7. 如图 3-2-17,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 D 为 BC 的中点。
(1)请在图中画出一个平面直角坐标系;
(2)建立平面直角坐标系后,求点 D 和点 A的坐标;
(3)求$△ ABC$的面积。

7. 解:(1)如。(答案不唯一)
(2)因为点 $D$ 为原点,
所以点 $D$ 的坐标为 $(0,0)$。
因为 $BC=6$,点 $D$ 为 $BC$ 的中点,
所以 $BD=3$,
因为 $AB=AC=5$,
所以 $AD=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
所以点 $A$ 的坐标为 $(0,4)$。
(3)$S_{△ ABC}=\frac{AD× BC}{2}=\frac{4× 6}{2}=12$。

【分析】
(1) 建立平面直角坐标系时可利用图形的对称性简化计算，本题等腰△ABC中AD是对称轴，因此选点D为原点，BC所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建系最简便，建系方式合理即可，答案不唯一。
(2) 求坐标时先确定原点D的坐标，再根据中点性质求出BD的长度，结合等腰三角形“三线合一”可得AD⊥BC，最后用勾股定理求出AD的长度，即可得到点A的坐标。
(3) 求△ABC的面积时，以BC为底、AD为高，直接代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，建系方式合理即可。
(2) 由坐标系的建立规则，原点D的坐标为$(0,0)$；
∵ 点D是BC的中点，BC=6，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=3$，
又
∵ AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD⊥ BC$，
在$Rt△ ABD$中，AB=5，BD=3，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
点A在y轴正半轴上，因此点A的坐标为$(0,4)$。
(3) △ABC的底BC=6，底边BC上的高AD=4，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
(1)如。(答案不唯一)
(2)点D的坐标为$(0,0)$，点A的坐标为$(0,4)$
(3)$△ ABC$的面积为12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与等腰三角形结合的基础题，选择合理的建系方式可以大幅简化坐标的计算过程，解题时要熟练运用等腰三角形三线合一、勾股定理等性质求解线段长度，掌握基础的几何量计算方法。
【难度系数】
0.8

8. 根据雷达探测区域，可以建立平面直角坐标系表示位置。如图3-2-18，在某次行动中，当我方两架飞机分别在$A(-1,2)$与$B(3,2)$的位置时，可疑飞机在$(-1,-3)$的位置，你能找到这个直角坐标系的横轴和纵轴的位置吗？把它们表示出来并确定可疑飞机的位置。

8. 解:如所示,点 $C$ 即为可疑飞机的位置。

【分析】
解题时首先观察已知两点A、B的坐标特征：二者纵坐标相同，说明AB连线平行于x轴，且两点纵坐标为2，说明AB在x轴上方2个单位长度处；两点横坐标差为4，可先确定单位长度。接着根据A点横坐标为-1，可确定y轴在A点右侧1个单位的位置，与AB垂直；再根据AB的y值为2，确定x轴在AB下方2个单位的位置，两轴交点即为原点，最终建立坐标系后，根据可疑飞机的坐标(-1,-3)即可定位其位置。
【解析】
步骤1：分析已知点坐标特征：已知$A(-1,2)$、$B(3,2)$，两点纵坐标相等，因此直线$AB// x$轴，$AB$的长度为$3-(-1)=4$，据此确定坐标系的单位长度。
步骤2：确定纵轴（y轴）：x=0的位置在A点右侧1个单位长度处，过该点作垂直于AB的直线，向上为y轴正方向，即为纵轴。
步骤3：确定横轴（x轴）：y=0的位置在直线AB下方2个单位长度处，该直线与y轴交于原点O，向右为x轴正方向，即为横轴。
步骤4：定位可疑飞机：可疑飞机坐标为$(-1,-3)$，横坐标为-1与A点相同，说明在过A点且平行于y轴的直线上；纵坐标为-3，说明在x轴下方3个单位长度处，标记该点为C，即为可疑飞机的位置。
【答案】
如所示,点 $C$ 即为可疑飞机的位置。
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标特征；坐标确定位置
【点评】
本题考查利用已知点坐标建立平面直角坐标系并定位未知点的能力，解题核心是抓住横坐标或纵坐标相同的点的连线与坐标轴平行的特征，先确定单位长度和坐标轴位置，再根据坐标定位未知点，是对坐标系基础应用的考查。
【难度系数】
0.7

