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二、拓展性作业
9. 阅读下列材料，解答下面的问题。
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$ $\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ $\begin{cases} x=4, \\ y=0.5, \end{cases}$…都是方程$x+2y=5$的解，在解决实际问题时只需求出符合条件的解即可。
例如，求$2x+5y=24$的正整数解。
解：由$2x+5y=24$，得$y=\dfrac{24-2x}{5}$，因为$x$，$y$为正整数，运用尝试法可以知道，方程$2x+5y=24$的正整数解为$\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=7, \\ y=2 \end{cases}$。
问题：
(1)求方程$2x+3y=16$的正整数解。
(2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特地貌进行观测研究。活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天。请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明。
9. 阅读下列材料，解答下面的问题。
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \end{cases}$ $\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ $\begin{cases} x=4, \\ y=0.5, \end{cases}$…都是方程$x+2y=5$的解，在解决实际问题时只需求出符合条件的解即可。
例如，求$2x+5y=24$的正整数解。
解：由$2x+5y=24$，得$y=\dfrac{24-2x}{5}$，因为$x$，$y$为正整数，运用尝试法可以知道，方程$2x+5y=24$的正整数解为$\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$或$\begin{cases} x=7, \\ y=2 \end{cases}$。
问题：
(1)求方程$2x+3y=16$的正整数解。
(2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特地貌进行观测研究。活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天。请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明。
答案
9. 解:(1)由 $2x+3y=16$,
得 $x=8-\dfrac{3}{2}y$。
因为 $x,y$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$。
(2)最为合理的住宿方案是两人间住2间,三人间住4间。
理由:$140÷2=70$(元/人),$180÷3=60$(元/人),因为$70＞60$,
所以三人间的人均费用低。
分两种情况讨论:
①$9÷3=3$(间),$7÷3=2$(间)……1(人),两人间1间,三人间5间,所需费用为$5×180+1×140=1\ 040$(元)。
②女生7人,设两人间住 $m$ 间,三人间住 $n$ 间。
由题意得 $2m+3n=7$,
因为 $m,n$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases} m=2, \\ n=1, \end{cases}$
所以 $n+3=4$,
即两人间2间,三人间4间,所需费用为 $4×180+2×140=1\ 000$(元)。
因为 $1\ 040＞1\ 000$,
所以最为合理的住宿方案是两人间住2间,三人间住4间。
得 $x=8-\dfrac{3}{2}y$。
因为 $x,y$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$。
(2)最为合理的住宿方案是两人间住2间,三人间住4间。
理由:$140÷2=70$(元/人),$180÷3=60$(元/人),因为$70＞60$,
所以三人间的人均费用低。
分两种情况讨论:
①$9÷3=3$(间),$7÷3=2$(间)……1(人),两人间1间,三人间5间,所需费用为$5×180+1×140=1\ 040$(元)。
②女生7人,设两人间住 $m$ 间,三人间住 $n$ 间。
由题意得 $2m+3n=7$,
因为 $m,n$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases} m=2, \\ n=1, \end{cases}$
所以 $n+3=4$,
即两人间2间,三人间4间,所需费用为 $4×180+2×140=1\ 000$(元)。
因为 $1\ 040＞1\ 000$,
所以最为合理的住宿方案是两人间住2间,三人间住4间。
解析
【分析】
(1) 求解二元一次方程的正整数解时，先将方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再结合“正整数”的限制条件确定未知数的取值范围，代入验证即可得到符合要求的解。
