10. (铜仁中考)已知抛物线$y=a(x-h)^2+k$与x轴有两个交点$A(-1,0),B(3,0)$，抛物线$y=a(x-h-m)^2+k$与x轴的一个交点是$(4,0)$，则$m$的值是（）

A.5
B.-1
C.5或1
D.-5或-1

10. C 解析:
∵ 抛物线 $y=a(x-h)^2+k$ 的对称轴为直线 $x=h$,抛物线 $y=a(x-h-m)^2+k$ 的对称轴为直线 $x=h+m$,$\therefore$ 当点 $A(-1,0)$ 平移后的对应点为$(4,0)$时,$m=4-(-1)=5$;当点 $B(3,0)$ 平移后的对应点为$(4,0)$时,$m=4-3=1$,即 $m$ 的值为 5 或 1.

11. (宜宾中考改编)如图, 抛物线 $y_1 = \frac{1}{2}(x+1)^2 +1$ 与 $y_2 = a(x-4)^2 -3$ 交于点 $A(1,3)$, 过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线, 分别交两条抛物线于 $B,C$ 两点, 且 $D,E$ 分别为顶点. 则下列结论: ① $a = \frac{2}{3}$; ② $AC = AE$; ③ $△ ABD$ 是等腰直角三角形; ④当 $x＞1$ 时, $y_1 ＞ y_2$. 其中正确的结论有 .(填序号)

11. ①③ 解析:将 $A(1,3)$ 的坐标代入 $y_2=a(x-4)^2-3$,解得 $a=\dfrac{2}{3}$,故①正确;如图,过点 $E$ 作 $EF ⊥ AC$ 于点 $F$,连接 $AD$,$BD$,$AE$,$CE$,$AE=EC$,$AF=FC$,$E(4,-3)$,$\therefore AF=3$,$EF=6$,$\therefore AE=3\sqrt{5}$,$AC=2AF=6$,$\therefore AC≠ AE$,故②错误;由 $y_1=\dfrac{1}{2}(x+1)^2+1=3$,解得 $x_1=1$,$x_2=-3$,故 $B(-3,3)$,$D(-1,1)$,则 $AB=4$,$AD=BD=2\sqrt{2}$,$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$,$\therefore △ ABD$ 是等腰直角三角形,故③正确;令 $\dfrac{1}{2}(x+1)^2+1=\dfrac{2}{3}(x-4)^2-3$,解得 $x_1=1$,$x_2=37$,$\therefore$ 当 $1＜x＜37$ 时,$y_1＞y_2$,故④错误.

12.（鸡西中考）已知抛物线$y=a(x-2)^2+c$经过点$A(-2,0)$和点$C(0,\dfrac{9}{4})$，与$x$轴交于另一点$B$，顶点为$D$。
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点$D$的坐标；
（2）如图，点$E,F$分别在线段$AB,BD$上（点$E$不与点$A,B$重合），且$∠ DEF = ∠ DAB$，$DE=EF$，则线段$BE$的长为。

12. (1)将点 $A(-2,0)$,$C(0,\dfrac{9}{4})$ 的坐标分别代入 $y=a(x-2)^2+c$,得$\begin{cases}16a+c=0,\\4a+c=\dfrac{9}{4}\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\dfrac{3}{16},\\c=3,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\dfrac{3}{16}(x-2)^2+3$,$\therefore$ 顶点 $D$ 的坐标为$(2,3)$.
(2)5 解析:当 $y=0$ 时,$-\dfrac{3}{16}(x-2)^2+3=0$,解得 $x_1=-2$,$x_2=6$,$\therefore A(-2,0)$,$B(6,0)$.$\because ∠ DEB = ∠ DEF + ∠ BEF = ∠ DAB+∠ ADE$,$∠ DEF = ∠ DAB$,$\therefore ∠ ADE = ∠ BEF$.$\because AD=\sqrt{(2+2)^2+(3-0)^2}=5$,$BD = \sqrt{(6-2)^2+(0-3)^2} = 5$,$\therefore AD = BD$,$\therefore ∠ DAE = ∠ EBF$.$\because DE = EF$,$\therefore △ ADE ≌ △ BEF(\mathrm{AAS})$,$\therefore BE=AD=5$.

13.（岳阳中考）定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数$y=(x-m)^2 - m$与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是.

13. $\dfrac{5+\sqrt{17}}{2},-1$ 解析:如图,由题意可得,互异二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的顶点 $(m,-m)$ 在直线 $y=-x$ 上运动,在正方形 $OABC$ 中,点 $A(0,2)$,点 $C(2,0)$,$\therefore B(2,2)$.

当函数图象从左上向右下运动时,若抛物线与正方形有交点,先经过点 $A$,再逐渐经过点 $O$,点 $B$,点 $C$,最后再经过点 $B$,且在运动的过程中,两次经过点 $A$,两次经过点 $O$,点 $B$ 和点 $C$,$\therefore$ 只需算出当函数经过点 $A$ 及点 $B$ 时 $m$ 的值,即可求出 $m$ 的最大值及最小值.当 $y=(x-m)^2-m$ 经过点 $A(0,2)$ 时,$m=2$ 或 $m=-1$;当 $y=(x-m)^2-m$ 经过点 $B(2,2)$ 时,$m=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}$ 或 $m=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$.$\therefore m$ 的最大值和最小值分别是$\dfrac{5+\sqrt{17}}{2},-1$.

