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一、基础性作业
1. 若点$M(2\ 024,-2\ 025)$与点$N$关于$x$轴对称，则点$N$的坐标为(
A.$(-2\ 024,2\ 025)$
B.$(2\ 024,-2\ 025)$
C.$(-2\ 024,-2\ 025)$
D.$(2\ 024,2\ 025)$
1. 若点$M(2\ 024,-2\ 025)$与点$N$关于$x$轴对称，则点$N$的坐标为(
D
)。A.$(-2\ 024,2\ 025)$
B.$(2\ 024,-2\ 025)$
C.$(-2\ 024,-2\ 025)$
D.$(2\ 024,2\ 025)$
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记关于x轴对称的点的坐标变化规律。首先明确：若两点关于x轴对称，它们的横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。接下来我们可以直接套用这个规律，根据已知点M的坐标，分别确定点N的横、纵坐标，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点M的坐标为$(2024,-2025)$，因此点N的横坐标与点M相同，为$2024$；
点N的纵坐标是$-2025$的相反数，即$-(-2025)=2025$。
所以点N的坐标为$(2024,2025)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对坐标轴对称的点的坐标变化规律的掌握，只要熟记对称对应的坐标变化规则，就能快速准确得出答案，是轴对称与坐标变化模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是牢记关于x轴对称的点的坐标变化规律。首先明确：若两点关于x轴对称，它们的横坐标保持不变，纵坐标互为相反数。接下来我们可以直接套用这个规律，根据已知点M的坐标，分别确定点N的横、纵坐标，最后匹配对应选项即可。
【解析】
根据关于x轴对称的点的坐标特征：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点M的坐标为$(2024,-2025)$，因此点N的横坐标与点M相同，为$2024$；
点N的纵坐标是$-2025$的相反数，即$-(-2025)=2025$。
所以点N的坐标为$(2024,2025)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对坐标轴对称的点的坐标变化规律的掌握，只要熟记对称对应的坐标变化规则，就能快速准确得出答案，是轴对称与坐标变化模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9
2. 在平面直角坐标系中，点$A(-1,4)$和$B(-1,-4)$关于(
A.$x$轴
B.$y$轴
C.原点
D.以上都不是
A
)对称。A.$x$轴
B.$y$轴
C.原点
D.以上都不是
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先观察两个点的坐标特征，回忆平面直角坐标系中不同对称方式对应的点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。再对比A、B两点的横、纵坐标的关系，对应规律即可判断对称方式。
【解析】
已知点A的坐标为$(-1,4)$，点B的坐标为$(-1,-4)$：
1. 对比横坐标：两点横坐标均为$-1$，横坐标相等；
2. 对比纵坐标：$4$和$-4$互为相反数；
结合对称点的坐标规律：横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称，因此A、B两点关于x轴对称，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，是坐标对称类的基础题型，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先观察两个点的坐标特征，回忆平面直角坐标系中不同对称方式对应的点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。再对比A、B两点的横、纵坐标的关系，对应规律即可判断对称方式。
【解析】
已知点A的坐标为$(-1,4)$，点B的坐标为$(-1,-4)$：
1. 对比横坐标：两点横坐标均为$-1$，横坐标相等；
2. 对比纵坐标：$4$和$-4$互为相反数；
结合对称点的坐标规律：横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称，因此A、B两点关于x轴对称，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标特征
3. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，是坐标对称类的基础题型，熟练掌握不同对称方式对应的坐标变化特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 图3-3-1是战机在空中展示的轴对称队形，以战机B，C所在直线为x轴，队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，若战机E的坐标为$(40,-35)$，则战机D的坐标为
图3-3-1
图3-3-2
(-40,-35)
。图3-3-1
图3-3-2
答案
3. (-40,-35)
解析
【分析】
首先根据题目给出的坐标系建立规则，队形对称轴为y轴，可知战机D与战机E关于y轴对称。接下来回忆关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，结合已知E的坐标即可推出D的坐标。
【解析】
解：由题意得，战机D与战机E关于y轴对称。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：两点纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知战机E的坐标为$(40,-35)$，则战机D的横坐标为$-40$，纵坐标为$-35$，即D的坐标为$(-40,-35)$。
【答案】
$(-40,-35)$
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 轴对称的性质
【点评】