二、拓展性作业
9. 为了更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园要对园内的4棵百年古树利用平面直角坐标系确定位置，并且定期巡视。
（1）请在如图3-2-19所示的正方形网格中建立平面直角坐标系$xOy$，使得古树$A$，$B$的位置分别表示为$(2,1)$，$(5,5)$。
（2）在（1）建立的平面直角坐标系$xOy$中。
①表示古树$C$的位置的坐标为，标出古树$E(4,-1)$的位置。
②现需要在沿$y$轴的道路某点$P$处向古树$A$，$B$修建两条步道，使得点$P$到古树$A$，$B$的距离之和最小。请在网格中画出点$P$（保留作图痕迹，不写作图过程），该距离之和的最小值为。

9. 解:(1)建立平面直角坐标系如。
(2)①$C(-2,2)$ 如,点 $E$ 即为所求。
②如,点 $P$ 即为所求。
$\sqrt{65}$

【分析】
1. 建立坐标系：已知A(2,1)、B(5,5)，从点A向左平移2个单位、向下平移1个单位的位置即为坐标原点O，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，即可得到符合要求的平面直角坐标系。
2. 求点C坐标与标注E：根据点的坐标定义，横坐标为点到y轴的水平距离（左负右正），纵坐标为点到x轴的竖直距离（下负上正），可直接读出C的坐标，再按E的坐标找到对应位置标注即可。
3. 求最短路径：要找y轴上点P到A、B距离之和最小，属于轴对称最短路径问题，作A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质PA=PA'，则PA+PB=PA'+PB，根据两点之间线段最短，连接A'B与y轴的交点即为P，再用勾股定理计算A'B的长度就是距离之和的最小值。
【解析】
（1）将点A向左移动2格、向下移动1格得到原点O，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，如所示。
（2）①观察坐标系中C的位置：C在y轴左侧2个单位，x轴上方2个单位，因此C的坐标为$(-2,2)$；在坐标系中找到横坐标为4、纵坐标为-1的位置标注为E，如所示。
②作点A关于y轴的对称点$A'(-2,1)$，连接$A'B$，与y轴的交点即为所求点P，如所示。
计算$A'B$长度：$A'$和B的水平差为$5-(-2)=7$，竖直差为$5-1=4$，由勾股定理得$A'B=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$，即距离之和的最小值为$\sqrt{65}$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系如。
(2) ①$\boldsymbol{(-2,2)}$，点E位置如；
②点P位置如，距离之和最小值为$\boldsymbol{\sqrt{65}}$。
【知识点】
平面直角坐标系，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查平面直角坐标系的应用和最短路径的求解，解题关键是掌握用轴对称转化线段的方法，会用勾股定理计算坐标系中两点的距离，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7

10. 如图3-2-20，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6)，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路径移动。
(1)当点P移动了4 s时，描出此时点P的位置，并求出点P的坐标；
(2)在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求点P移动的时间。

10. 解:(1)画图略,点 $P$ 的坐标为 $(2,6)$。
(2)①当点 $P$ 在线段 $OC$ 上时,如①。
因为 $△ OBP$ 的面积为 10,
所以 $\frac{1}{2}OP· BC=10$,即 $\frac{1}{2}× 4× OP=10$,
解得 $OP=5,5÷ 2=\frac{5}{2}(\mathrm{s})$。
②当点 $P$ 在线段 $CB$ 上时,如②。
因为 $△ OBP$ 的面积为 10,
所以 $\frac{1}{2}PB· OC=10$,即 $\frac{1}{2}× 6× PB=10$,
解得 $PB=\frac{10}{3}$,所以 $CP=\frac{2}{3}$,
$(6+\frac{2}{3})÷ 2=\frac{10}{3}(\mathrm{s})$。
③当点 $P$ 在线段 $BA$ 上时,如③。
因为 $△ OBP$ 的面积为 10,
所以 $\frac{1}{2}BP· BC=10$,即 $\frac{1}{2}× 4× BP=10$,
解得 $BP=5$,
$(6+4+5)÷ 2=\frac{15}{2}(\mathrm{s})$。
④当点 $P$ 在线段 $OA$ 上时,如④。
因为 $△ OBP$ 的面积为 10,
所以 $\frac{1}{2}OP· AB=10$,即 $\frac{1}{2}× 6× OP=10$,
解得 $OP=\frac{10}{3}$,所以 $PA=\frac{2}{3}$,
$(6+4+6+\frac{2}{3})÷ 2=\frac{25}{3}(\mathrm{s})$。
综上所述,点 $P$ 移动的时间为 $\frac{5}{2}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{10}{3}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{15}{2}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{25}{3}\ \mathrm{s}$。

