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1. 如图 3-1,放一枚棋子使组成的图案是轴对称图形,则下列摆放错误的选项是(
A.黑$(0,0)$
B.黑$(1,1)$
C.黑$(1,-1)$
D.黑$(1,-2)$
A
)。A.黑$(0,0)$
B.黑$(1,1)$
C.黑$(1,-1)$
D.黑$(1,-2)$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们可以先确定原有所有棋子的坐标，再逐一将各选项的黑棋子放入坐标系中，判断是否存在一条直线作为对称轴，使整个图案折叠后完全重合，不存在对应对称轴的选项即为摆放错误的选项。
【解析】
首先确定原有棋子坐标：
原有黑点：$(-1,0)$、$(1,2)$、$(3,0)$；原有白点：$(0,1)$、$(2,1)$、$(0,-1)$、$(2,-1)$。
逐一分析选项：
选项A：摆放黑$(0,0)$，尝试寻找对称轴：若选竖直线$x=1$为对称轴，点$(0,0)$的对称点应为$(2,0)$，但此处无棋子，其余对称轴均无法使所有棋子折叠后重合，因此图案不是轴对称图形，摆放错误。
选项B：摆放黑$(1,1)$，取竖直线$x=1$为对称轴：$(-1,0)$与$(3,0)$对称，$(0,1)$与$(2,1)$对称，$(0,-1)$与$(2,-1)$对称，$(1,2)$、$(1,1)$均在对称轴上，折叠后完全重合，是轴对称图形，摆放正确。
选项C：摆放黑$(1,-1)$，取竖直线$x=1$为对称轴：$(-1,0)$与$(3,0)$对称，$(0,1)$与$(2,1)$对称，$(0,-1)$与$(2,-1)$对称，$(1,2)$、$(1,-1)$均在对称轴上，折叠后完全重合，是轴对称图形，摆放正确。
选项D：摆放黑$(1,-2)$，取竖直线$x=1$为对称轴：$(-1,0)$与$(3,0)$对称，$(0,1)$与$(2,1)$对称，$(0,-1)$与$(2,-1)$对称，$(1,2)$、$(1,-2)$均在对称轴上，折叠后完全重合，是轴对称图形，摆放正确。
综上，摆放错误的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别，平面直角坐标系中点的对称
【点评】
本题需要结合轴对称图形的定义逐一验证选项，解题时注意不要漏看题目要求，需选出摆放错误的选项，判断对称轴时优先观察已有图案的对称特征，可快速找到可能的对称轴进行验证。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们可以先确定原有所有棋子的坐标，再逐一将各选项的黑棋子放入坐标系中，判断是否存在一条直线作为对称轴，使整个图案折叠后完全重合，不存在对应对称轴的选项即为摆放错误的选项。
【解析】
首先确定原有棋子坐标：
原有黑点：$(-1,0)$、$(1,2)$、$(3,0)$；原有白点：$(0,1)$、$(2,1)$、$(0,-1)$、$(2,-1)$。
逐一分析选项：
选项A：摆放黑$(0,0)$，尝试寻找对称轴：若选竖直线$x=1$为对称轴，点$(0,0)$的对称点应为$(2,0)$，但此处无棋子，其余对称轴均无法使所有棋子折叠后重合，因此图案不是轴对称图形，摆放错误。
选项B：摆放黑$(1,1)$，取竖直线$x=1$为对称轴：$(-1,0)$与$(3,0)$对称，$(0,1)$与$(2,1)$对称，$(0,-1)$与$(2,-1)$对称，$(1,2)$、$(1,1)$均在对称轴上，折叠后完全重合，是轴对称图形，摆放正确。
选项C：摆放黑$(1,-1)$，取竖直线$x=1$为对称轴：$(-1,0)$与$(3,0)$对称，$(0,1)$与$(2,1)$对称，$(0,-1)$与$(2,-1)$对称，$(1,2)$、$(1,-1)$均在对称轴上，折叠后完全重合，是轴对称图形，摆放正确。
选项D：摆放黑$(1,-2)$，取竖直线$x=1$为对称轴：$(-1,0)$与$(3,0)$对称，$(0,1)$与$(2,1)$对称，$(0,-1)$与$(2,-1)$对称，$(1,2)$、$(1,-2)$均在对称轴上，折叠后完全重合，是轴对称图形，摆放正确。
综上，摆放错误的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别，平面直角坐标系中点的对称
【点评】
本题需要结合轴对称图形的定义逐一验证选项，解题时注意不要漏看题目要求，需选出摆放错误的选项，判断对称轴时优先观察已有图案的对称特征，可快速找到可能的对称轴进行验证。
【难度系数】
0.7
2. 图3-2是古诗《登飞来峰》，如果“浮”用(2,1)表示，“峰”用(5,4)表示，那么“见”可以表示为(
A.(4,3)
B.(4,2)
C.(5,3)
D.(3,4)
B
)。A.(4,3)
B.(4,2)
C.(5,3)
D.(3,4)
答案
2. B
解析
【分析】解题的核心是先明确数对的表示规则，我们可以通过题目给出的两个已知坐标“浮(2,1)”和“峰(5,4)”，先确定数对中两个数分别对应的计数规则：数对第一个数表示列数，从左向右计数，起始值为0；第二个数表示行数，从下向上计数，起始值为0。确定规则后，再找到“见”字所在的列数和行数，就能写出对应的数对。
【解析】
1. 确定坐标规则：
已知“浮”的坐标为(2,1)，观察“浮”的位置：从左往右数第3格，对应列数2，符合列从左到右从0开始计数；从下往上数第2格，对应行数1，符合行从下到上从0开始计数，可确认数对格式为（列数，行数）。
