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基础知识·预习
问题1 实际问题中的反比例函数的图象一般位于哪个象限？为什么？
问题2 建立反比例函数模型解决实际问题的过程一般是什么？
问题1 实际问题中的反比例函数的图象一般位于哪个象限？为什么？
问题2 建立反比例函数模型解决实际问题的过程一般是什么？
答案
1. 一般位于第一象限。因为在实际问题中，自变量和函数值通常都代表具有实际意义的数量，它们的取值一般都为正数，即x＞0，y＞0，对应点的横、纵坐标均为正，因此实际问题中的反比例函数图象一般位于第一象限。
2. 建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程是：先分析实际问题中的数量关系，找出两个变量之间的对应关系，确定二者成反比例关系后写出反比例函数解析式，再结合实际情境确定自变量的合理取值范围，最后利用反比例函数的相关性质求解问题，得到符合实际意义的结果。
2. 建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程是：先分析实际问题中的数量关系，找出两个变量之间的对应关系，确定二者成反比例关系后写出反比例函数解析式，再结合实际情境确定自变量的合理取值范围，最后利用反比例函数的相关性质求解问题，得到符合实际意义的结果。
解析
【分析】
针对问题1，首先回忆反比例函数常规的图象象限分布规律，再结合实际问题的特征思考：实际问题中的自变量和函数值通常代表长度、价格、时间等有实际意义的量，取值均为正数，由此可推导对应图象的位置。针对问题2，按照函数建模的逻辑顺序梳理：先从实际问题中提取变量，判断变量的数量关系，再建立函数模型，限定自变量的合理范围，最后求解并验证结果的实际意义，即可得到完整的建模流程。
【解析】
1. 反比例函数常规图象随k值正负分布在一、三象限或二、四象限，但实际问题中，自变量x和函数值y通常对应具有实际意义的数量，取值均为正数，即x＞0，y＞0，对应图象上的点横、纵坐标均为正，因此图象一般位于第一象限。
2. 建立反比例函数模型解决实际问题的步骤如下：首先分析实际问题中的数量关系，找到两个相关变量，判断二者成反比例关系后，写出对应的反比例函数解析式；再结合实际情境确定自变量的合理取值范围，排除无意义的取值；最后利用反比例函数的相关性质求解，得到符合实际意义的结果即可。
【答案】
1. 一般位于第一象限。因为在实际问题中，自变量和函数值通常都代表具有实际意义的数量，它们的取值一般都为正数，即x＞0，y＞0，对应点的横、纵坐标均为正，因此实际问题中的反比例函数图象一般位于第一象限。
2. 建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程是：先分析实际问题中的数量关系，找出两个变量之间的对应关系，确定二者成反比例关系后写出反比例函数解析式，再结合实际情境确定自变量的合理取值范围，最后利用反比例函数的相关性质求解问题，得到符合实际意义的结果。
【知识点】
反比例函数图象、反比例函数应用、函数建模步骤
【点评】
本题是反比例函数实际应用的基础预习类题目，重点考查对实际情境下函数取值的认知和反比例函数建模的基本流程，掌握相关内容能为后续解决复杂的反比例函数实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
针对问题1，首先回忆反比例函数常规的图象象限分布规律，再结合实际问题的特征思考：实际问题中的自变量和函数值通常代表长度、价格、时间等有实际意义的量，取值均为正数，由此可推导对应图象的位置。针对问题2，按照函数建模的逻辑顺序梳理：先从实际问题中提取变量，判断变量的数量关系，再建立函数模型，限定自变量的合理范围，最后求解并验证结果的实际意义，即可得到完整的建模流程。
【解析】
1. 反比例函数常规图象随k值正负分布在一、三象限或二、四象限，但实际问题中，自变量x和函数值y通常对应具有实际意义的数量，取值均为正数，即x＞0，y＞0，对应图象上的点横、纵坐标均为正，因此图象一般位于第一象限。
2. 建立反比例函数模型解决实际问题的步骤如下：首先分析实际问题中的数量关系，找到两个相关变量，判断二者成反比例关系后，写出对应的反比例函数解析式；再结合实际情境确定自变量的合理取值范围，排除无意义的取值；最后利用反比例函数的相关性质求解，得到符合实际意义的结果即可。
【答案】
1. 一般位于第一象限。因为在实际问题中，自变量和函数值通常都代表具有实际意义的数量，它们的取值一般都为正数，即x＞0，y＞0，对应点的横、纵坐标均为正，因此实际问题中的反比例函数图象一般位于第一象限。
2. 建立反比例函数模型解决实际问题的一般过程是：先分析实际问题中的数量关系，找出两个变量之间的对应关系，确定二者成反比例关系后写出反比例函数解析式，再结合实际情境确定自变量的合理取值范围，最后利用反比例函数的相关性质求解问题，得到符合实际意义的结果。
【知识点】
反比例函数图象、反比例函数应用、函数建模步骤
【点评】
本题是反比例函数实际应用的基础预习类题目，重点考查对实际情境下函数取值的认知和反比例函数建模的基本流程，掌握相关内容能为后续解决复杂的反比例函数实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题】某工程队接到一项挖水渠工程，所需天数$y$是每天完成的工程量$x$(单位:m)的反比例函数，且当$x=24$时，$y=50$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的取值范围.
