登录
9.如图，点A是反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0,x＜0)$图象上一点，AC⊥x轴，垂足为C，AC与反比例函数$y=\frac{n}{x}(n≠0,x＜0)$的图象交于点B，AC=3BC，连接OA，OB。若△OAB的面积为2，则$m+n=$
$-8$
。答案
9. $-8$ 【解析】由题图知$m＜0,n＜0$.
$\because AC⊥x$轴,垂足为C,AC与反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象交于点B,
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|m|=-\frac{1}{2}m,S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|n|=-\frac{1}{2}n$.
$\because AC=3BC$,
$\therefore AB=2BC$.
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}=1$,即$-\frac{1}{2}n=1$.
解得$n=-2$.
易得$-\frac{1}{2}m=2+1$. 解得$m=-6$.
$\therefore m+n=-6-2=-8$.
$\because AC⊥x$轴,垂足为C,AC与反比例函数$y=\frac{n}{x}$的图象交于点B,
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|m|=-\frac{1}{2}m,S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|n|=-\frac{1}{2}n$.
$\because AC=3BC$,
$\therefore AB=2BC$.
$\therefore S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}=1$,即$-\frac{1}{2}n=1$.
解得$n=-2$.
易得$-\frac{1}{2}m=2+1$. 解得$m=-6$.
$\therefore m+n=-6-2=-8$.
解析
【分析】
解题时首先结合反比例函数图象所在的第二象限，确定m、n均为负数；再利用反比例函数k的几何意义，可知过反比例函数图象上一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$；接下来根据AC=3BC可知△OAB和△OBC同高，底的比为2:1，结合△OAB的面积可求出△OBC的面积，进而得到△AOC的面积；最后代入面积公式求出m、n的值，计算m+n即可。
【解析】
由题图可知两个反比例函数图象均在第二象限（x＜0时y＞0），因此$m＜0,n＜0$。
$\because AC⊥ x$轴，垂足为C，点A在$y=\frac{m}{x}$上，点B在$y=\frac{n}{x}$上，
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|m|=-\frac{1}{2}m$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|n|=-\frac{1}{2}n$。
$\because AC=3BC$，$\therefore AB=AC-BC=2BC$。
$△ OAB$和$△ OBC$同高（高均为OC的长度），面积比等于底的比$AB:BC=2:1$，
已知$S_{△ OAB}=2$，因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}=1$，即$-\frac{1}{2}n=1$，解得$n=-2$。
又$\because S_{△ AOC}=S_{△ OAB}+S_{△ BOC}=2+1=3$，即$-\frac{1}{2}m=3$，解得$m=-6$。
$\therefore m+n=-6+(-2)=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.反比例函数的图象与性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题的关键是利用同高三角形的面积比等于对应底的比求出两个直角三角形的面积，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合反比例函数图象所在的第二象限，确定m、n均为负数；再利用反比例函数k的几何意义，可知过反比例函数图象上一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$；接下来根据AC=3BC可知△OAB和△OBC同高，底的比为2:1，结合△OAB的面积可求出△OBC的面积，进而得到△AOC的面积；最后代入面积公式求出m、n的值，计算m+n即可。
【解析】
由题图可知两个反比例函数图象均在第二象限（x＜0时y＞0），因此$m＜0,n＜0$。
$\because AC⊥ x$轴，垂足为C，点A在$y=\frac{m}{x}$上，点B在$y=\frac{n}{x}$上，
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|m|=-\frac{1}{2}m$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|n|=-\frac{1}{2}n$。
$\because AC=3BC$，$\therefore AB=AC-BC=2BC$。
$△ OAB$和$△ OBC$同高（高均为OC的长度），面积比等于底的比$AB:BC=2:1$，
已知$S_{△ OAB}=2$，因此$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ OAB}=1$，即$-\frac{1}{2}n=1$，解得$n=-2$。
又$\because S_{△ AOC}=S_{△ OAB}+S_{△ BOC}=2+1=3$，即$-\frac{1}{2}m=3$，解得$m=-6$。
$\therefore m+n=-6+(-2)=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.反比例函数的图象与性质
3.三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题的关键是利用同高三角形的面积比等于对应底的比求出两个直角三角形的面积，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图,反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$的图象与一次函数$y=k_2x+b(k_2≠0)$的图象相交于$A(a,6),B(-6,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)当$x＜0$时,请根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集.
