二、拓展性作业
9. 综合与实践
【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$，若$x_1=x_2$，则$AB// y$轴，且线段$AB$的长度为$|y_1-y_2|$；若$y_1=y_2$，则$AB// x$轴，且线段$AB$的长度为$|x_1-x_2|$。
【知识应用】(1)若点$A(-1,1),B(2,1)$，则$AB// x$轴，$AB$的长度为。
【拓展延伸】我们规定:平面直角坐标系中,任意不重合的两点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$之间的折线距离为$d(M,N)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$。例如:图3-6①中,点$M(-1,1)$与点$N(1,-2)$之间的折线距离$d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5$。
【问题解决】(2)如图3-6②,已知$E(2,0)$,若$F(-1,-1)$,则$d(E,F)=$。
(3)如图3-6②,已知$E(2,0),G(1,t)$,若$d(E,G)=3$,则$t$的值为。
(4)如图3-6③,已知$E(2,0),H(0,2)$,点$P$是$△ EOH$的边上一点,若$d(E,P)=\sqrt{6}$,求点$P$的坐标。

图3-6

9. (1) 3
(2) 4
(3) ±2
(4) 解:符合条件的点P的坐标为$(0,\sqrt{6}-2)$或$(2-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$。

【分析】
(1) 第一问根据题目给出的平行于x轴的线段长度计算规则，直接计算两点横坐标差的绝对值即可。
(2) 第二问直接套用折线距离的定义公式，代入两点坐标计算即可。
(3) 第三问将两点坐标代入折线距离公式，得到含绝对值的方程，求解绝对值方程即可得到t的值。
(4) 第四问需分类讨论点P的位置：分别考虑P在△EOH的三条边OE、OH、HE上的情况，先设出对应边上点P的坐标，结合所在边的坐标取值范围，代入折线距离公式求解，排除不符合范围的解即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 已知$A(-1,1)$，$B(2,1)$，$AB// x$轴，根据公式$AB$的长度为$|x_1-x_2|=|-1-2|=3$。
(2) 根据折线距离定义，$E(2,0)$，$F(-1,-1)$，则$d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-1)|=3+1=4$。
(3) 把$E(2,0)$、$G(1,t)$代入折线距离公式得：$d(E,G)=|2-1|+|0-t|=1+|t|=3$，解得$|t|=2$，即$t=\pm2$。
(4) 分三种情况讨论：
① 当点P在OE边上时：OE边上的点纵坐标为0，设$P(x,0)$（$0≤ x≤2$），则$d(E,P)=|2-x|+|0-0|=2-x=\sqrt{6}$，解得$x=2-\sqrt{6}＜0$，不符合取值范围，舍去；
② 当点P在OH边上时：OH边上的点横坐标为0，设$P(0,y)$（$0≤ y≤2$），则$d(E,P)=|2-0|+|0-y|=2+y=\sqrt{6}$，解得$y=\sqrt{6}-2$，符合$0≤ y≤2$，此时$P(0,\sqrt{6}-2)$；
③ 当点P在HE边上时：先求HE的解析式，已知$H(0,2)$、$E(2,0)$，设解析式为$y=kx+b$，代入得$\begin{cases}b=2\\2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，即HE的解析式为$y=-x+2$（$0≤ x≤2$）。设$P(x,-x+2)$，则$d(E,P)=|2-x|+|0-(-x+2)|=(2-x)+(2-x)=4-2x=\sqrt{6}$，解得$x=2-\frac{\sqrt{6}}{2}$，代入解析式得$y=\frac{\sqrt{6}}{2}$，均符合取值范围，此时$P(2-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$。
综上，符合条件的点P坐标为$(0,\sqrt{6}-2)$或$(2-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$。
【答案】
(1) 3；(2) 4；(3) $\pm2$；(4) $(0,\sqrt{6}-2)$或$(2-\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$
【知识点】
坐标系距离计算，新定义运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义“折线距离”考查平面直角坐标系中点的坐标相关运算，解题关键是正确理解新定义公式，对位置不确定的点要注意分类讨论，同时要结合点所在的范围对解进行取舍，有效锻炼信息提取能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7

