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3. 函数$y_1=kx+k(k≠0)$与$y_2=\frac{k}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能为（
D
）答案
3. D
解析
【分析】
这是同参数一次函数与反比例函数的图像共存类问题，解题核心是两个函数的参数$k$取值完全一致，我们可以通过分类讨论$k$的正负，结合两种函数的图像性质推导对应图像特征，再逐一匹配选项排除错误答案即可。
【解析】
分两种情况讨论参数$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为正，且与$y$轴交于正半轴，因此图像经过第一、二、三象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图像两支分别位于第一、第三象限。
观察选项：A的一次函数与$y$轴交于负半轴，B的一次函数斜率为负，C的反比例函数位于第二、四象限，均不符合该情况特征，排除$k＞0$的可能。
2. 当$k＜0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为负，且与$y$轴交于负半轴，因此图像经过第二、三、四象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图像两支分别位于第二、第四象限。
观察选项：A、B的反比例函数位于第一、三象限，C的一次函数斜率为正，均不符合；只有D选项的一次函数、反比例函数特征完全匹配$k＜0$的情况。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质
【点评】
本题是函数图像类的典型考题，重点考查对两类函数性质的掌握程度，只要抓住参数$k$的一致性，用分类讨论的方法就能快速排除错误选项，解题时注意不要把两类函数的性质记混。
【难度系数】
0.7
这是同参数一次函数与反比例函数的图像共存类问题，解题核心是两个函数的参数$k$取值完全一致，我们可以通过分类讨论$k$的正负，结合两种函数的图像性质推导对应图像特征，再逐一匹配选项排除错误答案即可。
【解析】
分两种情况讨论参数$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为正，且与$y$轴交于正半轴，因此图像经过第一、二、三象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图像两支分别位于第一、第三象限。
观察选项：A的一次函数与$y$轴交于负半轴，B的一次函数斜率为负，C的反比例函数位于第二、四象限，均不符合该情况特征，排除$k＞0$的可能。
2. 当$k＜0$时：
一次函数$y_1=kx+k$的斜率为负，且与$y$轴交于负半轴，因此图像经过第二、三、四象限；
反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图像两支分别位于第二、第四象限。
观察选项：A、B的反比例函数位于第一、三象限，C的一次函数斜率为正，均不符合；只有D选项的一次函数、反比例函数特征完全匹配$k＜0$的情况。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质
【点评】
本题是函数图像类的典型考题，重点考查对两类函数性质的掌握程度，只要抓住参数$k$的一致性，用分类讨论的方法就能快速排除错误选项，解题时注意不要把两类函数的性质记混。
【难度系数】
0.7
4. 如图,一次函数$y_1=k_1x+b(k_1≠0)$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0,x＞0)$的图象交于点$C(1,2),D(m,\frac{1}{2})$,连接$OC,OD$.下列说法错误的是 (
A.$b=\frac{5}{2}$
B.$△ BOC$与$△ AOD$的面积相等
C.$△ COD$的面积是$\frac{17}{4}$
D.当$1≤x≤4$时,$y_1≥y_2$
(第4题图) (第5题图)
C
)A.$b=\frac{5}{2}$
B.$△ BOC$与$△ AOD$的面积相等
C.$△ COD$的面积是$\frac{17}{4}$
D.当$1≤x≤4$时,$y_1≥y_2$
(第4题图) (第5题图)
答案
4. C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用点C的坐标求出反比例函数解析式，再代入D点的纵坐标求出D点横坐标，得到D点完整坐标；2. 将C、D两点坐标代入一次函数解析式，求解$k_1$和$b$的值，验证A选项；3. 求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，分别计算$△ BOC$和$△ AOD$的面积，验证B选项；4. 用割补法计算$△ COD$的面积，验证C选项；5. 结合两个函数的交点横坐标，判断$1≤x≤4$时$y_1$和$y_2$的大小关系，验证D选项，最终选出错误选项。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将$C(1,2)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，因此反比例函数为$y_2=\frac{2}{x}$。
将$D(m,\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{m}$，解得$m=4$，即D点坐标为$(4,\frac{1}{2})$。
2. 求一次函数解析式并验证A选项：
将$C(1,2)$、$D(4,\frac{1}{2})$代入$y_1=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + b = 2 \\4k_1 + b = \frac{1}{2} \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$3k_1=-\frac{3}{2}$，解得$k_1=-\frac{1}{2}$，代入$k_1 + b = 2$得$b=\frac{5}{2}$，故A选项正确，一次函数解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
3. 求A、B坐标并验证B选项：
令$x=0$，得$y=\frac{5}{2}$，即$B(0,\frac{5}{2})$，$OB=\frac{5}{2}$；令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，解得$x=5$，即$A(5,0)$，$OA=5$。