(2)已知该工程队的1台挖掘机平均1天挖水渠15 m.若要求该工程队恰好10天完成此项工程，则需要几台这样的挖掘机?
【解】(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$，得$50=\frac{k}{24}$.解得$k=1200$.
因此，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$.
(2)把$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得$10=\frac{1200}{x}$.解得$x=120$.
∵$120÷15=8$，
∴需要8台这样的挖掘机.
规律方法 要找准实际问题中的基本数量关系.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的取值范围.
(2)已知该工程队的1台挖掘机平均1天挖水渠15 m.若要求该工程队恰好10天完成此项工程，则需要几台这样的挖掘机?
【解】(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.
把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$，得$50=\frac{k}{24}$.解得$k=1200$.
因此，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$.
(2)把$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得$10=\frac{1200}{x}$.解得$x=120$.
∵$120÷15=8$，
∴需要8台这样的挖掘机.
规律方法 要找准实际问题中的基本数量关系.
答案
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$，得$50=\frac{k}{24}$.解得$k=1200$.因此，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$.
(2) 把$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得$10=\frac{1200}{x}$.解得$x=120$.
∵$120÷15=8$，
∴需要8台这样的挖掘机.
规律方法 要找准实际问题中的基本数量关系.
(2) 把$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得$10=\frac{1200}{x}$.解得$x=120$.
∵$120÷15=8$，
∴需要8台这样的挖掘机.
规律方法 要找准实际问题中的基本数量关系.
解析
【分析】
（1）题目明确所需天数$y$是每天完成工程量$x$的反比例函数，因此可采用待定系数法求解函数解析式：先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=24、y=50$代入解析式求出$k$的值，最后结合实际意义，每天完成的工程量不可能为负数或0，因此确定$x＞0$。
（2）要求10天完成工程所需的挖掘机台数，首先需要求出10天完成时每天需要完成的总工程量：将$y=10$代入第一问求出的函数解析式，算出对应的$x$值，再用每天需要完成的总工程量除以单台挖掘机每天的工作量15m，即可得到所需挖掘机的数量。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$，得$50=\frac{k}{24}$，解得$k=24×50=1200$。
结合实际意义，每天完成的工程量为正数，因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$。
(2) 若要求10天完成工程，即$y=10$，将$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得$10=\frac{1200}{x}$，解得$x=120$，即每天需要完成120m的工程量。
已知1台挖掘机平均1天挖15m，则需要的挖掘机数量为$120÷15=8$（台）。
【答案】
(1) $y=\frac{1200}{x}(x＞0)$
(2) 8台
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
3. 实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在工程问题中的常规应用，核心是利用待定系数法求出函数解析式，再结合已知条件求解对应量，解题时需要注意结合实际场景确定变量的取值范围，理清工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）题目明确所需天数$y$是每天完成工程量$x$的反比例函数，因此可采用待定系数法求解函数解析式：先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=24、y=50$代入解析式求出$k$的值，最后结合实际意义，每天完成的工程量不可能为负数或0，因此确定$x＞0$。
（2）要求10天完成工程所需的挖掘机台数，首先需要求出10天完成时每天需要完成的总工程量：将$y=10$代入第一问求出的函数解析式，算出对应的$x$值，再用每天需要完成的总工程量除以单台挖掘机每天的工作量15m，即可得到所需挖掘机的数量。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
把$x=24,y=50$代入$y=\frac{k}{x}$，得$50=\frac{k}{24}$，解得$k=24×50=1200$。
结合实际意义，每天完成的工程量为正数，因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}(x＞0)$。
(2) 若要求10天完成工程，即$y=10$，将$y=10$代入$y=\frac{1200}{x}$，得$10=\frac{1200}{x}$，解得$x=120$，即每天需要完成120m的工程量。
已知1台挖掘机平均1天挖15m，则需要的挖掘机数量为$120÷15=8$（台）。
【答案】
(1) $y=\frac{1200}{x}(x＞0)$
(2) 8台
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
3. 实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是反比例函数在工程问题中的常规应用，核心是利用待定系数法求出函数解析式，再结合已知条件求解对应量，解题时需要注意结合实际场景确定变量的取值范围，理清工程问题中工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
某蓄水池的排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，只
用该排水管排水，$6\ \mathrm{h}$可将满池水排空.