2. 定位“见”的坐标：
观察“见”的位置，从左往右数在第5格，列数为4；从下往上数在第3格，行数为2，因此“见”的坐标为(4,2)。
【答案】B
【知识点】用数对表示位置、坐标规则确定
【点评】本题结合古诗词情境考查数对的实际应用，解题重点是先根据已知坐标反推行列的计数方向和起始值，再定位目标位置，解题时注意仔细计数行列，避免数错位置出错。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 确定坐标规则：
已知“浮”的坐标为(2,1)，观察“浮”的位置：从左往右数第3格，对应列数2，符合列从左到右从0开始计数；从下往上数第2格，对应行数1，符合行从下到上从0开始计数，可确认数对格式为（列数，行数）。
2. 定位“见”的坐标：
观察“见”的位置，从左往右数在第5格，列数为4；从下往上数在第3格，行数为2，因此“见”的坐标为(4,2)。
【答案】B
【知识点】用数对表示位置、坐标规则确定
【点评】本题结合古诗词情境考查数对的实际应用，解题重点是先根据已知坐标反推行列的计数方向和起始值，再定位目标位置，解题时注意仔细计数行列，避免数错位置出错。
【难度系数】0.8
3. 给出下列语句:①东经$103°$,北纬$22°$;②北环大道;③华夏艺术中心东南方向200 m处;④平安金融大厦北偏东$48°$;⑤中影国际影城1号厅3排2号。其中,能确定具体位置的是
①③⑤
。(填序号)答案
3. ①③⑤
解析
【分析】
要判断语句能否确定具体位置，首先要明确核心规则：平面内确定一个点的具体位置，需要两个相互独立的可量化条件，二者缺一不可。我们只需逐个验证每个语句是否满足这一规则，即可得出结论。
【解析】
对每个语句逐一分析：
① 东经$103°$，北纬$22°$：经度、纬度是两个独立的量化数据，二者结合可唯一确定地球表面的对应点位，能确定具体位置；
② 北环大道：仅给出道路名称，道路是线状区域，没有具体点位信息，无法确定具体位置；
③ 华夏艺术中心东南方向200 m处：有明确参照点，同时给出方向、距离两个独立条件，可唯一确定对应点位，能确定具体位置；
④ 平安金融大厦北偏东$48°$：仅给出方向，没有标注距离参照点的距离，沿该方向有无数个点位，无法确定具体位置；
⑤ 中影国际影城1号厅3排2号：排数、号数是两个独立的量化数据，可唯一确定影厅内的座位位置，能确定具体位置。
综上，能确定具体位置的是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
平面内位置的确定
【点评】
本题结合生活实例考查确定位置的必备条件，解题核心是牢记平面内确定一个位置必须同时具备两个独立的量化条件，缺少任意一个都无法精准定位。
【难度系数】
0.9
要判断语句能否确定具体位置，首先要明确核心规则：平面内确定一个点的具体位置，需要两个相互独立的可量化条件，二者缺一不可。我们只需逐个验证每个语句是否满足这一规则，即可得出结论。
【解析】
对每个语句逐一分析：
① 东经$103°$，北纬$22°$：经度、纬度是两个独立的量化数据，二者结合可唯一确定地球表面的对应点位，能确定具体位置；
② 北环大道：仅给出道路名称，道路是线状区域，没有具体点位信息，无法确定具体位置；
③ 华夏艺术中心东南方向200 m处：有明确参照点，同时给出方向、距离两个独立条件，可唯一确定对应点位，能确定具体位置；
④ 平安金融大厦北偏东$48°$：仅给出方向，没有标注距离参照点的距离，沿该方向有无数个点位，无法确定具体位置；
⑤ 中影国际影城1号厅3排2号：排数、号数是两个独立的量化数据，可唯一确定影厅内的座位位置，能确定具体位置。
综上，能确定具体位置的是①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
平面内位置的确定
【点评】
本题结合生活实例考查确定位置的必备条件，解题核心是牢记平面内确定一个位置必须同时具备两个独立的量化条件，缺少任意一个都无法精准定位。
【难度系数】
0.9
4. 已知点$A(a+1,4),B(3,2a+2),P(b,0),$
若直线$AB// x$轴,点$P$在$x$轴的负半轴上,
则点$M(a-b,a-2)$在第
若直线$AB// x$轴,点$P$在$x$轴的负半轴上,
则点$M(a-b,a-2)$在第
四
象限。答案
4. 四
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平行于x轴的直线上的点的坐标特征：同一直线上所有点的纵坐标相等，因此可以利用A、B两点纵坐标相等列方程求出a的值；再根据x轴负半轴上的点的横坐标小于0，得到b的取值范围；最后分别计算点M的横、纵坐标的正负，结合各象限内点的坐标符号特征即可判断点M所在的象限。
【解析】
解：
∵ 直线$AB// x$轴，
∴ A、B两点的纵坐标相等，可得$4 = 2a + 2$，
解方程得：$2a=2$，即$a=1$。
∵ 点$P(b,0)$在x轴的负半轴上，
∴ x轴负半轴上的点横坐标小于0，即$b ＜ 0$。
接下来判断点$M(a-b,a-2)$的横纵坐标符号：
横坐标：$a-b = 1 - b$，
∵ $b＜0$，
∴ $-b＞0$，因此$1 - b = 1 + (-b) ＞ 0$；
纵坐标：$a-2 = 1 - 2 = -1 ＜ 0$。
