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12. 如图,直线$y=-x-2$交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A,且经过点B.
(1)求该抛物线对应的函数解析式;
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,求m的值;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使$PO+PB$的值最小,求出点P的坐标.
(1)求该抛物线对应的函数解析式;
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,求m的值;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使$PO+PB$的值最小,求出点P的坐标.
答案
(1)由直线 $y=-x-2$,令 $x=0$,则 $y=-2$,
∴ 点 B 的坐标为 $(0,-2)$. 令 $y=0$,则 $x=-2$,
∴ 点 A 的坐标为 $(-2,0)$.
∴ 抛物线的顶点为 A,且经过点 B,
∴ 设 $y=a(x+2)^2$,$\therefore -2=4a$,解得 $a=-\frac{1}{2}$,
∴ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$,即 $y=-\frac{1}{2}x^2-2x-2$.
(2)
∵ 点 $C(m,-\frac{9}{2})$ 在抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2-2x-2$ 上,
∴ $-\frac{1}{2}m^2-2m-2=-\frac{9}{2}$,$\therefore m^2+4m-5=0$,解得 $m_1=1$,$m_2=-5$.
(3)设点 B 关于对称轴的对称点为 $B'$,连接 $OB'$,$OB'$ 与对称轴的交点即为点 P.
∵ 点 B 的坐标为 $(0,-2)$,对称轴是直线 $x=-2$,$\therefore B'(-4,-2)$,则直线 $OB'$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x$,联立方程组,得 $\begin{cases}x=-2,\\y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-2,\\y=-1,\end{cases}$ 故 $P(-2,-1)$.
∴ 点 B 的坐标为 $(0,-2)$. 令 $y=0$,则 $x=-2$,
∴ 点 A 的坐标为 $(-2,0)$.
∴ 抛物线的顶点为 A,且经过点 B,
∴ 设 $y=a(x+2)^2$,$\therefore -2=4a$,解得 $a=-\frac{1}{2}$,
∴ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{2}(x+2)^2$,即 $y=-\frac{1}{2}x^2-2x-2$.
(2)
∵ 点 $C(m,-\frac{9}{2})$ 在抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2-2x-2$ 上,
∴ $-\frac{1}{2}m^2-2m-2=-\frac{9}{2}$,$\therefore m^2+4m-5=0$,解得 $m_1=1$,$m_2=-5$.
(3)设点 B 关于对称轴的对称点为 $B'$,连接 $OB'$,$OB'$ 与对称轴的交点即为点 P.
∵ 点 B 的坐标为 $(0,-2)$,对称轴是直线 $x=-2$,$\therefore B'(-4,-2)$,则直线 $OB'$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x$,联立方程组,得 $\begin{cases}x=-2,\\y=\frac{1}{2}x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=-2,\\y=-1,\end{cases}$ 故 $P(-2,-1)$.
13. 如图,将抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度,顶点为$A$,与$y$轴交于点$B$,且$△ AOB$为等腰直角三角形.
(1)求$a$的值.
(2)在图中的抛物线上是否存在点$C$,使$△ ABC$为等腰直角三角形?若存在,求点$C$的坐标及$S_{△ ABC}$;若不存在,请说明理由.
(1)求$a$的值.
(2)在图中的抛物线上是否存在点$C$,使$△ ABC$为等腰直角三角形?若存在,求点$C$的坐标及$S_{△ ABC}$;若不存在,请说明理由.
答案
(1)平移后的抛物线的解析式为 $y=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$,令 $y=x^2-2ax+a^2$ 中的 $x=0$,则 $y=a^2$,$\therefore B(0,a^2)$.
∵ $△ AOB$ 为等腰直角三角形,$\therefore a=a^2$,解得 $a=1$ 或 $a=0$(舍去).故 a 的值为 1.
(2)存在.作点 B 关于抛物线的对称轴对称的点 C,连接 AC,BC,BC 交抛物线的对称轴于点 D,
.∵ $△ AOB$ 为等腰直角三角形,$\therefore △ ABD$ 为等腰直角三角形,$\therefore ∠ BAD=45°$.
∵ AD 为抛物线的对称轴,$\therefore AB=AC$,$∠ CAD=∠ BAD=45°$,$\therefore △ ABC$ 为等腰直角三角形.
∵ 点 $B(0,1)$,抛物线的对称轴为直线 $x=1$,
∴ 点 C 的坐标为 $(2,1)$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$,故在图中的抛物线上存在点 C,使 $△ ABC$ 为等腰直角三角形,点 C 的坐标为 $(2,1)$,且 $S_{△ ABC}=1$.
14. 如图,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与直线$y=2$交于B,C两点,$△ ABC$为等边三角形.若A点坐标为$(-3,0)$,则此抛物线与y轴的交点坐标是
$(0,\frac{27}{2})$
. 答案
$(0,\frac{27}{2})$ 解析:
∵ 顶点 A 的坐标为 $(-3,0)$,
∴ 设抛物线的函数解析式为 $y=a(x+3)^2$. 设点 $B(-3-m,2),C(-3+m,2)(m＞0)$,$\therefore BC=2m$.
∵ $△ ABC$ 为等边三角形,$\therefore AC=BC=2m$,$∠ BAC=60°$. 过点 C 作 $CD⊥ AO$ 于点 D,易得 $∠ ACD=30°$,$\therefore AD=m$,$\therefore$ 由勾股定理得 $CD=\sqrt{3}m$,$\therefore \sqrt{3}m=2$,$\therefore m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\therefore C(-3+\frac{2\sqrt{3}}{3},2)$,$\therefore a(-3+\frac{2\sqrt{3}}{3}+3)^2=2$,$\therefore a=\frac{3}{2}$,$\therefore y=\frac{3}{2}(x+3)^2$,当 $x=0$ 时,$y=\frac{27}{2}$.