(1)求这个蓄水池的容积.
(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到$Q$(单位：$\mathrm{m}^3$)，那么将满池水排空所需的时间$t$(单位：$\mathrm{h}$)将如何变化？直接写出$t$关于$Q$的函数解析式.
(3)如果准备在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，那么每小时的排水量至少是多少？
用该排水管排水，$6\ \mathrm{h}$可将满池水排空.
(1)求这个蓄水池的容积.
(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到$Q$(单位：$\mathrm{m}^3$)，那么将满池水排空所需的时间$t$(单位：$\mathrm{h}$)将如何变化？直接写出$t$关于$Q$的函数解析式.
(3)如果准备在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，那么每小时的排水量至少是多少？
答案
(1) $8×6=48(\mathrm{m}^3)$.故这个蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$.
(2) $t$随$Q$的增大而减小.$t$关于$Q$的函数解析式为$t=\frac{48}{Q}$.
(3) 把$t=5$代入$t=\frac{48}{Q}$,得$5=\frac{48}{Q}$.解得$Q=9.6$.故每小时的排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$.
(2) $t$随$Q$的增大而减小.$t$关于$Q$的函数解析式为$t=\frac{48}{Q}$.
(3) 把$t=5$代入$t=\frac{48}{Q}$,得$5=\frac{48}{Q}$.解得$Q=9.6$.故每小时的排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$.
解析
【分析】
(1) 第一问求蓄水池容积，可直接利用“总水量=单位时间排水量×排水时间”的基本工程数量关系，代入已知数值计算即可。
(2) 第二问中总水量固定，因此单位时间排水量Q和排水时间t成反比例关系：Q越大，t越小；根据总水量不变列出等式，变形即可得到t关于Q的函数解析式。
(3) 第三问要求5h内排空，即排水时间最大为5h，将t=5代入第二问的函数解析式，求出对应的Q值即为每小时的最小排水量。
【解析】
(1) 已知排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，排空满池水需要$6\ \mathrm{h}$，根据总容积的计算方法可得：
$\mathrm{蓄水池容积}=8×6=48(\mathrm{m}^3)$
(2) 由于蓄水池总容积固定为$48\ \mathrm{m}^3$，因此每小时排水量Q越大，排空满池水所需的时间t越小，二者满足等量关系$Q· t=48$，变形可得t关于Q的函数解析式为：
$t=\frac{48}{Q}\ (Q＞0)$
(3) 若要在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，将$t=5$代入$t=\frac{48}{Q}$得：
$5=\frac{48}{Q}$
解得$Q=9.6$，即每小时的排水量至少为$9.6\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) 蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$
(2) $t$随$Q$的增大而减小，$t=\frac{48}{Q}$
(3) 每小时的排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 工程问题数量关系
3. 分式方程求解
【点评】
本题结合蓄水池排水的生活场景考查函数的实际应用，解题核心是抓住“蓄水池总容积不变”这一隐含等量关系，整体侧重对基础数量关系应用能力的考查，掌握反比例函数的基本性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问求蓄水池容积，可直接利用“总水量=单位时间排水量×排水时间”的基本工程数量关系，代入已知数值计算即可。
(2) 第二问中总水量固定，因此单位时间排水量Q和排水时间t成反比例关系：Q越大，t越小；根据总水量不变列出等式，变形即可得到t关于Q的函数解析式。
(3) 第三问要求5h内排空，即排水时间最大为5h，将t=5代入第二问的函数解析式，求出对应的Q值即为每小时的最小排水量。
【解析】
(1) 已知排水管每小时排水$8\ \mathrm{m}^3$，排空满池水需要$6\ \mathrm{h}$，根据总容积的计算方法可得：
$\mathrm{蓄水池容积}=8×6=48(\mathrm{m}^3)$
(2) 由于蓄水池总容积固定为$48\ \mathrm{m}^3$，因此每小时排水量Q越大，排空满池水所需的时间t越小，二者满足等量关系$Q· t=48$，变形可得t关于Q的函数解析式为：
$t=\frac{48}{Q}\ (Q＞0)$
(3) 若要在$5\ \mathrm{h}$内将满池水排空，将$t=5$代入$t=\frac{48}{Q}$得：
$5=\frac{48}{Q}$
解得$Q=9.6$，即每小时的排水量至少为$9.6\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) 蓄水池的容积为$48\ \mathrm{m}^3$
(2) $t$随$Q$的增大而减小，$t=\frac{48}{Q}$
(3) 每小时的排水量至少是$9.6\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 工程问题数量关系
3. 分式方程求解
【点评】
本题结合蓄水池排水的生活场景考查函数的实际应用，解题核心是抓住“蓄水池总容积不变”这一隐含等量关系，整体侧重对基础数量关系应用能力的考查，掌握反比例函数的基本性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
