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10. (济南中考改编)新定义:在平面直角坐标系中,对于点$P(m,n)$和点$P'(m,n')$,若满足$m≥0$时,$n'=n-4$;$m＜0$时,$n'=-n$,则称点$P'(m,n')$是点$P(m,n)$的限变点.例如:点$P_1(2,5)$的限变点是$P_1'(2,1)$,点$P_2(-2,3)$的限变点是$P_2'(-2,-3)$.若点$P(m,n)$在二次函数$y=-x^2+4x+2$的图象上,则当$-1≤m≤3$时,其限变点$P'$的纵坐标$n'$的取值范围是
$-2≤ n'≤3$
.答案
10. $-2≤ n'≤3$ 解析:由题意可知,当$m≥0$时,$n'=-m^2+4m+2-4=-(m-2)^2+2$,$\therefore$ 当$0≤ m≤3$时,$-2≤ n'≤2$;当$m＜0$时,$n'=m^2-4m-2=(m-2)^2-6$,$\therefore$ 当$-1≤ m＜0$时,$-2＜n'≤3$.综上,当$-1≤ m≤3$时,点$P'$的纵坐标$n'$的取值范围是$-2≤ n'≤3$.
11. (2026·阜阳模拟)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$ab≠0$，且$a＞0$）的最小值是-1.
(1)若该抛物线的对称轴为直线$x=1$，并且经过点$(-1,3)$，求抛物线对应的函数解析式.
(2)若直线$y=ax+c$经过抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点.
①求抛物线的顶点坐标；
②$A(p-4,y_1),B(p,y_2)$是抛物线上的两点，且$y_1＞y_2$，求$p$的取值范围.
(1)若该抛物线的对称轴为直线$x=1$，并且经过点$(-1,3)$，求抛物线对应的函数解析式.
(2)若直线$y=ax+c$经过抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点.
①求抛物线的顶点坐标；
②$A(p-4,y_1),B(p,y_2)$是抛物线上的两点，且$y_1＞y_2$，求$p$的取值范围.
答案
11. (1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)^2-1$,把$(-1,3)$代入,可得$3=4a-1$,解得$a=1$,$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=(x-1)^2-1=x^2-2x$.
(2)①根据$y=ax^2+bx+c$,可得二次函数的顶点为$(-\frac{b}{2a},-1)$,把$(-\frac{b}{2a},-1)$代入$y=ax+c$,得$a·(-\frac{b}{2a})+c=-1$,化简,得$c=\frac{b}{2}-1$.$\because \frac{4ac-b^2}{4a}=-1$,$\therefore \frac{4a·(\frac{b}{2}-1)-b^2}{4a}=-1$,$\therefore b=2a$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$.
②设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)^2-1$.$\therefore y_1=a(p-4+1)^2-1$,$y_2=a(p+1)^2-1$.$y_1-y_2=a(p-4+1)^2-1-a(p+1)^2+1=a(p-3)^2-a(p+1)^2=8a(1-p)$.$\because y_1＞y_2$,$\therefore 8a(1-p)＞0$,$\because a＞0$,$\therefore 1-p＞0$,$\therefore p＜1$.
(2)①根据$y=ax^2+bx+c$,可得二次函数的顶点为$(-\frac{b}{2a},-1)$,把$(-\frac{b}{2a},-1)$代入$y=ax+c$,得$a·(-\frac{b}{2a})+c=-1$,化简,得$c=\frac{b}{2}-1$.$\because \frac{4ac-b^2}{4a}=-1$,$\therefore \frac{4a·(\frac{b}{2}-1)-b^2}{4a}=-1$,$\therefore b=2a$,$\therefore -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$.
②设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+1)^2-1$.$\therefore y_1=a(p-4+1)^2-1$,$y_2=a(p+1)^2-1$.$y_1-y_2=a(p-4+1)^2-1-a(p+1)^2+1=a(p-3)^2-a(p+1)^2=8a(1-p)$.$\because y_1＞y_2$,$\therefore 8a(1-p)＞0$,$\because a＞0$,$\therefore 1-p＞0$,$\therefore p＜1$.
12.（自主招生）已知抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+bx$经过点$A(4,0)$。设点$C(1,-3)$，若点$D$在抛物线的对称轴上，则使得$|AD-CD|$的值最大时$D$点的坐标为
$(2,-6)$
。答案
12. $(2,-6)$ 解析:$\because$ 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+bx$经过点$A(4,0)$,$\therefore \frac{1}{2}×4^2+4b=0$,$\therefore b=-2$,$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x=\frac{1}{2}(x-2)^2-2$,对称轴为直线$x=2$.$\because$ 点$C(1,-3)$,如图
,作点C关于直线$x=2$的对称点$C'(3,-3)$,直线$AC'$与$x=2$的交点为$D'$点,则有$|AD'-C'D'|=AC'$.任取一点D($AC'$与对称轴的交点除外)都可以构成一个$△ ADC'$,而在三角形中,两边之差小于第三边,即$|AD-C'D|＜|AC'|$,$\therefore$ 所求最大值在D是$AC'$与对称轴的交点时取到.可求得直线$AC'$的解析式为$y=3x-12$,当$x=2$时,$y=-6$,$\therefore D$点的坐标为$(2,-6)$.13. (2024·大庆中考)如图,已知二次函数$y=ax^2+2x+c$的图象与x轴交于A,B两点.A点坐标为$(-1,0)$,与y轴交于点$C(0,3)$,点M为抛物线顶点,点E为AB中点.