(3)过直线$AB$上的点$C$作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点$D$.若点$C$的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)当$x＜0$时,请根据函数图象直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集.
(3)过直线$AB$上的点$C$作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点$D$.若点$C$的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.
答案
10.【解】(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象过点$B(-6,1)$,
$\therefore k_1=-6×1=-6$.
故反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$.
把点A的坐标$(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$.
解得$a=-1$.
$\therefore$点A的坐标为$(-1,6)$.
$\because$一次函数$y=k_2x+b$的图象过$A(-1,6)$,$B(-6,1)$两点,
$\therefore \begin{cases}-k_2 + b =6,\\-6k_2 + b =1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1,\\b=7.\end{cases}$
故一次函数的解析式为$y=x+7$.
(2)$-6≤x≤-1$.
(3)把$x=-4$代入$y=x+7$,得$y=-4+7=3$.
$\therefore C(-4,3)$.
把$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$,得$3=-\frac{6}{x}$.
解得$x=-2$.
$\therefore D(-2,3)$.
如图,过点B作$BF⊥x$轴,垂足为F,过点D作$DE⊥x$轴,垂足为E.
$\because B(-6,1),D(-2,3)$,
$\therefore DE=3,BF=1,EF=|-2-(-6)|=4$.
由图知$S_{△ BOD} + S_{△ BFO} = S_{梯形BFED} + S_{△ DEO}$.
由点B,D在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$的图象上,得$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3$.
$\therefore S_{△ BOD} = S_{梯形BFED} = \frac{1}{2}(BF+DE)·EF = \frac{1}{2}×(1+3)×4=8$.
解析
【分析】
(1) 先将点B坐标代入反比例函数解析式求出$k_1$，得到反比例函数解析式后，代入点A的纵坐标求出a，得到点A坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，得到解析式。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$等价于一次函数值≥反比例函数值，限定$x＜0$时，观察图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方的区间，结合交点横坐标即可得到解集。
(3) 先将点C的横坐标代入一次函数求出C点纵坐标，由$CD// x$轴可知D点纵坐标与C相同，代入反比例函数求出D点坐标；再利用反比例函数k的几何意义，通过割补法将$△ BOD$的面积转化为梯形面积计算即可。
【解析】
(1) 将$B(-6,1)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$k_1=-6×1=-6$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$6=-\frac{6}{a}$，解得$a=-1$，即$A(-1,6)$。
将$A(-1,6)$、$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}-k_2 + b =6\\-6k_2 + b =1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1\\b=7\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=x+7$。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$即一次函数值大于等于反比例函数值，结合$x＜0$的条件，观察图象可得解集为$-6≤x≤-1$。
(3) 将$x=-4$代入$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，
∴$C(-4,3)$。
∵$CD// x$轴，
∴D点纵坐标为3，将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$，即$D(-2,3)$。
过点B作$BF⊥x$轴，垂足为F，过点D作$DE⊥x$轴，垂足为E，如图：
由反比例函数k的几何意义得$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=\frac{1}{2}|k_1|=3$，
由图形关系可知：$S_{△ BOD} + S_{△ BFO} = S_{梯形BFED} + S_{△ DEO}$，
∴$S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(BF+DE)· EF=\frac{1}{2}×(1+3)×|-2-(-6)|=8$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{6}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+7}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{-6≤x≤-1}$；
(3) $△ BOD$的面积为$\boldsymbol{8}$，辅助线作图如下：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数与不等式
3. 反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的典型综合题，考查内容覆盖基础知识点与能力应用，既需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的基本方法，也需要会用数形结合思想解函数不等式，同时要能灵活运用割补法和反比例函数的性质简化图形面积的计算，对函数综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 先将点B坐标代入反比例函数解析式求出$k_1$，得到反比例函数解析式后，代入点A的纵坐标求出a，得到点A坐标；再将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，得到解析式。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$等价于一次函数值≥反比例函数值，限定$x＜0$时，观察图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方的区间，结合交点横坐标即可得到解集。