本题是基础类题型，结合实际情境考查轴对称与坐标变化的相关知识，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先根据题目给出的坐标系建立规则，队形对称轴为y轴，可知战机D与战机E关于y轴对称。接下来回忆关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，结合已知E的坐标即可推出D的坐标。
【解析】
解：由题意得，战机D与战机E关于y轴对称。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：两点纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知战机E的坐标为$(40,-35)$，则战机D的横坐标为$-40$，纵坐标为$-35$，即D的坐标为$(-40,-35)$。
【答案】
$(-40,-35)$
【知识点】
1. 关于y轴对称的点的坐标特征
2. 轴对称的性质
【点评】
本题是基础类题型，结合实际情境考查轴对称与坐标变化的相关知识，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美。蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如图3-3-2所示，如果图中点E的坐标为(2m，－n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(m－6，n－2)，那么$(m-n)^{2025}$的值为
1
。答案
4. 1
解析
【分析】
解题的核心是掌握关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律列出关于m、n的方程，求解得到m、n的数值后，再代入待求式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 点E$(2m, -n)$与关于y轴对称的点F$(m-6, n-2)$坐标满足y轴对称点的特征
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}2m + (m - 6) = 0 \\ -n = n - 2 \end{cases}$
解第一个方程：
$3m - 6 = 0$
$3m = 6$，得$m=2$
解第二个方程：
$-2n = -2$，得$n=1$
将$m=2$，$n=1$代入$(m-n)^{2025}$：
$(2-1)^{2025}=1^{2025}=1$
【答案】
1
【知识点】
y轴对称点的坐标性质、解二元一次方程组、有理数乘方
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查轴对称的坐标相关知识，解题关键是熟练掌握对称点的坐标规律，通过列方程求解参数后代入计算，属于基础题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们可以根据这个规律列出关于m、n的方程，求解得到m、n的数值后，再代入待求式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 点E$(2m, -n)$与关于y轴对称的点F$(m-6, n-2)$坐标满足y轴对称点的特征
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}2m + (m - 6) = 0 \\ -n = n - 2 \end{cases}$
解第一个方程：
$3m - 6 = 0$
$3m = 6$，得$m=2$
解第二个方程：
$-2n = -2$，得$n=1$
将$m=2$，$n=1$代入$(m-n)^{2025}$：
$(2-1)^{2025}=1^{2025}=1$
【答案】
1
【知识点】
y轴对称点的坐标性质、解二元一次方程组、有理数乘方
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查轴对称的坐标相关知识，解题关键是熟练掌握对称点的坐标规律，通过列方程求解参数后代入计算，属于基础题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. 如图 3-3-3,在平面直角坐标系中,对△ABC进行从第1次到第4次的循环往复的轴对称变换,若点C坐标是(6,2),则经过第2026次变换后,点C的对应点的坐标为
(-6,-2)
。答案
5. (-6,-2)
解析
【分析】
解题时首先要掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，先依次计算点C经过前4次变换后的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数2026除以周期，根据余数即可确定第2026次变换后对应点的坐标。
【解析】
已知初始点C的坐标为(6,2)，根据坐标轴对称的坐标变化规则：
1. 第1次关于y轴对称：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为相反数，得坐标为(-6, 2)；
2. 第2次关于x轴对称：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，得坐标为(-6, -2)；
3. 第3次关于y轴对称：得坐标为(6, -2)；
4. 第4次关于x轴对称：得坐标为(6, 2)，回到初始坐标，可知每4次变换为一个循环周期。
计算2026除以周期4：$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明第2026次变换后点C的对应点坐标和第2次变换后的坐标一致。
【答案】
(-6,-2)
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化 2. 周期规律探究
【点评】
本题结合坐标轴对称变换考查规律探究问题，解题核心是先通过前几次变换找到循环周期，再结合余数判定最终坐标，能有效考查对坐标变换规律的掌握和规律探究能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标变化规律，先依次计算点C经过前4次变换后的坐标，找到变换的循环周期，再用总变换次数2026除以周期，根据余数即可确定第2026次变换后对应点的坐标。
【解析】
已知初始点C的坐标为(6,2)，根据坐标轴对称的坐标变化规则：
1. 第1次关于y轴对称：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为相反数，得坐标为(-6, 2)；
2. 第2次关于x轴对称：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，得坐标为(-6, -2)；