∵ 顶点 A 的坐标为 $(-3,0)$,
∴ 设抛物线的函数解析式为 $y=a(x+3)^2$. 设点 $B(-3-m,2),C(-3+m,2)(m＞0)$,$\therefore BC=2m$.
∵ $△ ABC$ 为等边三角形,$\therefore AC=BC=2m$,$∠ BAC=60°$. 过点 C 作 $CD⊥ AO$ 于点 D,易得 $∠ ACD=30°$,$\therefore AD=m$,$\therefore$ 由勾股定理得 $CD=\sqrt{3}m$,$\therefore \sqrt{3}m=2$,$\therefore m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,$\therefore C(-3+\frac{2\sqrt{3}}{3},2)$,$\therefore a(-3+\frac{2\sqrt{3}}{3}+3)^2=2$,$\therefore a=\frac{3}{2}$,$\therefore y=\frac{3}{2}(x+3)^2$,当 $x=0$ 时,$y=\frac{27}{2}$.
15. 原创题 已知抛物线$C_0$的解析式为$y=(x+1)^2$，将抛物线$C_0$每次向右平移2个单位长度，平移$n$次，依次得到抛物线$C_1,C_2,C_3,\dots,C_n$（$n$为正整数），则抛物线$C_n$的解析式为________。
答案
$y=(x-2n+1)^2$(或 $y=x^2-(4n-2)x+4n^2-4n+1$) 解析:由于顶点 $(-1,0)$ 向右平移 $2n$ 个单位长度得到 $C_n$ 的顶点坐标为 $(2n-1,0)$,则抛物线 $C_n$ 的解析式为 $y=[x-(2n-1)]^2=(x-2n+1)^2=x^2-(4n-2)x+4n^2-4n+1$.
16. 如图,已知二次函数$y=(x+2)^2$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C,求四边形OACB的面积.
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求点A、点B的坐标.
(2)过点B且平行于x轴的直线交抛物线于点C,求四边形OACB的面积.
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
∵ 二次函数 $y=(x+2)^2$ 的图象与x轴交于点 A,令 $y=0$,$\therefore (x+2)^2=0$,$\therefore x=-2$,$\therefore A(-2,0)$.
∵ 二次函数 $y=(x+2)^2$ 的图象与y轴交于点 B,令 $x=0$,$\therefore y=4$,$\therefore B(0,4)$.
(2)
∵ 过点 B 且平行于x轴的直线交抛物线于点 C,令 $y=4$,$\therefore 4=(x+2)^2$,$\therefore x_1=0$,$x_2=-4$,$\therefore C(-4,4)$,$\therefore BC=4$,$OB=4$,$OA=2$,$\therefore S_{四边形OACB}=\frac{1}{2}(OA+BC)· OB=\frac{1}{2}×6×4=12$.
(3)存在.点 P 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-6,0)$ 或 $(-2,8)$. 解析:①当 BC 为边时,有 $BC=AP=4$,且点 P 必在x轴上,设 $P(m,0)$,$\therefore AP=|m+2|$,$\therefore |m+2|=4$,$\therefore m_1=2$,$m_2=-6$,$\therefore P_1(2,0)$,$P_2(-6,0)$.
②当 BC 为对角线时,对角线 PA 和 BC 互相平分,设 $P(x,y)$,根据中点坐标公式得 $-2+x=-2×2$,$0+y=4×2$,$\therefore x=-2$,$y=8$,$\therefore P_3(-2,8)$. 即满足条件的 P 点有三个,$P_1(2,0)$,$P_2(-6,0)$,$P_3(-2,8)$.
∵ 二次函数 $y=(x+2)^2$ 的图象与x轴交于点 A,令 $y=0$,$\therefore (x+2)^2=0$,$\therefore x=-2$,$\therefore A(-2,0)$.
∵ 二次函数 $y=(x+2)^2$ 的图象与y轴交于点 B,令 $x=0$,$\therefore y=4$,$\therefore B(0,4)$.
(2)
∵ 过点 B 且平行于x轴的直线交抛物线于点 C,令 $y=4$,$\therefore 4=(x+2)^2$,$\therefore x_1=0$,$x_2=-4$,$\therefore C(-4,4)$,$\therefore BC=4$,$OB=4$,$OA=2$,$\therefore S_{四边形OACB}=\frac{1}{2}(OA+BC)· OB=\frac{1}{2}×6×4=12$.
(3)存在.点 P 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(-6,0)$ 或 $(-2,8)$. 解析:①当 BC 为边时,有 $BC=AP=4$,且点 P 必在x轴上,设 $P(m,0)$,$\therefore AP=|m+2|$,$\therefore |m+2|=4$,$\therefore m_1=2$,$m_2=-6$,$\therefore P_1(2,0)$,$P_2(-6,0)$.
②当 BC 为对角线时,对角线 PA 和 BC 互相平分,设 $P(x,y)$,根据中点坐标公式得 $-2+x=-2×2$,$0+y=4×2$,$\therefore x=-2$,$y=8$,$\therefore P_3(-2,8)$. 即满足条件的 P 点有三个,$P_1(2,0)$,$P_2(-6,0)$,$P_3(-2,8)$.