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB × x_C=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{4}$；
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA × y_D=\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$，因此$S_{△ BOC}=S_{△ AOD}$，B选项正确。
4. 计算$△ COD$面积验证C选项：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}$，
$S_{△ COD}=S_{△ AOB}-S_{△ BOC}-S_{△ AOD}=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}≠\frac{17}{4}$，故C选项错误。
5. 验证D选项：
由图像可知，两个函数交点的横坐标为1和4，当$1≤x≤4$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，因此$y_1≥y_2$，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；坐标系图形面积计算；函数值大小比较
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，需熟练掌握函数解析式的求解方法，灵活运用割补法计算坐标系中不规则三角形的面积，同时要能结合函数图像判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用点C的坐标求出反比例函数解析式，再代入D点的纵坐标求出D点横坐标，得到D点完整坐标；2. 将C、D两点坐标代入一次函数解析式，求解$k_1$和$b$的值，验证A选项；3. 求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，分别计算$△ BOC$和$△ AOD$的面积，验证B选项；4. 用割补法计算$△ COD$的面积，验证C选项；5. 结合两个函数的交点横坐标，判断$1≤x≤4$时$y_1$和$y_2$的大小关系，验证D选项，最终选出错误选项。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将$C(1,2)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}$，得$2=\frac{k_2}{1}$，解得$k_2=2$，因此反比例函数为$y_2=\frac{2}{x}$。
将$D(m,\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{2}{x}$，得$\frac{1}{2}=\frac{2}{m}$，解得$m=4$，即D点坐标为$(4,\frac{1}{2})$。
2. 求一次函数解析式并验证A选项：
将$C(1,2)$、$D(4,\frac{1}{2})$代入$y_1=k_1x+b$，得方程组：
$\begin{cases}k_1 + b = 2 \\4k_1 + b = \frac{1}{2} \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$3k_1=-\frac{3}{2}$，解得$k_1=-\frac{1}{2}$，代入$k_1 + b = 2$得$b=\frac{5}{2}$，故A选项正确，一次函数解析式为$y_1=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。
3. 求A、B坐标并验证B选项：
令$x=0$，得$y=\frac{5}{2}$，即$B(0,\frac{5}{2})$，$OB=\frac{5}{2}$；令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$，解得$x=5$，即$A(5,0)$，$OA=5$。
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB × x_C=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1=\frac{5}{4}$；
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OA × y_D=\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$，因此$S_{△ BOC}=S_{△ AOD}$，B选项正确。
4. 计算$△ COD$面积验证C选项：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}=\frac{25}{4}$，
$S_{△ COD}=S_{△ AOB}-S_{△ BOC}-S_{△ AOD}=\frac{25}{4}-\frac{5}{4}-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}≠\frac{17}{4}$，故C选项错误。
5. 验证D选项：
由图像可知，两个函数交点的横坐标为1和4，当$1≤x≤4$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，因此$y_1≥y_2$，D选项正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；坐标系图形面积计算；函数值大小比较
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，需熟练掌握函数解析式的求解方法，灵活运用割补法计算坐标系中不规则三角形的面积，同时要能结合函数图像判断函数值的大小关系。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在平面直角坐标系中,A,C是反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上的任意两点.过点A作x轴的垂线,垂足为B,过点C作x轴的垂线,垂足为D.设$Rt△ AOB$的面积为$S_1$,$Rt△ COD$的面积为$S_2$,则$S_1\_\_\_\_\_\_S_2$.(填“＞”“＜”或“=”）
答案
=
解析
【分析】