10.【背景材料】宋朝时，中国象棋就已经风靡全国，中国象棋棋子“马”移动的规则是沿着“日”字形的对角线移动（即走一个日字对角线为一步），俗称“马走日”。
【问题情境】如图3-7，给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系，假设棋盘中每个小正方形的边长都为1。
(1)若棋子“马”在图中点P处，写出它所在位置的坐标。
(2)马走一步可以选择的点最多有八个，故有“八面威风”之说。如果在要去的方向正前方相邻的位置有别的棋子挡住，马就无法走过去，俗称“蹩马腿”。如果点A和点B处有别的棋子，点P处的棋子“马”走了一步，写出此时棋子“马”所在位置的坐标。
(3)若“马”的位置在点C，为了到达点D，按棋子“马”移动的规则，请用坐标描述一种你认为合理的移动路线。
【拓展提升】定义：在棋盘上，棋子“马”从点A到点B，“马”走的最少步数称为A到B的“马步距离”，记作$d_{A→B}$。如图3-7，易知$d_{A→B}=2$。
(4)$d_{A→C}=$，$d_{A→D}=$。

图3-7

10. (1) 解:(2,1)。
(2) 解:(0,0)或(0,2)。
(3) 解:(5,3)→(6,1)→(7,3)→(5,2)→(7,1)。(路线不唯一)
(4) 2 4

【分析】
1. 第(1)问：根据平面直角坐标系中点的坐标确定方法，横坐标为点到y轴的水平距离（向右为正），纵坐标为点到x轴的垂直距离（向上为正），直接读取P点的横纵坐标即可。
2. 第(2)问：首先明确“马走日”的坐标变化规律：每走一步，坐标变化为(±1,±2)或(±2,±1)，先列出P点所有符合棋盘范围的可能落点；再结合“蹩马腿”的规则，排除被A、B挡住无法到达的点，剩余即为答案。
3. 第(3)问：先确定C、D两点的坐标，按照“马走日”的坐标变化规则，依次写出每一步的落点坐标，直到到达D点即可，路线不唯一。
4. 第(4)问：根据“马步距离”是最少步数的定义，尝试从A点出发构造到C、D点的最短路线，数出最少步数即可。
【解析】
(1) 观察平面直角坐标系，点P到y轴的距离为2，到x轴的距离为1，因此P点坐标为$(2,1)$。
(2) 已知P(2,1)，“马走日”的坐标变化为(±1,±2)或(±2,±1)，在棋盘范围内的初始可能落点有：(3,3)、(1,3)、(4,2)、(4,0)、(0,2)、(0,0)。
结合“蹩马腿”规则：A(2,2)在P的正上方相邻，挡住了向上走的路径，故(3,3)、(1,3)无法到达；B(3,1)在P的正右方相邻，挡住了向右走的路径，故(4,2)、(4,0)无法到达。
因此剩余可到达的点坐标为$(0,0)$或$(0,2)$。
(3) 已知C点坐标为(5,3)，D点坐标为(7,1)，按照马走日规则，一种合理路线如下：
第一步：(5,3)横坐标+1、纵坐标-2，得到(6,1)；
第二步：(6,1)横坐标+1、纵坐标+2，得到(7,3)；
第三步：(7,3)横坐标-2、纵坐标-1，得到(5,2)；
第四步：(5,2)横坐标+2、纵坐标-1，得到(7,1)，即到达D点。
（路线不唯一，只要每步符合马走日规则即可）
(4) ① 从A点到C点，最少仅需2步即可到达，因此$d_{A→C}=2$；
② 从A点到D点，最少需要4步即可到达，因此$d_{A→D}=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,1)}$
(2) $\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(0,2)}$
(3) 示例：$\boldsymbol{(5,3)\to(6,1)\to(7,3)\to(5,2)\to(7,1)}$（答案不唯一）
(4) $\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{4}$
【知识点】
点的坐标表示；坐标变换规律；新定义理解
【点评】
本题将中国象棋规则与平面直角坐标系知识结合，既考查了坐标的基本应用和变换规律，也需要结合规则分析实际问题，同时新定义“马步距离”考查了审题和知识迁移能力，趣味性和综合性较强。
【难度系数】
0.65