根据象限内点的符号规律：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此点M在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 坐标轴上点的坐标特点
3. 象限内点的符号规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质的应用，解题的突破口是根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出a的值，再结合x轴负半轴点的坐标特征得到b的取值范围，进而判断点M横纵坐标的符号即可得出结论，掌握坐标相关基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先回忆平行于x轴的直线上的点的坐标特征：同一直线上所有点的纵坐标相等，因此可以利用A、B两点纵坐标相等列方程求出a的值；再根据x轴负半轴上的点的横坐标小于0，得到b的取值范围；最后分别计算点M的横、纵坐标的正负，结合各象限内点的坐标符号特征即可判断点M所在的象限。
【解析】
解：
∵ 直线$AB// x$轴，
∴ A、B两点的纵坐标相等，可得$4 = 2a + 2$，
解方程得：$2a=2$，即$a=1$。
∵ 点$P(b,0)$在x轴的负半轴上，
∴ x轴负半轴上的点横坐标小于0，即$b ＜ 0$。
接下来判断点$M(a-b,a-2)$的横纵坐标符号：
横坐标：$a-b = 1 - b$，
∵ $b＜0$，
∴ $-b＞0$，因此$1 - b = 1 + (-b) ＞ 0$；
纵坐标：$a-2 = 1 - 2 = -1 ＜ 0$。
根据象限内点的符号规律：横坐标为正、纵坐标为负的点在第四象限，因此点M在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 坐标轴上点的坐标特点
3. 象限内点的符号规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质的应用，解题的突破口是根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等求出a的值，再结合x轴负半轴点的坐标特征得到b的取值范围，进而判断点M横纵坐标的符号即可得出结论，掌握坐标相关基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.75
5. 在平面直角坐标系中,在第一象限内有一点P(4−2m,m+3),且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍,则点P的坐标为
(2,4)
。答案
5. (2,4)
解析
【分析】
首先明确平面直角坐标系的相关规则：第一象限内的点横、纵坐标均为正数；点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值。结合题目给出的距离倍数关系，我们可以先去掉绝对值列一元一次方程，求解得到m的值后，代入点的坐标表达式即可得到结果，最后验证结果符合第一象限的要求即可。
【解析】
∵ 点P在第一象限
∴ 点P的横坐标4−2m＞0，纵坐标m+3＞0，计算距离时可直接去掉绝对值
由题意得：点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍
∴ $m+3=2×(4-2m)$
解方程：
$m+3=8-4m$
$m+4m=8-3$
$5m=5$
解得 $m=1$
将m=1代入点P的坐标：
横坐标：$4-2×1=2$
纵坐标：$1+3=4$
验证得2＞0，4＞0，符合第一象限点的特征。
【答案】
(2,4)
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础坐标应用类题目，解题的核心是不要混淆点到x轴、y轴距离对应的坐标维度，同时要结合所在象限的坐标正负性验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
首先明确平面直角坐标系的相关规则：第一象限内的点横、纵坐标均为正数；点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值。结合题目给出的距离倍数关系，我们可以先去掉绝对值列一元一次方程，求解得到m的值后，代入点的坐标表达式即可得到结果，最后验证结果符合第一象限的要求即可。
【解析】
∵ 点P在第一象限
∴ 点P的横坐标4−2m＞0，纵坐标m+3＞0，计算距离时可直接去掉绝对值
由题意得：点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍
∴ $m+3=2×(4-2m)$
解方程：
$m+3=8-4m$
$m+4m=8-3$
$5m=5$
解得 $m=1$
将m=1代入点P的坐标：
横坐标：$4-2×1=2$
纵坐标：$1+3=4$
验证得2＞0，4＞0，符合第一象限点的特征。
【答案】
(2,4)
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础坐标应用类题目，解题的核心是不要混淆点到x轴、y轴距离对应的坐标维度，同时要结合所在象限的坐标正负性验证结果的合理性。
【难度系数】
0.7
6. 如图3-3，在平面直角坐标系中，已知A(-2，1)，B(-4，3)，C(2，2)。
