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1. (2026·亳州月考)将二次函数$y=2x^2+4x-3$化成$y=a(x+h)^2+k$的形式，正确的是(
A.$y=2(x+1)^2-1$
B.$y=2(x+1)^2-5$
C.$y=2(x-2)^2-11$
D.$y=2(x+1)^2-4$
B
)A.$y=2(x+1)^2-1$
B.$y=2(x+1)^2-5$
C.$y=2(x-2)^2-11$
D.$y=2(x+1)^2-4$
答案
1. B 解析:$y=2x^2+4x-3=2(x^2+2x+1-1)-3=2(x+1)^2-5$,故选 B.
2. (2026·临沂期中)已知$(-1,y_{1}),(2,y_{2}),(3,y_{3})$在二次函数$y=-x^{2}+4x+\frac{1}{2}$的图象上，则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系正确的是 (
A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
D
)A.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
B.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
C.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$
答案
2. D 解析:$y_1=-4.5,y_2=4.5,y_3=3.5,\therefore y_1＜y_3＜y_2$,故选 D.
3. (2026·杭州月考)设直线$x=2$是函数$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$是实数，且$a＜0$)的图象的对称轴，下列说法正确的是 (
A.若$m＜3$，则$(m-1)a+b＞0$
B.若$m＞3$，则$(m-1)a+b＜0$
C.若$m＞3$，则$(m-1)a+b＞0$
D.若$m＜3$，则$(m-1)a+b＜0$
A
)A.若$m＜3$，则$(m-1)a+b＞0$
B.若$m＞3$，则$(m-1)a+b＜0$
C.若$m＞3$，则$(m-1)a+b＞0$
D.若$m＜3$，则$(m-1)a+b＜0$
答案
3. A 解析:二次函数图象的对称轴为直线$x=2$,则$-\frac{b}{2a}=2$,即$b=-4a,(m-1)a+b=(m-1)a+(-4a)=(m-5)a,a＜0$;若$m＜3$,则$(m-5)· a＞0$,即$(m-1)a+b＞0$;若$m＞3$,即$3＜m＜5$时,$(m-1)a+b＞0,m＞5$时,$(m-1)a+b＜0$,故选 A.
4. (1)(2025·徐州中考)二次函数$y=x^2+x+1$的最小值为
$\frac{3}{4}$
.答案
4. (1)$\frac{3}{4}$ 解析:$y=x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$,当$x=-\frac{1}{2}$时,二次函数$y=x^2+x+1$取最小值,最小值为$\frac{3}{4}$.
(2)(2025·广州中考)若抛物线$y=x^2 -6mx +6m^2 +5m +3$的顶点在直线$y=x+2$上，则$m$的值为
$1或-\frac{1}{3}$
。答案
(2)$1或-\frac{1}{3}$ 解析:$\because y=x^2-6mx+6m^2+5m+3,\therefore$ 对称轴为直线$x=-\frac{-6m}{2×1}=3m$,顶点坐标为$(3m,-3m^2+5m+3)$.$\because$ 抛物线的顶点在直线$y=x+2$上,$\therefore -3m^2+5m+3=3m+2$,解得$m_1=1,m_2=-\frac{1}{3}$.
5. (1)(2024·牡丹江中考)将抛物线$y=ax^2+bx+3$向下平移5个单位长度后,经过点$(-2,4)$,则$6a-3b-7=$
(2)二次函数$y=x^2-2x$的图象不动,把$x$轴向上平移2个单位长度,则在新坐标系下该抛物线的解析式是
2
.(2)二次函数$y=x^2-2x$的图象不动,把$x$轴向上平移2个单位长度,则在新坐标系下该抛物线的解析式是
$y=x^2-2x-2$
.答案
5. (1)2 解析:抛物线$y=ax^2+bx+3$向下平移5个单位长度后得$y=ax^2+bx-2$,将$(-2,4)$代入得$4a-2b=6$,即$2a-b=3$,$\therefore 6a-3b-7=3(2a-b)-7=2$.
(2)$y=x^2-2x-2$ 解析:二次函数$y=x^2-2x$的图象不动,把x轴向上平移2个单位长度,即函数图象相对于x轴向下平移2个单位长度,$\therefore y=x^2-2x-2$.
(2)$y=x^2-2x-2$ 解析:二次函数$y=x^2-2x$的图象不动,把x轴向上平移2个单位长度,即函数图象相对于x轴向下平移2个单位长度,$\therefore y=x^2-2x-2$.
6. (1)(天水中考改编)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，若$M=4a+2b+c$，$N=a-b+c$，则$M$
(2)(2024·苏州中考)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过点$A(0,m)$，$B(1,-m)$，$C(2,n)$，$D(3,-m)$，其中$m,n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为
＜
0，$N$＞
0.(填“＞”“=”或“＜”) (2)(2024·苏州中考)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象过点$A(0,m)$，$B(1,-m)$，$C(2,n)$，$D(3,-m)$，其中$m,n$为常数，则$\frac{m}{n}$的值为
$-\frac{3}{5}$
.答案
6. (1)＜ ＞ 解析:由图象可知,当$x=2$时,$y=4a+2b+c＜0$,即$M＜0$;当$x=-1$时,$y=a-b+c＞0$,即$N＞0$.
