7. 如图3-3-5，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3,-3),B(-1,-2),C(-2,-1)。
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；
(3)若△ABC内部一点P(m,n)在△A₁B₁C₁中的对应点为P₁，在△A₂B₂C₂中的对应点为P₂，请直接写出点P₁,P₂的坐标。

图3-3-5

7. 解:(1)如答图3-3-2①，△A₁B₁C₁为所求作。
(2)如答图3-3-2②，△A₂B₂C₂为所求作。
(3)由(1)(2)可知$P_1(m,-n),P_2(-m,n)$。

【分析】
解决本题首先要牢记平面直角坐标系中轴对称的点的坐标变化规律：①关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。对于作图题，先求出△ABC三个顶点的对称点坐标，再在坐标系中描出对应点，最后顺次连接即可得到对称后的三角形；对于点P的对应点坐标，直接套用上述坐标变化规律就能得出结果。
【解析】
(1) 求△ABC各顶点关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称横坐标不变，纵坐标取相反数，因此A(-3,-3)的对称点A₁(-3,3)，B(-1,-2)的对称点B₁(-1,2)，C(-2,-1)的对称点C₁(-2,1)。在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 求△ABC各顶点关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称纵坐标不变，横坐标取相反数，因此A(-3,-3)的对称点A₂(3,-3)，B(-1,-2)的对称点B₂(1,-2)，C(-2,-1)的对称点C₂(2,-1)。在坐标系中依次描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接，即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 点P(m,n)关于x轴对称的对应点P₁，遵循横坐标不变，纵坐标取相反数的规律，因此P₁坐标为(m,-n)；关于y轴对称的对应点P₂，遵循纵坐标不变，横坐标取相反数的规律，因此P₂坐标为(-m,n)。
【答案】
(1)如答图3-3-2①，△A₁B₁C₁为所求作。
(2)如答图3-3-2②，△A₂B₂C₂为所求作。
(3)$P_1(m,-n),P_2(-m,n)$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征；轴对称作图
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查轴对称变换在平面直角坐标系中的应用，熟练掌握不同轴对称下的点的坐标变化规律是快速解题的核心，作图时需注意描点准确、连线规范。
【难度系数】
0.8

8. 如图3-3-6，解答下列问题：
(1)写出A，B，C三点的坐标。
(2)若$△ ABC$各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘－1，请你在同一平面直角坐标系中描出对应的点$A'$，$B'$，$C'$，并依次连接点$A'$，$B'$，$C'$，$A'$，所得的$△ A'B'C'$与$△ ABC$有怎样的位置关系？
(3)求$△ ABC$的面积。
(4)已知$P$为$x$轴上一点，若$△ BB'P$的面积是$△ ABC$的面积的3倍，请直接写出点$P$的坐标。

8. 解:(1)A,B,C三点的坐标分别是(3,4),(1,2),(5,1)。
(2)$△ A'B'C'$如答图3-3-3所示，$△ A'B'C'$与$△ ABC$的位置关系是关于x轴对称。
(3)$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×2=5$。
(4)点P的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$或$(\dfrac{17}{2},0)$。