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，请分别写出A'，B'，C'的坐标；
(2)求△A'B'C'的面积；
(3)在x轴上确定一点P，使得△PAC周长最短，请画出点P的位置。(保留作图的痕迹)
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，请分别写出A'，B'，C'的坐标；
(2)求△A'B'C'的面积；
(3)在x轴上确定一点P，使得△PAC周长最短，请画出点P的位置。(保留作图的痕迹)
答案
6. 解:(1)如
,△A'B'C'即为所求;A'(-2,-1),B'(-4,-3),C'(2,-2)。(2)△A'B'C'的面积为$6×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×6×1=5$。
(3)如
,连接AC',AC'与x轴的交点即为所求的点P。解析
【分析】
(1) 求解第一问先明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此得到三个顶点的对称点坐标，描点连线即可得到对称图形。
(2) 求解第二问时，网格中不规则三角形的面积适合用割补法计算：将三角形放在外接矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可，且轴对称前后图形面积相等，也可直接计算原△ABC的面积。
(3) 求解第三问时，△PAC的周长=PA+PC+AC，其中AC长度固定，因此只需让PA+PC的和最小即可，利用轴对称将线段转化，根据“两点之间线段最短”找到x轴上的交点P。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于x轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，可得：
A(-2,1)的对称点$A'(-2,-1)$，B(-4,3)的对称点$B'(-4,-3)$，C(2,2)的对称点$C'(2,-2)$，在坐标系中描出$A'、B'、C'$三点，顺次连接得到$△ A'B'C'$。
(2) 用割补法计算$△ A'B'C'$的面积：
先作$△ A'B'C'$的外接矩形，矩形的横向长度为$2 - (-4) = 6$，纵向长度为$-1 - (-3) = 2$，矩形面积为$6 × 2 = 12$；
再减去矩形内$△ A'B'C'$周围的三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$，$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$，$\frac{1}{2} × 6 × 1 = 3$；
因此$△ A'B'C'$的面积为$12 - 2 - 2 - 3 = 5$。
(3) 要使$△ PAC$周长最短，由于AC为定长，只需PA+PC的和最小：作点C关于x轴的对称点$C'$，连接$AC'$，该线段与x轴的交点即为所求点P，此时$PA+PC=AC'$，根据两点之间线段最短，此时PA+PC的和最小，$△ PAC$周长最短。
【答案】
(1) 如，$△ A'B'C'$即为所求；$A'(-2,-1)$，$B'(-4,-3)$，$C'(2,-2)$。
(2) $△ A'B'C'$的面积为$6×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×6×1=5$。
(3) 如，连接$AC'$，$AC'$与x轴的交点即为所求的点P。
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；割补法求面积；最短路径作图
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、网格图形面积计算、最短路径问题，是轴对称相关知识的典型综合应用，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，灵活运用割补法计算不规则图形面积，理解最短路径问题的转化思路。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问先明确关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此得到三个顶点的对称点坐标，描点连线即可得到对称图形。
(2) 求解第二问时，网格中不规则三角形的面积适合用割补法计算：将三角形放在外接矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可，且轴对称前后图形面积相等，也可直接计算原△ABC的面积。
(3) 求解第三问时，△PAC的周长=PA+PC+AC，其中AC长度固定，因此只需让PA+PC的和最小即可，利用轴对称将线段转化，根据“两点之间线段最短”找到x轴上的交点P。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于x轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，可得：
A(-2,1)的对称点$A'(-2,-1)$，B(-4,3)的对称点$B'(-4,-3)$，C(2,2)的对称点$C'(2,-2)$，在坐标系中描出$A'、B'、C'$三点，顺次连接得到$△ A'B'C'$。
