1. 下列各式属于二元一次方程的有()。
①$x - 2y = 1$；②$x + \frac{1}{3} = 0$；③$y - z = 4$；
④$xy = 1$；⑤$5x - 3y$；⑥$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0$。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

1. A

【分析】
要判断各式是否属于二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判定条件：1、是含有等号的整式方程；2、方程中一共含有2个不同的未知数；3、所有含未知数的项的次数都是1。解题时只需逐个对照三个条件对每个式子进行判断，统计符合条件的式子数量即可得到答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的判定标准：①是整式方程；②含有2个未知数；③含未知数的项的次数均为1，三个条件需同时满足。
逐个分析各式：
①$x - 2y = 1$：是整式方程，含x、y两个未知数，x、y的次数均为1，符合二元一次方程定义；
②$x + \frac{1}{3} = 0$：仅含1个未知数x，属于一元一次方程，不符合；
③$y - z = 4$：是整式方程，含y、z两个未知数，y、z的次数均为1，符合二元一次方程定义；
④$xy = 1$：项$xy$的次数为$1+1=2$，不符合次数为1的要求，不符合；
⑤$5x - 3y$：是代数式，没有等号，不属于方程，不符合；
⑥$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0$：分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，符合条件的是①和③，共2个。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义；整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握二元一次方程的三个判定要点，需注意不要混淆未知数的个数、项的次数，还要区分方程和代数式、整式方程和分式方程的差异，避免概念理解不牢导致错判。
【难度系数】
0.7

2. 体育老师到商店买6个足球和3个篮球，要付294元，则买10个足球和5个篮球要付元。

2. 490

【分析】
本题给出购买6个足球和3个篮球的总费用，要求购买10个足球和5个篮球的总费用，我们可先设足球、篮球单价分别为x元、y元，根据已知条件列出二元一次方程，观察方程和所求代数式的结构特点，无需分别求出x、y的具体值，通过提取公因式得到相同的整体部分，用整体代入法即可算出结果。具体思路：先根据题意列方程，化简得到2个足球和1个篮球的总费用，再将10个足球和5个篮球的总费用转化为5倍的2个足球加1个篮球的费用，代入计算即可。
【解析】
解：设每个足球单价为$ x $元，每个篮球单价为$ y $元。
根据题意可列方程：
$ 6x + 3y = 294 $
等式两边同时除以3，化简得：
$ 2x + y = 98 $
买10个足球和5个篮球的总费用为$ 10x + 5y $，提取公因式5可得：
$ 10x + 5y = 5(2x + y) $
将$ 2x + y = 98 $代入上式，计算得：
$ 5×98 = 490 $（元）
【答案】
490
【知识点】
二元一次方程的应用；整体代入求值；代数式化简
【点评】
本题考查方程思想在实际消费问题中的应用，核心是灵活运用整体代入的思路，不需要分别求出两种商品的单价，通过观察式子结构特征简化运算，能够有效提升解题速度，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.75

3. 若$(m-3)x + 2y^{|m-2|} +6=0$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m=$。

3. 1

【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程的核心要求：一是含有2个未知数，因此两个未知数的系数不能为0；二是含未知数的项的次数都为1。我们可以根据这两个要求列出关于m的约束条件，再求解、筛选得到符合要求的m值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的系数不为0，即：
$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
2. 含y的项的次数为1，即：
$|m-2|=1$
去绝对值得：$m-2=1$ 或 $m-2=-1$
分别解得：$m=3$ 或 $m=1$
结合第一个条件$m ≠ 3$，舍去$m=3$，因此$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题重点考查对二元一次方程定义的掌握，易错点是容易忽略未知数的系数不能为0的约束条件，直接解绝对值方程得到m=3和1后忘记舍去不符合要求的m=3，解题时要注意将所有约束条件考虑完整，避免漏判。
【难度系数】
0.7

4. 若$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$是关于$x,y$的方程$x - my = 13$的一个解，则$m$的值是 ______ 。