【分析】
(1) 确定点的坐标时，分别过点向x轴、y轴作垂线，x轴上对应的数值为横坐标，y轴上对应的数值为纵坐标，即可读出A、B、C三点的坐标。
(2) 横坐标不变，纵坐标乘-1，即点的坐标由$(x,y)$变为$(x,-y)$，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可知变换后的图形与原图形关于x轴对称，按变换后的坐标描点连线即可得到$△ A'B'C'$。
(3) 网格中求不规则三角形的面积常用“割补法”：将三角形补成一个矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到$△ ABC$的面积。
(4) 先确定B、$B'$的坐标，算出$BB'$的长度，$△ BB'P$中$BB'$垂直于x轴，x轴上的点P到$BB'$的水平距离为$|x_P -1|$，根据面积关系列方程求解即可，注意P点可在$BB'$左侧或右侧，需分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：
点A对应x轴数值为3，y轴数值为4，故$A(3,4)$；
点B对应x轴数值为1，y轴数值为2，故$B(1,2)$；
点C对应x轴数值为5，y轴数值为1，故$C(5,1)$。
(2) 横坐标不变、纵坐标乘-1后，$A'(3,-4)$，$B'(1,-2)$，$C'(5,-1)$，描点依次连线得到$△ A'B'C'$。由于对应点横坐标相同、纵坐标互为相反数，因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$关于x轴对称。
(3) 将$△ ABC$补为长为4、宽为3的矩形，矩形面积为$3×4=12$，再减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×2=12-2-3-2=5$。
(4) 由$B(1,2)$、$B'(1,-2)$，可得$BB'=|2-(-2)|=4$，且$BB'$垂直于x轴。设$P(x,0)$，则P到直线$BB'$的距离为$|x-1|$。
由题意得$S_{△ BB'P}=3S_{△ ABC}=15$，即$\frac{1}{2}×4×|x-1|=15$，化简得$|x-1|=\frac{15}{2}$。
解得$x=1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}$或$x=1-\frac{15}{2}=-\frac{13}{2}$，即P点坐标为$(\frac{17}{2},0)$或$(-\frac{13}{2},0)$。
【答案】
(1)A,B,C三点的坐标分别是$(3,4),(1,2),(5,1)$。
(2)$△ A'B'C'$如答图3-3-3所示，$△ A'B'C'$与$△ ABC$的位置关系是关于x轴对称。
(3)$S_{△ ABC}=3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×2=5$。
(4)点P的坐标为$(-\dfrac{13}{2},0)$或$(\dfrac{17}{2},0)$。
【知识点】
点的坐标确定，轴对称的坐标变化，割补法求面积
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，涵盖坐标识别、图形对称变换、网格图形面积计算等知识点，最后一问结合分类讨论思想求解点的坐标，需注意避免漏解，整体侧重对基础知识和基本方法的考察。
【难度系数】
0.7

9. 如图 3-3-7,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ l $ 为第一、三象限的角平分线。点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点称为点 $ P $ 的一次反射点,记作 $ P_1 $; $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点称为点 $ P $ 的二次反射点,记作 $ P_2 $。例如,点$(-2,5)$的一次反射点为$(2,5)$,二次反射点为$(5,2)$。根据定义,回答下列问题:
(1)点$(1,3)$的一次反射点的坐标为,二次反射点的坐标为。
(2)当点 $ A $ 在第三象限时,点 $ M(-4,1) $, $ N(3,-1) $, $ Q(-1,-5) $中可以是点 $ A $ 的二次反射点的是。(填“M”“N”或“Q”)
(3)点 $ B $ 在第二象限,射线 $ OB $ 与 $ y $ 轴正半轴所夹锐角的度数为 $ 30° $,点 $ B_1,B_2 $分别是点 $ B $ 的一次、二次反射点,则 $ ∠ B_1OB_2 = $。