(3) 先将点C的横坐标代入一次函数求出C点纵坐标，由$CD// x$轴可知D点纵坐标与C相同，代入反比例函数求出D点坐标；再利用反比例函数k的几何意义，通过割补法将$△ BOD$的面积转化为梯形面积计算即可。
【解析】
(1) 将$B(-6,1)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$k_1=-6×1=-6$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$A(a,6)$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$6=-\frac{6}{a}$，解得$a=-1$，即$A(-1,6)$。
将$A(-1,6)$、$B(-6,1)$代入一次函数$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}-k_2 + b =6\\-6k_2 + b =1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1\\b=7\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为$y=x+7$。
(2) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$即一次函数值大于等于反比例函数值，结合$x＜0$的条件，观察图象可得解集为$-6≤x≤-1$。
(3) 将$x=-4$代入$y=x+7$，得$y=-4+7=3$，
∴$C(-4,3)$。
∵$CD// x$轴，
∴D点纵坐标为3，将$y=3$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$3=-\frac{6}{x}$，解得$x=-2$，即$D(-2,3)$。
过点B作$BF⊥x$轴，垂足为F，过点D作$DE⊥x$轴，垂足为E，如图：
由反比例函数k的几何意义得$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=\frac{1}{2}|k_1|=3$，
由图形关系可知：$S_{△ BOD} + S_{△ BFO} = S_{梯形BFED} + S_{△ DEO}$，
∴$S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(BF+DE)· EF=\frac{1}{2}×(1+3)×|-2-(-6)|=8$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{6}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+7}$；
(2) 解集为$\boldsymbol{-6≤x≤-1}$；
(3) $△ BOD$的面积为$\boldsymbol{8}$，辅助线作图如下：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数与不等式
3. 反比例函数k的几何意义
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的典型综合题，考查内容覆盖基础知识点与能力应用，既需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的基本方法，也需要会用数形结合思想解函数不等式，同时要能灵活运用割补法和反比例函数的性质简化图形面积的计算，对函数综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且$AB=2,AD=4$,点A的坐标为$(2,6)$.
(1)直接写出B,C,D三点的坐标.
(2)将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好能同时落在反比例函数的图象上,求反比例函数的解析式和此时直线AC对应的一次函数解析式,并直接写出满足反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.
(1)直接写出B,C,D三点的坐标.
(2)将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好能同时落在反比例函数的图象上,求反比例函数的解析式和此时直线AC对应的一次函数解析式,并直接写出满足反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.
答案
11.【解】(1)$B(2,4),C(6,4),D(6,6)$.
(2)易得矩形ABCD向下平移后只有点A,C能同时落在反比例函数的图象上.
设矩形ABCD向下平移了$m(m＞0)$个单位长度,则平移后点A的坐标是$(2,6-m)$,点C的坐标是$(6,4-m)$.
$\therefore 2(6-m)=6(4-m)$.
解得$m=3$.
$\therefore$矩形ABCD向下平移后,点A的坐标是$(2,3)$,点C的坐标是$(6,1)$.
$\therefore$反比例函数的解析式是$y=\frac{6}{x}$.
设此时直线AC对应的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$.
根据题意,得$\begin{cases}3=2a+b,\\1=6a+b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=4.\end{cases}$
$\therefore$直线AC对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x +4$. 当$0＜x＜2$或$x＞6$时,反比例函数值大于一次函数值.
(2)易得矩形ABCD向下平移后只有点A,C能同时落在反比例函数的图象上.
设矩形ABCD向下平移了$m(m＞0)$个单位长度,则平移后点A的坐标是$(2,6-m)$,点C的坐标是$(6,4-m)$.
$\therefore 2(6-m)=6(4-m)$.
解得$m=3$.
$\therefore$矩形ABCD向下平移后,点A的坐标是$(2,3)$,点C的坐标是$(6,1)$.
$\therefore$反比例函数的解析式是$y=\frac{6}{x}$.
设此时直线AC对应的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$.
根据题意,得$\begin{cases}3=2a+b,\\1=6a+b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=4.\end{cases}$
$\therefore$直线AC对应的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x +4$. 当$0＜x＜2$或$x＞6$时,反比例函数值大于一次函数值.