本题可利用反比例函数中比例系数k的几何意义求解。首先回忆相关结论：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$）图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积固定为$\frac{1}{2}|k|$，与点在图象上的位置无关。本题中两个直角三角形都是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的点按上述方式形成的，因此面积都等于$\frac{1}{2}×|3|$，即可判断二者大小关系。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵点A、C都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=3$，$x_2y_2=3$。
在$Rt△ AOB$中，$OB=|x_1|$，$AB=|y_1|$，
∴$S_1=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ COD$中，$OD=|x_2|$，$CD=|y_2|$，
∴$S_2=\frac{1}{2}× OD× CD=\frac{1}{2}|x_2y_2|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
∴$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，记住对应的固定结论即可快速解题，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
本题可利用反比例函数中比例系数k的几何意义求解。首先回忆相关结论：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$）图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形的面积固定为$\frac{1}{2}|k|$，与点在图象上的位置无关。本题中两个直角三角形都是反比例函数$y=\frac{3}{x}$上的点按上述方式形成的，因此面积都等于$\frac{1}{2}×|3|$，即可判断二者大小关系。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵点A、C都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=3$，$x_2y_2=3$。
在$Rt△ AOB$中，$OB=|x_1|$，$AB=|y_1|$，
∴$S_1=\frac{1}{2}× OB× AB=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
在$Rt△ COD$中，$OD=|x_2|$，$CD=|y_2|$，
∴$S_2=\frac{1}{2}× OD× CD=\frac{1}{2}|x_2y_2|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
∴$S_1=S_2$。
【答案】
=
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，记住对应的固定结论即可快速解题，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
6. 点$P(-1,a)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，它关于$y$轴的对称点在一次函数$y=-x+4$的图象上，则此反比例函数的解析式为
$y=-\frac{3}{x}$
。答案
6. $y=-\frac{3}{x}$
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：首先，回忆关于y轴对称的点的坐标规律，先求出点P关于y轴的对称点坐标；其次，将对称点坐标代入一次函数解析式，求出a的值，即可得到点P的完整坐标；最后，把点P坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，就能得到反比例函数的解析式。
【解析】
1. 求点$P(-1,a)$关于y轴的对称点：
根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变”，可得对称点坐标为$(1,a)$。
2. 求a的值：
因为点$(1,a)$在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$x=1$代入一次函数解析式，得：
$a=-1+4=3$，所以点$P$的坐标为$(-1,3)$。
3. 求反比例函数解析式：
因为点$P(-1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=-1,y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$。
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{3}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，融合了点的对称、一次函数与反比例函数的基本性质，只要理清各知识点的关联，按步骤计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步梳理：首先，回忆关于y轴对称的点的坐标规律，先求出点P关于y轴的对称点坐标；其次，将对称点坐标代入一次函数解析式，求出a的值，即可得到点P的完整坐标；最后，把点P坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，就能得到反比例函数的解析式。
【解析】
1. 求点$P(-1,a)$关于y轴的对称点：
根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变”，可得对称点坐标为$(1,a)$。
2. 求a的值：
因为点$(1,a)$在一次函数$y=-x+4$的图象上，将$x=1$代入一次函数解析式，得：
$a=-1+4=3$，所以点$P$的坐标为$(-1,3)$。
3. 求反比例函数解析式：
因为点$P(-1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=-1,y=3$代入解析式，得：
$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$。
因此反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
【答案】