(2) 用割补法计算$△ A'B'C'$的面积：
先作$△ A'B'C'$的外接矩形，矩形的横向长度为$2 - (-4) = 6$，纵向长度为$-1 - (-3) = 2$，矩形面积为$6 × 2 = 12$；
再减去矩形内$△ A'B'C'$周围的三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$，$\frac{1}{2} × 4 × 1 = 2$，$\frac{1}{2} × 6 × 1 = 3$；
因此$△ A'B'C'$的面积为$12 - 2 - 2 - 3 = 5$。
(3) 要使$△ PAC$周长最短，由于AC为定长，只需PA+PC的和最小：作点C关于x轴的对称点$C'$，连接$AC'$，该线段与x轴的交点即为所求点P，此时$PA+PC=AC'$，根据两点之间线段最短，此时PA+PC的和最小，$△ PAC$周长最短。
【答案】
(1) 如
，$△ A'B'C'$即为所求；$A'(-2,-1)$，$B'(-4,-3)$，$C'(2,-2)$。(2) $△ A'B'C'$的面积为$6×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×6×1=5$。
(3) 如
，连接$AC'$，$AC'$与x轴的交点即为所求的点P。【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；割补法求面积；最短路径作图
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、网格图形面积计算、最短路径问题，是轴对称相关知识的典型综合应用，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，灵活运用割补法计算不规则图形面积，理解最短路径问题的转化思路。
【难度系数】
0.7
7. 已知Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图3-4所示，求点C的坐标。
答案
7. 解:在Rt△ABC中，
$AC=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
如
,过点C作x轴的垂线,垂足为M,因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·AB·CM$,
所以$CM=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在Rt△ACM中，
$AM=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$,
所以点C的坐标为$(\frac{9}{5},\frac{12}{5})$。
解析
【分析】
要确定点C的坐标，需先求出点C到x轴、y轴的距离。首先观察图形，Rt△ABC中∠C为直角，斜边AB=5，直角边BC=4，第一步可利用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；其次过点C作x轴的垂线，垂线段长度就是点C的纵坐标，垂足到原点的距离就是点C的横坐标；再利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出垂线段的长度；最后在小直角三角形中用勾股定理求出垂足到原点的距离，结合点C在第一象限即可得到坐标。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
如，过点C作CM⊥x轴于点M，CM即为AB边上的高。
根据三角形面积计算公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·AB·CM$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CM$，解得$CM=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在Rt△ACM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2-CM^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$。
因为点C在第一象限，横坐标等于AM的长度，纵坐标等于CM的长度。
【答案】
点C的坐标为$(\frac{9}{5},\frac{12}{5})$
【知识点】
勾股定理，等面积法，点的坐标特征
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将直角三角形的性质与平面直角坐标系知识结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，灵活运用等面积法和勾股定理求出点到坐标轴的距离，解题时需注意结合点所在象限确定坐标的符号。
【难度系数】
0.7
要确定点C的坐标，需先求出点C到x轴、y轴的距离。首先观察图形，Rt△ABC中∠C为直角，斜边AB=5，直角边BC=4，第一步可利用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；其次过点C作x轴的垂线，垂线段长度就是点C的纵坐标，垂足到原点的距离就是点C的横坐标；再利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出垂线段的长度；最后在小直角三角形中用勾股定理求出垂足到原点的距离，结合点C在第一象限即可得到坐标。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