解析
【分析】
(1) 已知矩形ABCD中AD平行于x轴，因此AB、CD平行于y轴，AD、BC平行于x轴。结合点A坐标$(2,6)$、$AB=2$、$AD=4$，即可推导其余三点坐标：B点与A横坐标相同，纵坐标减去AB的长度；D点与A纵坐标相同，横坐标加上AD的长度；C点横坐标与D相同，纵坐标与B相同。
(2) 矩形向下平移时，各点横坐标不变，纵坐标减少相同的平移距离。首先判断可同时落在反比例函数上的两点：反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值k，同一水平线上、同一竖直线上的点横纵坐标乘积都不可能相等，因此只有A、C两点可同时落在反比例图象上。设平移距离为m，写出平移后A、C的坐标，利用两点横纵坐标乘积相等列方程求出m，即可得到反比例函数解析式；再用待定系数法求一次函数解析式；最后结合图象，在$x＞0$的前提下找反比例函数图象在一次函数图象上方对应的x范围即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AD平行x轴，$A(2,6)$，$AB=2$，$AD=4$
∴B点横坐标为2，纵坐标为$6-2=4$，即$B(2,4)$
D点纵坐标为6，横坐标为$2+4=6$，即$D(6,6)$
C点横坐标为6，纵坐标为4，即$C(6,4)$
(2) 设矩形向下平移了$m(m＞0)$个单位，平移后A的坐标为$(2,6-m)$，C的坐标为$(6,4-m)$
∵两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，横纵坐标乘积相等
$\therefore 2(6-m)=6(4-m)$
解得：$m=3$
∴平移后$A(2,3)$，$C(6,1)$，代入得$k=2×3=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
设直线AC的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，代入A、C坐标得：
$\begin{cases}3=2a+b\\1=6a+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=4\end{cases}$
∴直线AC的解析式为$y=-\frac{1}{2}x +4$
结合图象可知，$x＞0$时，反比例函数值大于一次函数值的取值范围为$0＜x＜2$或$x＞6$。
【答案】
(1) $B(2,4),C(6,4),D(6,6)$
(2) 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$；直线AC的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$；x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的性质；一次函数与反比例函数的交点问题
【点评】
本题是函数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用矩形和平移的性质确定点的坐标特征，结合反比例函数$k=xy$的定值特性列方程求解，判断函数值大小关系时结合图象分析更直观，需注意反比例函数自变量$x＞0$的限制。
【难度系数】
0.6
(1) 已知矩形ABCD中AD平行于x轴，因此AB、CD平行于y轴，AD、BC平行于x轴。结合点A坐标$(2,6)$、$AB=2$、$AD=4$，即可推导其余三点坐标：B点与A横坐标相同，纵坐标减去AB的长度；D点与A纵坐标相同，横坐标加上AD的长度；C点横坐标与D相同，纵坐标与B相同。
(2) 矩形向下平移时，各点横坐标不变，纵坐标减少相同的平移距离。首先判断可同时落在反比例函数上的两点：反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值k，同一水平线上、同一竖直线上的点横纵坐标乘积都不可能相等，因此只有A、C两点可同时落在反比例图象上。设平移距离为m，写出平移后A、C的坐标，利用两点横纵坐标乘积相等列方程求出m，即可得到反比例函数解析式；再用待定系数法求一次函数解析式；最后结合图象，在$x＞0$的前提下找反比例函数图象在一次函数图象上方对应的x范围即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AD平行x轴，$A(2,6)$，$AB=2$，$AD=4$
∴B点横坐标为2，纵坐标为$6-2=4$，即$B(2,4)$
D点纵坐标为6，横坐标为$2+4=6$，即$D(6,6)$
C点横坐标为6，纵坐标为4，即$C(6,4)$
(2) 设矩形向下平移了$m(m＞0)$个单位，平移后A的坐标为$(2,6-m)$，C的坐标为$(6,4-m)$
∵两点都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，横纵坐标乘积相等
$\therefore 2(6-m)=6(4-m)$
解得：$m=3$
∴平移后$A(2,3)$，$C(6,1)$，代入得$k=2×3=6$，即反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
设直线AC的一次函数解析式为$y=ax+b(a≠0)$，代入A、C坐标得：
$\begin{cases}3=2a+b\\1=6a+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b=4\end{cases}$
∴直线AC的解析式为$y=-\frac{1}{2}x +4$
结合图象可知，$x＞0$时，反比例函数值大于一次函数值的取值范围为$0＜x＜2$或$x＞6$。
【答案】
(1) $B(2,4),C(6,4),D(6,6)$
(2) 反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$；直线AC的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$；x的取值范围是$0＜x＜2$或$x＞6$
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的性质；一次函数与反比例函数的交点问题
【点评】
本题是函数与几何结合的基础综合题，解题核心是利用矩形和平移的性质确定点的坐标特征，结合反比例函数$k=xy$的定值特性列方程求解，判断函数值大小关系时结合图象分析更直观，需注意反比例函数自变量$x＞0$的限制。
【难度系数】
0.6