(2) 最合理的住宿方案即总费用最低的方案，首先计算两种房型的人均费用，确定优先选择人均成本更低的三人间；同时需注意住宿时男女需分开安排，因此分别对男生、女生的住宿方案进行讨论，计算不同方案的总费用后对比，选择费用最低的方案即可。
【解析】
(1) 对方程$2x+3y=16$变形，得：
$x=\dfrac{16-3y}{2}=8-\dfrac{3}{2}y$
因为$x$、$y$均为正整数，所以$\dfrac{3}{2}y$必须为整数，且$x＞0$，即$8-\dfrac{3}{2}y＞0$，解得$y＜\dfrac{16}{3}\approx5.3$。
因此$y$为小于6的正偶数，可取2、4：
当$y=2$时，$x=8-\dfrac{3}{2}×2=5$；
当$y=4$时，$x=8-\dfrac{3}{2}×4=2$。
(2) 首先计算两种房型的人均费用：
两人间人均费用：$140÷2=70$（元/人）
三人间人均费用：$180÷3=60$（元/人）
因为$70＞60$，所以三人间人均费用更低，优先选择三人间，且男女需分开住宿，分情况讨论：
① 男生共9人，$9÷3=3$（间），刚好住满3间三人间；女生共7人，若优先住三人间，$7÷3=2$（间）$\dots\dots1$（人），剩余1人住1间两人间，总费用为：
$5×180+1×140=1040$（元）
② 设女生住$m$间两人间、$n$间三人间，列方程得$2m+3n=7$（$m$、$n$均为非负整数），解得正整数解为$\begin{cases} m=2, \\ n=1 \end{cases}$，此时女生刚好住满无空位，总房间数为三人间$3+1=4$间、两人间2间，总费用为：
$4×180+2×140=1000$（元）
对比得$1000＜1040$，因此方案②更合理。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$
(2) 最为合理的住宿方案是两人间住2间，三人间住4间。
【知识点】
二元一次方程的正整数解，方案优化设计，二元一次方程的应用
【点评】
本题将二元一次方程的知识与生活实际结合，既考查了二元一次方程整数解的求解能力，又考查了用数学知识解决实际问题的应用意识，解题时需注意实际问题的隐含限制条件（如男女分开住宿、房间数为非负整数等），避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解二元一次方程的正整数解时，先将方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再结合“正整数”的限制条件确定未知数的取值范围，代入验证即可得到符合要求的解。
(2) 最合理的住宿方案即总费用最低的方案，首先计算两种房型的人均费用，确定优先选择人均成本更低的三人间；同时需注意住宿时男女需分开安排，因此分别对男生、女生的住宿方案进行讨论，计算不同方案的总费用后对比，选择费用最低的方案即可。
【解析】
(1) 对方程$2x+3y=16$变形，得：
$x=\dfrac{16-3y}{2}=8-\dfrac{3}{2}y$
因为$x$、$y$均为正整数，所以$\dfrac{3}{2}y$必须为整数，且$x＞0$，即$8-\dfrac{3}{2}y＞0$，解得$y＜\dfrac{16}{3}\approx5.3$。
因此$y$为小于6的正偶数，可取2、4：
当$y=2$时，$x=8-\dfrac{3}{2}×2=5$；
当$y=4$时，$x=8-\dfrac{3}{2}×4=2$。
(2) 首先计算两种房型的人均费用：
两人间人均费用：$140÷2=70$（元/人）
三人间人均费用：$180÷3=60$（元/人）
因为$70＞60$，所以三人间人均费用更低，优先选择三人间，且男女需分开住宿，分情况讨论：
① 男生共9人，$9÷3=3$（间），刚好住满3间三人间；女生共7人，若优先住三人间，$7÷3=2$（间）$\dots\dots1$（人），剩余1人住1间两人间，总费用为：
$5×180+1×140=1040$（元）
② 设女生住$m$间两人间、$n$间三人间，列方程得$2m+3n=7$（$m$、$n$均为非负整数），解得正整数解为$\begin{cases} m=2, \\ n=1 \end{cases}$，此时女生刚好住满无空位，总房间数为三人间$3+1=4$间、两人间2间，总费用为：
$4×180+2×140=1000$（元）
对比得$1000＜1040$，因此方案②更合理。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=4 \end{cases}$
(2) 最为合理的住宿方案是两人间住2间，三人间住4间。
【知识点】
二元一次方程的正整数解，方案优化设计，二元一次方程的应用
【点评】
本题将二元一次方程的知识与生活实际结合，既考查了二元一次方程整数解的求解能力，又考查了用数学知识解决实际问题的应用意识，解题时需注意实际问题的隐含限制条件（如男女分开住宿、房间数为非负整数等），避免漏解错解。
【难度系数】
0.7
10. 如图5-1-2，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地。已知公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，则这批产品的销售额比原料费和运费的和多多少元？
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：$\begin{cases}1.5(20x + 10y)= \\1.2(110x + 120y)= \end{cases}$