如
，过点C作CM⊥x轴于点M，CM即为AB边上的高。根据三角形面积计算公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC=\frac{1}{2}·AB·CM$，代入数值可得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×CM$，解得$CM=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在Rt△ACM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AC^2-CM^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$。
因为点C在第一象限，横坐标等于AM的长度，纵坐标等于CM的长度。
【答案】
点C的坐标为$(\frac{9}{5},\frac{12}{5})$
【知识点】
勾股定理，等面积法，点的坐标特征
【点评】
本题是数形结合的典型习题，将直角三角形的性质与平面直角坐标系知识结合考查，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，灵活运用等面积法和勾股定理求出点到坐标轴的距离，解题时需注意结合点所在象限确定坐标的符号。
【难度系数】
0.7
8. 如图3-5，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为(0,2)，点C的坐标为(4,0)。点A在x轴的负半轴上，连接AB，BC，△ABC的面积为6。
(1)求点A的坐标；
(2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，到达点A时停止，设点P的运动时间为t秒，连接PB，设△OBP的面积为S，用含t的式子表示S，并写出t的取值范围。
(1)求点A的坐标；
(2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，到达点A时停止，设点P的运动时间为t秒，连接PB，设△OBP的面积为S，用含t的式子表示S，并写出t的取值范围。
答案
8. 解:(1)设点A的坐标为(a,0),则OA=-a,
因为点B的坐标为(0,2),点C的坐标为(4,0),
所以OB=2,OC=4,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}OB·(OA+OC)=\frac{1}{2}×2×(-a+4)=6$,
解得-a=2,
所以a=-2,
所以点A的坐标为(-2,0)。
(2)当点P在线段OC(不包括点O)上运动时，
0≤t＜2,
由题意可知,CP=2t,OP=4-2t,
所以$S=\frac{1}{2}×OP×BO=\frac{1}{2}×(4-2t)×2=4-2t$;
当点P运动到点O时,△OBP不存在;
当点P在线段OA(不包括点O)上运动时，
即2＜t≤3,
由题意可知,CP=2t,OP=2t-4,
所以$S=\frac{1}{2}×OP×BO=\frac{1}{2}×(2t-4)×2=2t-4$。
综上所述,$S=\begin{cases}4-2t,0≤t＜2,\\2t-4,2＜t≤3。\end{cases}$
因为点B的坐标为(0,2),点C的坐标为(4,0),
所以OB=2,OC=4,
所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}OB·(OA+OC)=\frac{1}{2}×2×(-a+4)=6$,
解得-a=2,
所以a=-2,
所以点A的坐标为(-2,0)。
(2)当点P在线段OC(不包括点O)上运动时，
0≤t＜2,
由题意可知,CP=2t,OP=4-2t,
所以$S=\frac{1}{2}×OP×BO=\frac{1}{2}×(4-2t)×2=4-2t$;
当点P运动到点O时,△OBP不存在;
当点P在线段OA(不包括点O)上运动时，
即2＜t≤3,
由题意可知,CP=2t,OP=2t-4,
所以$S=\frac{1}{2}×OP×BO=\frac{1}{2}×(2t-4)×2=2t-4$。
综上所述,$S=\begin{cases}4-2t,0≤t＜2,\\2t-4,2＜t≤3。\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 求点A坐标时，已知A在x轴负半轴，纵坐标为0，可设其横坐标为$a(a＜0)$，则OA长度为$-a$。$△ ABC$的底为$AC$（长度等于$OA+OC$），高为点B到x轴的距离即OB的长度，结合已知的$△ ABC$面积，代入三角形面积公式列方程即可求出$a$，得到A的坐标。
(2) 先计算动点P的总运动时长：AC总长为$4-(-2)=6$，速度为2单位/秒，总运动时间为$6÷2=3$秒。分两种情况讨论：①点P在线段OC上（不含O点）时，OP长度为OC减去CP的长度（$CP=2t$），代入面积公式得到对应S的表达式，确定t的范围；②点P在线段OA上（不含O点）时，OP长度为CP减去OC的长度，代入面积公式得到对应表达式，确定t的范围，注意P在O点时$△ OBP$不存在，需排除$t=2$的情况。