【分析】
(1) 先根据速度和移动时间算出点P的总路程，再结合长方形各边长度判断点P所在的线段：已知点P速度为每秒2个单位，移动4秒总路程为$2×4=8$，OC长度为6，说明点P过C点后在CB段移动了$8-6=2$个单位，CB段点的纵坐标和C点一致为6，横坐标为移动的距离2，即可确定坐标。
(2) 点P沿4条线段移动，不同线段上△OBP的底和高不同，因此分4种情况讨论：①P在OC上；②P在CB上；③P在BA上；④P在OA上。每种情况结合长方形边长，用三角形面积公式列方程求出P移动的总路程，再除以速度得到对应的移动时间，避免漏解。
【解析】
(1) 点P的运动速度为2单位/秒，移动4s的总路程为：$2 × 4 = 8$
由长方形OABC中A(4,0)、C(0,6)可得：$OC=AB=6$，$OA=BC=4$
因为$8＞6$，说明点P走完OC段后，在CB段移动的距离为$8-6=2$
CB段所有点纵坐标均为6，横坐标为移动的距离2，因此点P坐标为$(2,6)$。
(2) 分四种情况讨论：
① 当点P在线段OC上时，如①：
△OBP以OP为底，BC的长度为高，由面积为10列方程：
$\frac{1}{2} · OP · BC = 10$，代入BC=4得：$\frac{1}{2} × 4 × OP =10$
解得$OP=5$，移动时间为$5 ÷ 2 = \frac{5}{2}\ (\mathrm{s})$。
② 当点P在线段CB上时，如②：
△OBP以PB为底，OC的长度为高，由面积为10列方程：
$\frac{1}{2} · PB · OC =10$，代入OC=6得：$\frac{1}{2} ×6 × PB=10$
解得$PB=\frac{10}{3}$，则P移动的总路程为$OC + CP = 6 + (4 - \frac{10}{3}) = 6 + \frac{2}{3}$
移动时间为$(6 + \frac{2}{3}) ÷ 2 = \frac{10}{3}\ (\mathrm{s})$。
③ 当点P在线段BA上时，如③：
△OBP以BP为底，BC的长度为高，由面积为10列方程：
$\frac{1}{2} · BP · BC =10$，代入BC=4得：$\frac{1}{2} ×4 × BP=10$
解得$BP=5$，则P移动的总路程为$OC + CB + BP =6 +4 +5=15$
移动时间为$15 ÷2 = \frac{15}{2}\ (\mathrm{s})$。
④ 当点P在线段OA上时，如④：
△OBP以OP为底，AB的长度为高，由面积为10列方程：
$\frac{1}{2} · OP · AB =10$，代入AB=6得：$\frac{1}{2} ×6 × OP=10$
解得$OP=\frac{10}{3}$，则P移动的总路程为$OC + CB + BA + AP =6 +4 +6 + (4 - \frac{10}{3})= \frac{50}{3}$
移动时间为$\frac{50}{3} ÷2 = \frac{25}{3}\ (\mathrm{s})$。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$；
(2) 点P移动的时间为$\boldsymbol{\frac{5}{2}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{10}{3}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{15}{2}\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{\frac{25}{3}\ \mathrm{s}}$。
【知识点】
动点分类讨论，坐标确定，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与动点、几何面积结合的典型题，核心是根据动点所在的不同线段分类讨论，准确对应三角形的底和高计算面积，能有效锻炼数形结合思维和思维的严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6