乙：$\begin{cases}1.5(20× \dfrac{x}{8000}+10× \dfrac{y}{1000})= \\1.2(110× \dfrac{x}{8000}+120× \dfrac{y}{1000})= \end{cases}$
根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边补全甲、乙两名同学所列方程组。
甲：x表示
乙：x表示
(2)甲同学根据他所列方程组解得$x=300$，请你帮他解出$y$的值，并解决该实际问题。
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：$\begin{cases}1.5(20x + 10y)= \\1.2(110x + 120y)= \end{cases}$
乙：$\begin{cases}1.5(20× \dfrac{x}{8000}+10× \dfrac{y}{1000})= \\1.2(110× \dfrac{x}{8000}+120× \dfrac{y}{1000})= \end{cases}$
根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在等式右边补全甲、乙两名同学所列方程组。
甲：x表示
产品的质量
，y表示原料的质量
；乙：x表示
产品销售额
，y表示原料费
。(2)甲同学根据他所列方程组解得$x=300$，请你帮他解出$y$的值，并解决该实际问题。
答案
10. 解:(1)产品的质量 原料的质量
产品销售额 原料费
甲:$\begin{cases} 1.5(20x+10y)=15\ 000, \\ 1.2(110x+120y)=97\ 200, \end{cases}$
乙:$\begin{cases} 1.5(20×\dfrac{x}{8\ 000}+10×\dfrac{y}{1\ 000})=15\ 000, \\ 1.2(110×\dfrac{x}{8\ 000}+120×\dfrac{y}{1\ 000})=97\ 200。 \end{cases}$
(2)将 $x=300$ 代入原方程组,解得 $y=400$,
所以产品销售额为 $300×8\ 000=2\ 400\ 000$(元),
原料费为 $400×1\ 000=400\ 000$(元)。
因为运费为 $15\ 000+97\ 200=112\ 200$(元),
所以 $2\ 400\ 000-(400\ 000+112\ 200)=1\ 887\ 800$(元)。
答:这批产品的销售额比原料费和运费的和多1 887 800元。
产品销售额 原料费
甲:$\begin{cases} 1.5(20x+10y)=15\ 000, \\ 1.2(110x+120y)=97\ 200, \end{cases}$
乙:$\begin{cases} 1.5(20×\dfrac{x}{8\ 000}+10×\dfrac{y}{1\ 000})=15\ 000, \\ 1.2(110×\dfrac{x}{8\ 000}+120×\dfrac{y}{1\ 000})=97\ 200。 \end{cases}$
(2)将 $x=300$ 代入原方程组,解得 $y=400$,
所以产品销售额为 $300×8\ 000=2\ 400\ 000$(元),
原料费为 $400×1\ 000=400\ 000$(元)。
因为运费为 $15\ 000+97\ 200=112\ 200$(元),
所以 $2\ 400\ 000-(400\ 000+112\ 200)=1\ 887\ 800$(元)。
答:这批产品的销售额比原料费和运费的和多1 887 800元。
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组在运输费用问题中的实际应用，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，需对比甲、乙两个方程组的结构，分析未知数对应的数量关系：甲的方程组中x、y直接与运输里程相乘，说明x、y代表质量，其中x对应运到B地的产品质量，y对应从A地运入的原料质量，等式右边对应题干给出的公路、铁路总运费；乙的方程组中x除以8000（产品单价）、y除以1000（原料单价），得到的是质量，因此x代表产品总销售额，y代表原料总费用，等式右边同样对应总运费。
2. 解决第(2)问时，将甲给出的x=300代入他的方程组，先求出y的值，再分别计算销售额、原料费、总运费，最后用销售额减去原料费与运费的总和即可得到结果。
【解析】
(1) 甲的方程组中，1.5是公路运价，20x是x吨产品从工厂到B地的公路运输吨·千米数，10y是y吨原料从A地到工厂的公路运输吨·千米数，两者之和乘运价就是总公路运费15000元；铁路运输部分同理对应总铁路运费97200元，因此甲的x表示产品的质量，y表示原料的质量，方程组补全为：
$\begin{cases}1.5(20x + 10y)=15000 \\1.2(110x + 120y)=97200 \end{cases}$
乙的方程组中，产品单价为8000元/吨，因此$\frac{x}{8000}$是产品质量，原料单价1000元/吨，$\frac{y}{1000}$是原料质量，代入运费计算式后等式右边对应总运费，因此乙的x表示产品销售额，y表示原料费，方程组补全为：