(2)$-\frac{3}{5}$ 解析:把$A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,得$\begin{cases} c=m, \\ a+b+c=-m, \\ 9a+3b+c=-m, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\frac{2}{3}m, \\ b=-\frac{8}{3}m, \\ c=m, \end{cases}$
$\therefore y=\frac{2}{3}mx^2-\frac{8}{3}mx+m$.把$C(2,n)$的坐标代入$y=\frac{2}{3}mx^2-\frac{8}{3}mx+m$,得$n=\frac{2}{3}m×2^2-\frac{8}{3}m×2+m$,$\therefore n=-\frac{5}{3}m$,$\therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$.
(2)$-\frac{3}{5}$ 解析:把$A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+c(a≠0)$,得$\begin{cases} c=m, \\ a+b+c=-m, \\ 9a+3b+c=-m, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=\frac{2}{3}m, \\ b=-\frac{8}{3}m, \\ c=m, \end{cases}$
$\therefore y=\frac{2}{3}mx^2-\frac{8}{3}mx+m$.把$C(2,n)$的坐标代入$y=\frac{2}{3}mx^2-\frac{8}{3}mx+m$,得$n=\frac{2}{3}m×2^2-\frac{8}{3}m×2+m$,$\therefore n=-\frac{5}{3}m$,$\therefore \frac{m}{n}=\frac{m}{-\frac{5}{3}m}=-\frac{3}{5}$.
7. 原创题 已知二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10.$
(1)该二次函数图象的对称轴是
(2)写出其图象与函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象的位置关系;
(3)该函数图象上有一点$P(x_p,y_p)$,当点P到y轴的距离不大于3时,求$y_p$的最大值;
(4)函数图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,求$△ ABC$的面积.
(1)该二次函数图象的对称轴是
直线$x=6$
,顶点坐标是$(6,8)$
;(2)写出其图象与函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象的位置关系;
(3)该函数图象上有一点$P(x_p,y_p)$,当点P到y轴的距离不大于3时,求$y_p$的最大值;
(4)函数图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,求$△ ABC$的面积.
答案
7. (1)直线$x=6$ $(6,8)$
(2)将二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象先向右平移6个单位长度,再向上平移8个单位长度即可得到二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10$的图象.(答案不唯一,合理即可)
(3)由题意,得点P的横坐标$|x_p|≤3$,即$-3≤ x_p≤3$,在此范围内,$y_p$随$x_p$的增大而增大.当$x_p=3$时,$y_p$有最大值$\frac{7}{2}$,$\therefore y_p$的最大值为$\frac{7}{2}$.
(4)$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10$,当$x=0$时,$y=-10$,当$y=0$时,$x=2$或$x=10$,$\therefore$ 抛物线与x轴交于点$A(2,0),B(10,0)$,与y轴交于点$C(0,-10)$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(10-2)×10=40$.
(2)将二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象先向右平移6个单位长度,再向上平移8个单位长度即可得到二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10$的图象.(答案不唯一,合理即可)
(3)由题意,得点P的横坐标$|x_p|≤3$,即$-3≤ x_p≤3$,在此范围内,$y_p$随$x_p$的增大而增大.当$x_p=3$时,$y_p$有最大值$\frac{7}{2}$,$\therefore y_p$的最大值为$\frac{7}{2}$.
(4)$y=-\frac{1}{2}x^2+6x-10$,当$x=0$时,$y=-10$,当$y=0$时,$x=2$或$x=10$,$\therefore$ 抛物线与x轴交于点$A(2,0),B(10,0)$,与y轴交于点$C(0,-10)$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(10-2)×10=40$.
8. 在同一平面直角坐标系中,若抛物线$y_1=-x^2-(2m+2n)x-6n+9$与$y_2=x^2+(5m-n)x+m^2$关于$x$轴对称,则$m^2+n^2$的值为 (
A.13
B.18
C.24
D.36
B
)A.13
B.18
C.24
D.36
答案
8. B 解析:$\because$ 抛物线$y_1=-x^2-(2m+2n)x-6n+9$与$y_2=x^2+(5m-n)x+m^2$关于x轴对称,$\therefore y_2=-y_1$,$\therefore -y_1=x^2+(2m+2n)x+6n-9$,$\therefore x^2+(2m+2n)x+6n-9=x^2+(5m-n)x+m^2$,$\therefore \begin{cases} 2m+2n=5m-n, \\ 6n-9=m^2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=3, \\ n=3, \end{cases}$ $\therefore m^2+n^2=18$.
9. (陕西中考改编)在平面直角坐标系中,将抛物线$y=x^2-(m-1)x+m(m＞1)$沿$y$轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在第
四
象限.答案
9. 四 解析:$\because y=x^2-(m-1)x+m=(x-\frac{m-1}{2})^2+m-\frac{(m-1)^2}{4}$,$\therefore$ 该抛物线的顶点坐标是$(\frac{m-1}{2},m-\frac{(m-1)^2}{4})$,$\therefore$ 将其沿y轴向下平移3个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是$(\frac{m-1}{2},m-\frac{(m-1)^2}{4}-3)$.$\because m＞1$,$\therefore m-1＞0$,$\therefore \frac{m-1}{2}＞0$.$\because m-\frac{(m-1)^2}{4}-3=\frac{4m-(m^2-2m+1)-12}{4}=\frac{-(m-3)^2-4}{4}=-\frac{(m-3)^2}{4}-1＜0$,$\therefore$ 顶点$(\frac{m-1}{2},m-\frac{(m-1)^2}{4}-3)$在第四象限.