$y=-\frac{3}{x}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，融合了点的对称、一次函数与反比例函数的基本性质，只要理清各知识点的关联，按步骤计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为$(-2,3)$，点B的横坐标为6，则满足关于x的不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$的x的取值范围为
$x＜-2$或$0＜x＜6$
。答案
7. $x＜-2$或$0＜x＜6$
解析
【分析】
要解不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$，可将其转化为“一次函数值大于反比例函数值”的问题，对应一次函数图象在反比例函数图象上方时$x$的取值范围。解题步骤如下：首先利用点$A$的坐标求出反比例函数的解析式，再根据点$B$的横坐标求出点$B$的坐标，最后结合两个函数的图象，分$x＜0$和$x＞0$两个区间找出一次函数图象在上方对应的$x$范围即可，注意反比例函数自变量$x$不能为0。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：
已知点$B$的横坐标为6，将$x=6$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{6}=-1$，即$B(6,-1)$。
3. 结合图象求不等式的解集：
不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$等价于$kx+b＞\frac{m}{x}$，即一次函数图象位于反比例函数图象上方时$x$的取值范围：
当$x＜0$时，观察图象可得$x＜-2$时一次函数图象在反比例函数上方；
当$x＞0$时，观察图象可得$0＜x＜6$时一次函数图象在反比例函数上方。
综上，不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$。
【答案】
$x＜-2$或$0＜x＜6$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数图象与不等式、数形结合思想
【点评】
本题核心是利用数形结合思想将不等式问题转化为函数图象的位置关系问题，解题时要注意反比例函数的图象是分两支的，需分$x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，不要遗漏$x≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$，可将其转化为“一次函数值大于反比例函数值”的问题，对应一次函数图象在反比例函数图象上方时$x$的取值范围。解题步骤如下：首先利用点$A$的坐标求出反比例函数的解析式，再根据点$B$的横坐标求出点$B$的坐标，最后结合两个函数的图象，分$x＜0$和$x＞0$两个区间找出一次函数图象在上方对应的$x$范围即可，注意反比例函数自变量$x$不能为0。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$A(-2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{-2}$，解得$m=-6$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：
已知点$B$的横坐标为6，将$x=6$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y=-\frac{6}{6}=-1$，即$B(6,-1)$。
3. 结合图象求不等式的解集：
不等式$kx+b-\frac{m}{x}＞0$等价于$kx+b＞\frac{m}{x}$，即一次函数图象位于反比例函数图象上方时$x$的取值范围：
当$x＜0$时，观察图象可得$x＜-2$时一次函数图象在反比例函数上方；
当$x＞0$时，观察图象可得$0＜x＜6$时一次函数图象在反比例函数上方。
综上，不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜6$。
【答案】
$x＜-2$或$0＜x＜6$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数图象与不等式、数形结合思想
【点评】
本题核心是利用数形结合思想将不等式问题转化为函数图象的位置关系问题，解题时要注意反比例函数的图象是分两支的，需分$x＜0$和$x＞0$两个区间分别讨论，不要遗漏$x≠0$的限制条件。
【难度系数】
0.7
8. 如图,函数$y=x-1$和$y=\frac{2}{x}$的图象相交于A,B两点.
(1)点A的坐标为
(2)若y轴上存在点C,使$S_{△ ABC}=6$,求点C的坐标.
(1)点A的坐标为
$(2,1)$
,点B的坐标为$(-1,-2)$
;观察图象,不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$
.(2)若y轴上存在点C,使$S_{△ ABC}=6$,求点C的坐标.
答案
8.【解】(1)$(2,1)$ $(-1,-2)$ $x＜-1$或$0＜x＜2$
(2)设函数$y=x-1$的图象与$y$轴的交点为$M$,则点$M$的坐标为$(0,-1)$.
设点$C$的坐标为$(0,y_C)$.
根据题意,得 $S_{△ ABC} = S_{△ BCM} + S_{△ ACM} = \frac{1}{2} × |-1-y_C| × 1 + \frac{1}{2} × |-1-y_C| × 2 = \frac{3}{2} × |y_C +1|=6$.
$\therefore |y_C+1|=4$.
当$y_C+1≥0$,即$y_C≥-1$时,$y_C+1=4$,解得$y_C=3$.
当$y_C+1＜0$,即$y_C＜-1$时,$y_C+1=-4$,解得$y_C=-5$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$.
(2)设函数$y=x-1$的图象与$y$轴的交点为$M$,则点$M$的坐标为$(0,-1)$.
设点$C$的坐标为$(0,y_C)$.
根据题意,得 $S_{△ ABC} = S_{△ BCM} + S_{△ ACM} = \frac{1}{2} × |-1-y_C| × 1 + \frac{1}{2} × |-1-y_C| × 2 = \frac{3}{2} × |y_C +1|=6$.
$\therefore |y_C+1|=4$.
当$y_C+1≥0$,即$y_C≥-1$时,$y_C+1=4$,解得$y_C=3$.
当$y_C+1＜0$,即$y_C＜-1$时,$y_C+1=-4$,解得$y_C=-5$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$.