3. 第3次关于y轴对称：得坐标为(6, -2)；
4. 第4次关于x轴对称：得坐标为(6, 2)，回到初始坐标，可知每4次变换为一个循环周期。
计算2026除以周期4：$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明第2026次变换后点C的对应点坐标和第2次变换后的坐标一致。
【答案】
(-6,-2)
【知识点】
1. 轴对称的坐标变化 2. 周期规律探究
【点评】
本题结合坐标轴对称变换考查规律探究问题，解题核心是先通过前几次变换找到循环周期，再结合余数判定最终坐标，能有效考查对坐标变换规律的掌握和规律探究能力。
【难度系数】
0.7
6. 劳动课上,同学们制作传统玩具——风筝,小宇利用计算机网格绘制风筝骨架(四边形ABCD)的左半部分(如图 3-3-4),点 A,B,C 的坐标分别为$(0,4),(-4,0),(0,-2)$,风筝骨架整体关于 y 轴对称。
(1)补全四边形 ABCD,点 B 的对称点 D 的坐标是
(2)如图 3-3-4,E 为 AB 的中点,在 y 轴上找一点 P,沿着 BP 和 EP 安装支撑木条,当两条支撑木条长度之和最短时,求 $BP+EP$ 的值。
图 3-3-4
(1)补全四边形 ABCD,点 B 的对称点 D 的坐标是
(4,0)
;(2)如图 3-3-4,E 为 AB 的中点,在 y 轴上找一点 P,沿着 BP 和 EP 安装支撑木条,当两条支撑木条长度之和最短时,求 $BP+EP$ 的值。
图 3-3-4
答案
6. 解:(1)补全四边形ABCD如答图3-3-1所示：点B的对称点D的坐标是(4,0)。
(2)如答图3-3-1，由题意得，点E在格点上，连接DE交y轴于点P，此时BP+EP的值最小，且最小值为$DE=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。已知点B坐标为$(-4,0)$，直接套用规律就能得到对称点D的坐标，再依次连接AD、DC即可补全四边形ABCD。
(2) 解题思路：这是典型的将军饮马最短路径问题，因为B和D关于y轴对称，因此y轴上任意一点P到B的距离等于到D的距离，即$BP=DP$，因此$BP+EP=DP+EP$。根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，$DP+EP$的值最小，最小值就是线段DE的长度。先求出AB中点E的坐标，再用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同。
已知点B坐标为$(-4,0)$，因此它的对称点D的横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标为0，即$D(4,0)$。
补全四边形：连接AD、CD，得到的四边形ABCD即为所求。
(2) 先求点E的坐标：已知$A(0,4)$，$B(-4,0)$，E是AB的中点，可得E的横坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$E(-2,2)$。
因为B、D关于y轴对称，所以对y轴上任意点P都有$BP=DP$，因此$BP+EP=DP+EP$。
根据两点之间线段最短，当P为DE与y轴的交点时，$DP+EP$取最小值，最小值为DE的长度。
E点坐标$(-2,2)$，D点坐标$(4,0)$，两点水平距离为$4-(-2)=6$，竖直距离为$2-0=2$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
即$BP+EP$的最小值为$2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) $(4,0)$，补全图形如答图：
(2) $BP+EP$的值为$2\sqrt{10}$
【知识点】
轴对称的坐标性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题结合实际应用场景，既考查了基础的对称点坐标规律，又考查了将军饮马模型的转化思路和坐标下线段长度的计算方法，是轴对称章节的典型题型，解题的核心是利用轴对称将两条线段和的问题转化为两点之间线段最短的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先回忆关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。已知点B坐标为$(-4,0)$，直接套用规律就能得到对称点D的坐标，再依次连接AD、DC即可补全四边形ABCD。
(2) 解题思路：这是典型的将军饮马最短路径问题，因为B和D关于y轴对称，因此y轴上任意一点P到B的距离等于到D的距离，即$BP=DP$，因此$BP+EP=DP+EP$。根据两点之间线段最短，当D、P、E三点共线时，$DP+EP$的值最小，最小值就是线段DE的长度。先求出AB中点E的坐标，再用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相同。
已知点B坐标为$(-4,0)$，因此它的对称点D的横坐标为$-(-4)=4$，纵坐标为0，即$D(4,0)$。
补全四边形：连接AD、CD，得到的四边形ABCD即为所求。
(2) 先求点E的坐标：已知$A(0,4)$，$B(-4,0)$，E是AB的中点，可得E的横坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{4+0}{2}=2$，即$E(-2,2)$。
因为B、D关于y轴对称，所以对y轴上任意点P都有$BP=DP$，因此$BP+EP=DP+EP$。
根据两点之间线段最短，当P为DE与y轴的交点时，$DP+EP$取最小值，最小值为DE的长度。
E点坐标$(-2,2)$，D点坐标$(4,0)$，两点水平距离为$4-(-2)=6$，竖直距离为$2-0=2$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$
即$BP+EP$的最小值为$2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) $(4,0)$，补全图形如答图：
(2) $BP+EP$的值为$2\sqrt{10}$
【知识点】
轴对称的坐标性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题结合实际应用场景，既考查了基础的对称点坐标规律，又考查了将军饮马模型的转化思路和坐标下线段长度的计算方法，是轴对称章节的典型题型，解题的核心是利用轴对称将两条线段和的问题转化为两点之间线段最短的问题。
【难度系数】
0.7