14. (长春中考改编)在平面直角坐标系中,抛物线$y=2(x-m)^2+2m$($m$为常数)的顶点为$A$.
(1)当$m=\frac{1}{2}$时,点$A$的坐标是________,抛物线与$y$轴交点的坐标是________;
(2)若点$A$在第一象限,且$OA=\sqrt{5}$,求此抛物线所对应的二次函数的解析式,并写出函数值$y$随$x$的增大而减小时$x$的取值范围;
(3)当$x≤2m$时,若函数$y=2(x-m)^2+2m$的最小值为3,则$m$的值为________;
(4)分别过点$P(4,2),Q(4,2-2m)$作$y$轴的垂线,交抛物线的对称轴于点$M,N$.当抛物线$y=2(x-m)^2+2m$与四边形$PQNM$的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点$B$、点$C$,且点$B$的纵坐标大于点$C$的纵坐标.若点$B$到$y$轴的距离与点$C$到$x$轴的距离相等,直接写出$m$的值.

14. (1)$(\dfrac{1}{2},1)$ $(0,\dfrac{3}{2})$
(2)$\because$ 点 $A(m,2m)$ 在第一象限,且 $OA=\sqrt{5}$,$\therefore m^2+(2m)^2=(\sqrt{5})^2$,且 $m＞0$,解得 $m=1$,$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2+2$.故当 $x≤1$ 时,函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小.
(3)$\dfrac{3}{2}$ 或 $\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$ 解析:$\because$ 当 $x≤2m$ 时,若函数 $y=2(x-m)^2+2m$ 的最小值为 3,$\therefore$ 分两种情况:$2m＜m$,即 $m＜0$ 时,或 $2m≥ m$,即 $m≥0$ 时.
①当 $m＜0$ 时,$2(2m-m)^2+2m=3$,解得 $m=\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$(舍)或 $m=\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2}$;②当 $m≥0$ 时,$2(m-m)^2+2m=3$,解得 $m=\dfrac{3}{2}$.综上所述,$m$ 的值为 $\dfrac{3}{2}$ 或 $\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}$.
(4)$m$ 的值为 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或 $\dfrac{11-\sqrt{13}}{18}$ 或 $-3-\sqrt{6}$. 解析:$P(4,2)$,$Q(4,2-2m)$,抛物线 $y=2(x-m)^2+2m$.①当 $m＞1$ 时,$\because 2m＞2$,$2-2m＜0$,$\therefore$ 抛物线 $y=2(x-m)^2+2m$ 与四边形 $PQNM$ 的边没有交点. ②当 $m=1$ 时,$\because 2m=2$,$2-2m=0$,$\therefore$ 抛物线 $y=2(x-1)^2+2m$ 与四边形 $PQNM$ 的边只有一个交点,即为点 $M$.③当 $\dfrac{1}{2}≤ m＜1$ 时,如图①,,$\because 1≤2m＜2$,$0＜2-2m≤1$,$P(4,2)$,$Q(4,2-2m)$,$\therefore M(m,2)$,$N(m,2-2m)$,抛物线 $y=2(x-m)^2+2m$ 与四边形 $PQNM$ 的边有两个交点,点 $B$ 在 $PM$ 边上,点 $C$ 在 $MN$ 边上,点 $C$ 与抛物线顶点 $A$ 重合,$\therefore C(m,2m)$,$\therefore$ 令 $y=2(x-m)^2+2m=2$,
$\therefore x=m+\sqrt{1-m}$ 或 $x=m-\sqrt{1-m}$(舍去较小的值),$\therefore B(m+\sqrt{1-m},2)$.$\because$ 点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等,$\therefore m+\sqrt{1-m}=2m$,解得 $m=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或 $m=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去较小的值).
④当 $0≤ m＜\dfrac{1}{2}$ 时,如图②,,$\therefore$ 点 $B$ 在 $PM$ 边上,点 $C$ 在 $NQ$ 边上,$\therefore B(m+\sqrt{1-m},2)$,$C(m+\sqrt{1-2m},2-2m)$,则 $2-2m=m+\sqrt{1-m}$,解得 $m=\dfrac{11\pm\sqrt{13}}{18}$.$\because 0≤ m＜\dfrac{1}{2}$,
$\therefore m=\dfrac{11-\sqrt{13}}{18}$.
⑤当 $m＜0$ 时,图象大致如图③④,,$\because 2m＜0$,$2-2m＞2$,$\therefore$ 点 $B$ 在 $NQ$ 边上,点 $C$ 在 $PM$ 边上,易知点 $C$ 到 $x$ 轴的距离为 2,令 $y=2(x-m)^2+2m=2-2m$,解得 $x=m+\sqrt{1-2m}$ 或 $x=m-\sqrt{1-2m}$(舍去较小的值),$\therefore$ 点 $B(m+\sqrt{1-2m},2-2m)$,由图可知,点 $B$ 到 $y$ 轴的距离为 $|m+\sqrt{1-2m}|$,当 $m+\sqrt{1-2m}=2$ 时,得 $m^2-2m+3=0$,$\Delta＜0$,无实数根;当 $-(m+\sqrt{1-2m})=2$ 时,得 $m^2+6m+3=0$,解得 $m=-3-\sqrt{6}$ 或 $m=-3+\sqrt{6}$,经验证,$m=-3+\sqrt{6}$ 不符合题意,$\therefore m=-3-\sqrt{6}$.
综上所述,$m$ 的值为 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 或 $\dfrac{11-\sqrt{13}}{18}$ 或 $-3-\sqrt{6}$.