解析
【分析】
(1)求两个函数图象的交点坐标，只需联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到A、B的坐标；求不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集，就是找一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值范围，需注意反比例函数自变量$x≠0$，分区间观察图象即可。
(2)求y轴上点C的坐标，先找到一次函数$y=x-1$与y轴的交点M，将$△ ABC$的面积拆分为$△ ACM$和$△ BCM$的面积和，两个三角形同底为$CM$，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，据此列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=x-1 \\ y=\frac{2}{x}\end{cases}$
将$y=x-1$代入$y=\frac{2}{x}$得：$x-1=\frac{2}{x}$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
将$x_1=2$代入$y=x-1$得$y_1=1$；将$x_2=-1$代入$y=x-1$得$y_2=-2$，
所以点A坐标为$(2,1)$，点B坐标为$(-1,-2)$。
观察图象：当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x＜2$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，所以不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
(2)设一次函数$y=x-1$与y轴的交点为M，令$x=0$，得$y=-1$，所以点M坐标为$(0,-1)$。
设点C的坐标为$(0,y_C)$，则$CM$的长度为$|y_C - (-1)|=|y_C +1|$。
$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=S_{△ BCM} + S_{△ ACM}$
$=\frac{1}{2} · |y_C +1| · |x_B| + \frac{1}{2} · |y_C +1| · x_A$
$=\frac{1}{2} · |y_C +1| · 1 + \frac{1}{2} · |y_C +1| · 2$
$=\frac{3}{2}|y_C +1|$
已知$S_{△ ABC}=6$，则$\frac{3}{2}|y_C +1|=6$，
解得$|y_C +1|=4$。
分情况讨论：
①当$y_C +1≥0$即$y_C≥-1$时，$y_C +1=4$，解得$y_C=3$；
②当$y_C +1＜0$即$y_C＜-1$时，$y_C +1=-4$，解得$y_C=-5$。
所以点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$。
【答案】
(1)$(2,1)$；$(-1,-2)$；$x＜-1$或$0＜x＜2$
(2)$(0,3)$或$(0,-5)$
【知识点】
一次函数与反比例函数交点，函数图象解不等式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的关键是掌握联立解析式求交点的方法，会利用函数图象的上下位置关系解不等式，计算坐标系内三角形面积时合理使用割补法简化运算，注意绝对值方程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)求两个函数图象的交点坐标，只需联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到A、B的坐标；求不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集，就是找一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的$x$的取值范围，需注意反比例函数自变量$x≠0$，分区间观察图象即可。
(2)求y轴上点C的坐标，先找到一次函数$y=x-1$与y轴的交点M，将$△ ABC$的面积拆分为$△ ACM$和$△ BCM$的面积和，两个三角形同底为$CM$，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，据此列方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y=x-1 \\ y=\frac{2}{x}\end{cases}$
将$y=x-1$代入$y=\frac{2}{x}$得：$x-1=\frac{2}{x}$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，
将$x_1=2$代入$y=x-1$得$y_1=1$；将$x_2=-1$代入$y=x-1$得$y_2=-2$，
所以点A坐标为$(2,1)$，点B坐标为$(-1,-2)$。
观察图象：当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方；当$0＜x＜2$时，一次函数图象也在反比例函数图象下方，所以不等式$x-1＜\frac{2}{x}$的解集为$x＜-1$或$0＜x＜2$。
(2)设一次函数$y=x-1$与y轴的交点为M，令$x=0$，得$y=-1$，所以点M坐标为$(0,-1)$。
设点C的坐标为$(0,y_C)$，则$CM$的长度为$|y_C - (-1)|=|y_C +1|$。
$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=S_{△ BCM} + S_{△ ACM}$
$=\frac{1}{2} · |y_C +1| · |x_B| + \frac{1}{2} · |y_C +1| · x_A$
$=\frac{1}{2} · |y_C +1| · 1 + \frac{1}{2} · |y_C +1| · 2$
$=\frac{3}{2}|y_C +1|$
已知$S_{△ ABC}=6$，则$\frac{3}{2}|y_C +1|=6$，
解得$|y_C +1|=4$。
分情况讨论：
①当$y_C +1≥0$即$y_C≥-1$时，$y_C +1=4$，解得$y_C=3$；
②当$y_C +1＜0$即$y_C＜-1$时，$y_C +1=-4$，解得$y_C=-5$。
所以点C的坐标为$(0,3)$或$(0,-5)$。
【答案】
(1)$(2,1)$；$(-1,-2)$；$x＜-1$或$0＜x＜2$
(2)$(0,3)$或$(0,-5)$
【知识点】
一次函数与反比例函数交点，函数图象解不等式，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的关键是掌握联立解析式求交点的方法，会利用函数图象的上下位置关系解不等式，计算坐标系内三角形面积时合理使用割补法简化运算，注意绝对值方程的多解性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