$\begin{cases}1.5(20× \dfrac{x}{8000}+10× \dfrac{y}{1000})=15000 \\1.2(110× \dfrac{x}{8000}+120× \dfrac{y}{1000})=97200 \end{cases}$
(2) 将$x=300$代入甲的第一个方程$1.5(20×300 + 10y)=15000$：
化简得：$1.5×(6000 + 10y)=15000$
两边同除以1.5得：$6000 + 10y = 10000$
解得：$y=400$。
再计算相关费用：
产品销售额：$300×8000=2400000$元
原料费：$400×1000=400000$元
总运费：$15000 + 97200=112200$元
所求差值为：$2400000 - (400000 + 112200)=1887800$元。
【答案】
(1) 产品的质量；原料的质量；产品销售额；原料费
甲：$\begin{cases} 1.5(20x+10y)=15\ 000, \\ 1.2(110x+120y)=97\ 200, \end{cases}$
乙：$\begin{cases}1.5(20×\dfrac{x}{8\ 000}+10×\dfrac{y}{1\ 000})=15\ 000, \\1.2(110×\dfrac{x}{8\ 000}+120×\dfrac{y}{1\ 000})=97\ 200。 \end{cases}$
(2) $y=400$，这批产品的销售额比原料费和运费的和多1 887 800元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组；运输费用计算
【点评】
本题是二元一次方程组在实际生产场景中的典型应用，通过对比两种不同的设元方式，帮助学生理解直接设元和间接设元的区别，既考察了学生对数量关系的分析能力，也考察了方程组的求解和实际应用能力，贴合生活实际，能有效锻炼学生的数学建模思维。
【难度系数】
0.6
本题考查二元一次方程组在运输费用问题中的实际应用，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，需对比甲、乙两个方程组的结构，分析未知数对应的数量关系：甲的方程组中x、y直接与运输里程相乘，说明x、y代表质量，其中x对应运到B地的产品质量，y对应从A地运入的原料质量，等式右边对应题干给出的公路、铁路总运费；乙的方程组中x除以8000（产品单价）、y除以1000（原料单价），得到的是质量，因此x代表产品总销售额，y代表原料总费用，等式右边同样对应总运费。
2. 解决第(2)问时，将甲给出的x=300代入他的方程组，先求出y的值，再分别计算销售额、原料费、总运费，最后用销售额减去原料费与运费的总和即可得到结果。
【解析】
(1) 甲的方程组中，1.5是公路运价，20x是x吨产品从工厂到B地的公路运输吨·千米数，10y是y吨原料从A地到工厂的公路运输吨·千米数，两者之和乘运价就是总公路运费15000元；铁路运输部分同理对应总铁路运费97200元，因此甲的x表示产品的质量，y表示原料的质量，方程组补全为：
$\begin{cases}1.5(20x + 10y)=15000 \\1.2(110x + 120y)=97200 \end{cases}$
乙的方程组中，产品单价为8000元/吨，因此$\frac{x}{8000}$是产品质量，原料单价1000元/吨，$\frac{y}{1000}$是原料质量，代入运费计算式后等式右边对应总运费，因此乙的x表示产品销售额，y表示原料费，方程组补全为：
$\begin{cases}1.5(20× \dfrac{x}{8000}+10× \dfrac{y}{1000})=15000 \\1.2(110× \dfrac{x}{8000}+120× \dfrac{y}{1000})=97200 \end{cases}$
(2) 将$x=300$代入甲的第一个方程$1.5(20×300 + 10y)=15000$：
化简得：$1.5×(6000 + 10y)=15000$
两边同除以1.5得：$6000 + 10y = 10000$
解得：$y=400$。
再计算相关费用：
产品销售额：$300×8000=2400000$元
原料费：$400×1000=400000$元
总运费：$15000 + 97200=112200$元
所求差值为：$2400000 - (400000 + 112200)=1887800$元。
【答案】
(1) 产品的质量；原料的质量；产品销售额；原料费
甲：$\begin{cases} 1.5(20x+10y)=15\ 000, \\ 1.2(110x+120y)=97\ 200, \end{cases}$
乙：$\begin{cases}1.5(20×\dfrac{x}{8\ 000}+10×\dfrac{y}{1\ 000})=15\ 000, \\1.2(110×\dfrac{x}{8\ 000}+120×\dfrac{y}{1\ 000})=97\ 200。 \end{cases}$
(2) $y=400$，这批产品的销售额比原料费和运费的和多1 887 800元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；代入消元法解方程组；运输费用计算
【点评】
本题是二元一次方程组在实际生产场景中的典型应用，通过对比两种不同的设元方式，帮助学生理解直接设元和间接设元的区别，既考察了学生对数量关系的分析能力，也考察了方程组的求解和实际应用能力，贴合生活实际，能有效锻炼学生的数学建模思维。
【难度系数】
0.6