【解析】
(1) 设点A的坐标为$(a,0)$，$\because$点A在x轴负半轴，$\therefore a＜0$，$OA=-a$。
已知$B(0,2)$，$C(4,0)$，$\therefore OB=2$，$OC=4$。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× OB× AC=\frac{1}{2}× OB×(OA+OC)$
代入$S_{△ ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}×2×(-a+4)=6$
化简得$-a+4=6$，解得$a=-2$。
$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$。
(2) 点P从C到A的总路程$AC=4-(-2)=6$，总运动时间为$6÷2=3$秒，运动过程中$CP=2t$。
①当点P在线段OC上（不包括点O）时，$0≤ t＜2$，此时$OP=OC-CP=4-2t$，
$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(4-2t)×2=4-2t$；
②当点P在O点时，O、B、P共线，$△ OBP$不存在，排除$t=2$；
③当点P在线段OA上（不包括点O）时，$2＜t≤3$，此时$OP=CP-OC=2t-4$，
$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(2t-4)×2=2t-4$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$；
(2) $\boldsymbol{S=\begin{cases}4-2t&(0≤ t＜2)\\2t-4&(2＜t≤3)\end{cases}}$
【知识点】
坐标系坐标求解、三角形面积计算、动点分类讨论
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何计算，解题核心是熟练运用三角形面积公式，处理动点问题时要根据点的位置合理分类，同时注意特殊位置下图形不存在的情况，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求点A坐标时，已知A在x轴负半轴，纵坐标为0，可设其横坐标为$a(a＜0)$，则OA长度为$-a$。$△ ABC$的底为$AC$（长度等于$OA+OC$），高为点B到x轴的距离即OB的长度，结合已知的$△ ABC$面积，代入三角形面积公式列方程即可求出$a$，得到A的坐标。
(2) 先计算动点P的总运动时长：AC总长为$4-(-2)=6$，速度为2单位/秒，总运动时间为$6÷2=3$秒。分两种情况讨论：①点P在线段OC上（不含O点）时，OP长度为OC减去CP的长度（$CP=2t$），代入面积公式得到对应S的表达式，确定t的范围；②点P在线段OA上（不含O点）时，OP长度为CP减去OC的长度，代入面积公式得到对应表达式，确定t的范围，注意P在O点时$△ OBP$不存在，需排除$t=2$的情况。
【解析】
(1) 设点A的坐标为$(a,0)$，$\because$点A在x轴负半轴，$\therefore a＜0$，$OA=-a$。
已知$B(0,2)$，$C(4,0)$，$\therefore OB=2$，$OC=4$。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× OB× AC=\frac{1}{2}× OB×(OA+OC)$
代入$S_{△ ABC}=6$得：
$\frac{1}{2}×2×(-a+4)=6$
化简得$-a+4=6$，解得$a=-2$。
$\therefore$点A的坐标为$(-2,0)$。
(2) 点P从C到A的总路程$AC=4-(-2)=6$，总运动时间为$6÷2=3$秒，运动过程中$CP=2t$。
①当点P在线段OC上（不包括点O）时，$0≤ t＜2$，此时$OP=OC-CP=4-2t$，
$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(4-2t)×2=4-2t$；
②当点P在O点时，O、B、P共线，$△ OBP$不存在，排除$t=2$；
③当点P在线段OA上（不包括点O）时，$2＜t≤3$，此时$OP=CP-OC=2t-4$，
$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(2t-4)×2=2t-4$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$；
(2) $\boldsymbol{S=\begin{cases}4-2t&(0≤ t＜2)\\2t-4&(2＜t≤3)\end{cases}}$
【知识点】
坐标系坐标求解、三角形面积计算、动点分类讨论
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查几何计算，解题核心是熟练运用三角形面积公式，处理动点问题时要根据点的位置合理分类，同时注意特殊位置下图形不存在的情况，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7