(1)求二次函数的解析式.
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得$∠ QCB=2∠ ABC$,求点Q的坐标.
(3)已知D,F为抛物线上不与A,B重合的相异两点.
①若点F与点C重合,$D(m,-12)$,且$m＞1$,求证:D,E,F三点共线;
②若直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如何运动,只要D,E,F三点共线,$△ AMP,△ MEP,△ ABP$中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.
备用图①
备用图②
(1)求二次函数的解析式.
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得$∠ QCB=2∠ ABC$,求点Q的坐标.
(3)已知D,F为抛物线上不与A,B重合的相异两点.
①若点F与点C重合,$D(m,-12)$,且$m＞1$,求证:D,E,F三点共线;
②若直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如何运动,只要D,E,F三点共线,$△ AMP,△ MEP,△ ABP$中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.
备用图①
备用图②
答案
13. (1)将$A(-1,0),C(0,3)$的坐标分别代入$y=ax^2+2x+c$,得$\begin{cases} a-2+c=0, \\ c=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1, \\ c=3, \end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)对于$y=-x^2+2x+3$,令$y=0$,$-x^2+2x+3=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore B(3,0)$,$\therefore OB=OC=3$,$\therefore △ OBC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ ABC=45°$.$\because ∠ QCB=2∠ ABC$,$\therefore ∠ QCB=90°$.如图
所示,过点C作$CQ⊥ BC$交抛物线于点Q,过点Q作$QG⊥ y$轴于点G,$\therefore ∠ GCQ=90°-∠ BCO=45°$,$\therefore △ GCQ$是等腰直角三角形,$\therefore CG=QG$.设$Q(q,-q^2+2q+3)$,则$G(0,-q^2+2q+3)$,$\therefore CG=-q^2+2q$,$GQ=q$,$\therefore -q^2+2q=q$,解得$q=0$(舍去)或$q=1$,$\therefore Q(1,4)$.(3)①将$y=-12$代入$y=-x^2+2x+3$,解得$x_1=5$,$x_2=-3$,$\because m＞1$,$\therefore m=5$,即$D(5,-12)$.$\because$ 点F与点C重合,$\therefore F(0,3)$.$\because$ 点E为AB中点,$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$\therefore E(1,0)$.设直线EF的解析式为$y=kx+b(k≠0)$,将点$E(1,0)$,$F(0,3)$的坐标分别代入得$\begin{cases} k+b=0, \\ b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-3, \\ b=3, \end{cases}$ $\therefore y=-3x+3$.当$x=5$时,$y=-3×5+3=-12$,$\therefore D(5,-12)$在直线EF上,即D,E,F三点共线.
②$△ ABP$的面积为定值,面积为16. 解析:设$D(x_1,y_1)$,$F(x_2,y_2)$,$\because D,E,F$三点共线,$E(1,0)$,$\therefore$ 设DF的解析式为$y=k(x-1)$,联立$\begin{cases} y=k(x-1), \\ y=-x^2+2x+3, \end{cases}$ 消去y,得$-x^2+(2-k)x+(3+k)=0$,$\therefore x_1+x_2=2-k$,$x_1x_2=-3-k$.$\because A(-1,0)$,$B(3,0)$,$\therefore$ 设直线AD的解析式为$y=k_1(x+1)$,直线BF的解析式为$y=k_2(x-3)$,联立$\begin{cases} y=k_1(x+1), \\ y=k_2(x-3), \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=\frac{k_1+3k_2}{k_2-k_1}, \\ y=\frac{4k_1k_2}{k_2-k_1}, \end{cases}$ $\therefore P(\frac{k_1+3k_2}{k_2-k_1},\frac{4k_1k_2}{k_2-k_1})$.$\because k_1=\frac{y_1}{x_1+1}=\frac{k(x_1-1)}{x_1+1}$,$k_2=\frac{y_2}{x_2-3}=\frac{k(x_2-1)}{x_2-3}$,$\therefore k_1k_2=\frac{k^2(x_1-1)(x_2-1)}{(x_1+1)(x_2-3)}$,$k_2-k_1=\frac{k(x_2-1)}{x_2-3}-\frac{k(x_1-1)}{x_1+1}$,$\therefore \frac{4k_1k_2}{k_2-k_1}=\frac{4k^2(x_1-1)(x_2-1)}{(x_1+1)(x_2-3)} / ( \frac{k(x_2-1)}{x_2-3}-\frac{k(x_1-1)}{x_1+1} ) = 8$,而$\frac{k_1+3k_2}{k_2-k_1}$不为定值,$\therefore P$在直线$y=8$上运动,$\therefore P$到x轴的距离为定值8.$\because$ 直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如何运动,只要D,E,F三点共线,$△ AMP$,$△ MEP$,$△ ABP$中必存在面积为定值的三角形,P到AM,EM的距离是变化的,$\therefore △ ABP$的面积为$\frac{1}{2}AB× y_P=\frac{1}{2}×4×8=16$,是定值.
