不符合题意,B 选项符合题意;因为当$-3＜x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,故 D 选项不符合题意.故选 B.
2.（益阳中考改编）若抛物线$y=(x-m)^2+1-m$的顶点在第一象限，则$m$的取值范围是（
A.$m＞0$
B.$m＞1$
C.$-1＜m＜0$
D.$0＜m＜1$
D
）A.$m＞0$
B.$m＞1$
C.$-1＜m＜0$
D.$0＜m＜1$
答案
2. D 解析:
∵顶点$(m,1-m)$,$m＞0$,$1-m＞0$,
∴$0＜m＜1$,故选 D.
∵顶点$(m,1-m)$,$m＞0$,$1-m＞0$,
∴$0＜m＜1$,故选 D.
3.（温州中考）已知点$A(a,2),B(b,2),C(c,7)$都在抛物线$y=(x-1)^2 -2$上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（
A.若$c＜0$，则$a＜c＜b$
B.若$c＜0$，则$a＜b＜c$
C.若$c＞0$，则$a＜c＜b$
D.若$c＞0$，则$a＜b＜c$
D
）A.若$c＜0$，则$a＜c＜b$
B.若$c＜0$，则$a＜b＜c$
C.若$c＞0$，则$a＜c＜b$
D.若$c＞0$，则$a＜b＜c$
答案
3. D 解析:当 $c＞0$ 时,$a＜b＜c$;当 $c＜0$ 时,$c＜a＜b$,故选 D.
4. 原创题 补全表格. 
答案
4. 向上 $x=2$ $(2,-1)$ 向下 $x=-5$ $(-5,\dfrac{1}{2})$ 向下 $x=-π$ $(-π,-2)$
5. (1)(广西中考改编)将抛物线$y=x^2$先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是
(2)(牡丹江中考)将抛物线$y=(x+3)^2$向下平移1个单位长度,再向右平移
$y=(x-3)^2+4$
.(2)(牡丹江中考)将抛物线$y=(x+3)^2$向下平移1个单位长度,再向右平移
2或4
个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.答案
5. (1)$y=(x-3)^2+4$
(2)2 或 4 解析:设向右平移 $a$ 个单位长度,则$(3-a)^2-1=0$,$a=2$ 或 4.
(2)2 或 4 解析:设向右平移 $a$ 个单位长度,则$(3-a)^2-1=0$,$a=2$ 或 4.
6. (1)二次函数$y=2(x+1)^2+3$的图象上有三个不同的点$A(x_1,m)$，$B(x_1+x_2,n)$，$C(x_2,m)$，则$n$的值为
(2)(宁波中考)点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上.若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为
5
.(2)(宁波中考)点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上.若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为
$m＞\dfrac{3}{2}$
.答案
6. (1)5 解析:
∵ $\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=-1$,$\therefore x_1+x_2=-2$,$n=5$.
(2)$m＞\dfrac{3}{2}$ 解析:
∵ $y_1＜y_2$,$\therefore (m-1-1)^2+n＜(m-1)^2+n$,
$\therefore m＞\dfrac{3}{2}$.
∵ $\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)=-1$,$\therefore x_1+x_2=-2$,$n=5$.
(2)$m＞\dfrac{3}{2}$ 解析:
∵ $y_1＜y_2$,$\therefore (m-1-1)^2+n＜(m-1)^2+n$,
$\therefore m＞\dfrac{3}{2}$.
7. 改编题 将抛物线$y_1=a(x-h)^2+k$先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线$y_2=-2(x+3)^2+1$。
(1)$a=$
(2)当$-2＜x＜2$时,求$y_1$和$y_2$的取值范围;
(3)若抛物线$y_1$不动,而把$x$轴向下平移2个单位长度,$y$轴向右平移3个单位长度,在新坐标系下得到抛物线$y_3$,求$y_3$的解析式.
(1)$a=$
-2
,$h=$-1
,$k=$-2
;(2)当$-2＜x＜2$时,求$y_1$和$y_2$的取值范围;
(3)若抛物线$y_1$不动,而把$x$轴向下平移2个单位长度,$y$轴向右平移3个单位长度,在新坐标系下得到抛物线$y_3$,求$y_3$的解析式.
答案
7. (1)$-2$ $-1$ $-2$
(2)$-20＜y_1≤-2$,$-49＜y_2＜-1$.
(3)$y_1=-2(x+1)^2-2$ 的顶点坐标为$(-1,-2)$,若把 $x$ 轴向下平移 2 个单位长度,$y$ 轴向右平移 3 个单位长度,则在新坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-4,0)$,$\therefore$ 抛物线 $y_3$ 的解析式为 $y_3=-2(x+4)^2$.
归纳总结 ①抛物线不动,把 $x$ 轴向下(上)平移 $n$ 个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向上(下)平移 $n$ 个单位长度;②抛物线不动,把 $y$ 轴向左(右)平移 $n$ 个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向右(左)平移 $n$ 个单位长度.
(2)$-20＜y_1≤-2$,$-49＜y_2＜-1$.
(3)$y_1=-2(x+1)^2-2$ 的顶点坐标为$(-1,-2)$,若把 $x$ 轴向下平移 2 个单位长度,$y$ 轴向右平移 3 个单位长度,则在新坐标系中抛物线的顶点坐标为$(-4,0)$,$\therefore$ 抛物线 $y_3$ 的解析式为 $y_3=-2(x+4)^2$.
归纳总结 ①抛物线不动,把 $x$ 轴向下(上)平移 $n$ 个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向上(下)平移 $n$ 个单位长度;②抛物线不动,把 $y$ 轴向左(右)平移 $n$ 个单位长度,相当于坐标轴不动,把抛物线向右(左)平移 $n$ 个单位长度.
8.（衢州中考）已知二次函数$y=a(x-1)^2 -a(a≠0)$，当$-1≤x≤4$时，y的最小值为-4，则a的值为（
A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
D
）A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
答案
8. D 解析:$y=a(x-1)^2-a(a≠0)$ 的对称轴为直线 $x=1$,顶点坐标为$(1,-a)$,当 $a＞0$,$-1≤ x≤4$ 时,函数有最小值$-a$.$\because y$ 的最小值为$-4$,$\therefore -a=-4$,$\therefore a=4$.当 $a＜0$,$-1≤ x≤4$ 时,当 $x=4$ 时,函数有最小值,$\therefore 9a-a=-4$,解得 $a=-\dfrac{1}{2}$.故 $a$ 的值为$-\dfrac{1}{2}$或4.
9. 如图，点$A(m,5)$，$B(n,2)$是抛物线$C_1:y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+1$上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线$C_2:y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2+1$，点$A$，$B$的对应点分别为点$A'$，$B'$，则曲线段$AB$扫过的阴影部分面积为（
A.6
B.9
C.12
D.15
B
）A.6
B.9
C.12
D.15
答案
9. B 解析:
∵ 将函数 $y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+1$ 的图象向左平移 3 个单位长度得到 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2+1$ 的图象,$\therefore BB'=3$,$\therefore$ 曲线段 $AB$ 扫过的面积$=(y_A-y_B)× BB'=3×3=9$.
∵ 将函数 $y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+1$ 的图象向左平移 3 个单位长度得到 $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2+1$ 的图象,$\therefore BB'=3$,$\therefore$ 曲线段 $AB$ 扫过的面积$=(y_A-y_B)× BB'=3×3=9$.