9. (1) (-1,3) (3,-1)
(2) M
(3) 30°

【分析】
解题需先明确两类反射的坐标变化规则：①一次反射是关于y轴对称，规律为横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；②二次反射是一次反射后的点再关于第一、三象限角平分线（即直线$y=x$）对称，规律为横、纵坐标互换。再结合各小问条件逐步推导：
(1) 直接套用两类反射的坐标规律计算即可；
(2) 先设第三象限内点$A$的坐标，推导其二反射点的坐标符号特征，再匹配给出的点即可；
(3) 结合轴对称的角度不变性质，分别确定$OB_1$、$OB_2$与坐标轴的夹角，再计算夹角差值即可。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此点$(1,3)$的一次反射点坐标为$(-1,3)$；
关于直线$y=x$对称的点横、纵坐标互换，因此$(-1,3)$关于直线$l$的对称点为$(3,-1)$，即二次反射点坐标为$(3,-1)$。
(2) 设第三象限的点$A$坐标为$(a,b)$，其中$a＜0$，$b＜0$：
一次反射点$A_1$坐标为$(-a,b)$，二次反射点$A_2$坐标为$(b,-a)$；
由$a＜0$得$-a＞0$，由$b＜0$可知$A_2$横坐标为负、纵坐标为正，即$A_2$在第二象限。
三个点中仅$M(-4,1)$在第二象限，因此可以是点$A$二次反射点的是$M$。
(3) 点$B$在第二象限，射线$OB$与y轴正半轴夹角为$30°$，则$OB$与x轴负半轴夹角为$90°-30°=60°$；
$B_1$是$B$关于y轴的对称点，因此$OB_1$与y轴正半轴夹角也为$30°$，即$OB_1$与x轴正半轴夹角为$60°$；
$B_2$是$B_1$关于直线$y=x$的对称点，对称后射线与x轴、y轴的夹角互换，因此$OB_2$与x轴正半轴夹角等于$OB_1$与y轴正半轴的夹角，即$30°$；
因此$∠ B_1OB_2=60°-30°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,3)}$；$\boldsymbol{(3,-1)}$
(2) $\boldsymbol{M}$
(3) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于一三象限角平分线对称的点的坐标特征；轴对称的性质
【点评】
本题以新定义为背景考查轴对称与坐标变化的综合应用，核心是准确理解反射的规则，熟练掌握对称变换下坐标、角度的变化规律，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

10. 如图3-3-8,在平面直角坐标系内,直线l过点M(3,0),且平行于y轴。
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴对称的图形是△A₁B₁C₁,△A₁B₁C₁关于直线l对称的图形是△A₂B₂C₂,写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中a＞0,点P关于y轴的对称点是P₁,点P₁关于直线l的对称点是P₂,求线段PP₂的长。(用含a的代数式表示)

10. 解:(1)因为A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),所以$A_1(2,0),B_1(1,0),C_1(1,2)$,所以$A_2(4,0),B_2(5,0),C_2(5,2)$。
(2)因为点P的坐标是(-a,0),且a＞0,点$P_1$与点P关于y轴对称,所以$P_1(a,0)$。
因为点$P_1$关于直线l的对称点是$P_2$,所以$P_2(6-a,0)$,因为$6-a＞-a$,所以$PP_2=6-a-(-a)=6$。

【分析】
本题考查轴对称变换下的坐标变化规律，解题可分步推进：
(1) 先依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”求出△A₁B₁C₁的顶点坐标；再依据“关于平行于y轴的直线x=m对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均值为m，即对称点横坐标=2m-原横坐标”，本题中直线l为x=3，即m=3，代入计算即可得到△A₂B₂C₂的顶点坐标。
(2) 同理先求出点P关于y轴对称的P₁的坐标，再求出P₁关于直线l对称的P₂的坐标，最后利用x轴上两点距离等于横坐标差（大数减小数）的规则计算PP₂的长度即可。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数：
已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，因此对称得到$A_1(2,0)$、$B_1(1,0)$、$C_1(1,2)$。
直线l为x=3，关于x=3对称的点纵坐标不变，横坐标满足：$\frac{\mathrm{原横坐标}+\mathrm{对称点横坐标}}{2}=3$，即对称点横坐标$=2×3-$原横坐标：
$A_2$横坐标为$6-2=4$，纵坐标为0，即$A_2(4,0)$；
$B_2$横坐标为$6-1=5$，纵坐标为0，即$B_2(5,0)$；
$C_2$横坐标为$6-1=5$，纵坐标为2，即$C_2(5,2)$。
(2) 点P(-a,0)（a＞0）关于y轴对称的点$P_1$，纵坐标不变，横坐标取相反数，得$P_1(a,0)$；
$P_1$关于直线l:x=3对称的点$P_2$，横坐标为$6-a$，纵坐标为0，即$P_2(6-a,0)$；
P和$P_2$均在x轴上，且$6-a＞-a$，因此$PP_2=(6-a)-(-a)=6$。
【答案】
(1) $A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$
(2) $6$
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化
2. 两点间距离计算
【点评】
本题是轴对称与坐标变化的基础应用题，核心是掌握不同对称方式对应的坐标变换规则，按照对称顺序分步求解即可，解题时可利用中点公式验证对称点坐标的正确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7