4. 5

【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们可以把已知的x、y的值直接代入原方程，将原方程转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可得到m的值。
【解析】
已知$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$是方程$x - my = 13$的解，将x、y的值代入方程可得：
$3 - m×(-2) = 13$
化简得：$3 + 2m = 13$
移项得：$2m = 13 - 3$
计算得：$2m = 10$
系数化为1得：$m = 5$
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握方程的解的含义，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，解题时要注意代入负数时的符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85

5. 小明求得方程组$\begin{cases}4x + y = 12, \\3x - 2y = \blacksquare\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \boldsymbol{\bullet}, \\y = 4,\end{cases}$则$\blacksquare$表示的数为 ______ 。

5. -2

【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组的解满足组内每一个方程。已知解中y=4，我们可以先将y=4代入第一个完整的方程求出x的值，再把x和y的值同时代入第二个方程，就能计算出■代表的数。
【解析】
1. 求x的值：
将$y=4$代入方程$4x+y=12$，可得：
$4x + 4 = 12$
移项计算得$4x = 8$，解得$x=2$。
2. 求■表示的数：
将$x=2$、$y=4$代入方程$3x-2y=\blacksquare$，可得：
$\blacksquare = 3×2 - 2×4 = 6 - 8 = -2$
【答案】
-2
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二元一次方程组解的概念的理解，解题逻辑清晰，计算量小，掌握代入法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 已知二元一次方程$x+2y=-6$。
(1)用含$x$的代数式表示$y$；
(2)当$x$取什么值时，$y$的值是大于$-2$的负数？

6. 解:(1)由 $x+2y=-6$ 可得 $y=-3-\dfrac{x}{2}$。
(2)当 $y=-2$ 时,$-2=-3-\dfrac{x}{2}$,解得 $x=-2$；
当 $y=0$ 时,$0=-3-\dfrac{x}{2}$,解得 $x=-6$。
所以当 $-6＜x＜-2$ 时,$y$ 的值是大于 $-2$ 的负数。

【分析】
(1) 用含x的代数式表示y时，可把原二元一次方程看作以y为未知数的一元一次方程，按照解一元一次方程的步骤，通过移项、系数化为1即可得到结果；
(2) 首先翻译条件：“y的值是大于-2的负数”等价于y的取值范围是$-2＜y＜0$，将(1)中得到的y关于x的表达式代入该范围，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围，也可先计算y=-2和y=0时对应的x值，再确定x的区间。
【解析】
(1) 对原方程$x+2y=-6$变形：
移项可得$2y=-6-x$，
两边同时除以2，得$y=-3-\dfrac{x}{2}$。
(2) 由题意得y的取值范围为$-2＜y＜0$，
将$y=-3-\dfrac{x}{2}$代入得不等式组：
$\begin{cases}-3-\dfrac{x}{2} ＞ -2 \\ -3-\dfrac{x}{2} ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：
移项得$-\dfrac{x}{2} ＞ 1$，两边同时乘$-2$（不等号方向改变），解得$x ＜ -2$；
解第二个不等式：
移项得$-\dfrac{x}{2} ＜ 3$，两边同时乘$-2$（不等号方向改变），解得$x ＞ -6$；
因此不等式组的解集为$-6 ＜ x ＜ -2$。
【答案】
(1) $y=-3-\dfrac{x}{2}$；
(2) 当$-6＜x＜-2$时，$y$的值是大于$-2$的负数。
【知识点】
二元一次方程的变形；解一元一次不等式组
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查二元一次方程的变形能力和不等式的实际应用能力，解题的核心是准确将文字描述的取值范围转化为不等式，再按运算法则求解即可。
【难度系数】
0.8

7. 已知$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$是二元一次方程$2x + y = a$的一个解。
(1)$a =$；
(2)试直接写出二元一次方程$2x + y = a$的所有正整数解。

7. (1) 5
(2)解:方程 $2x+y=5$ 的正整数解为 $\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$ 和 $\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$。

【分析】
(1)根据二元一次方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的x、y值代入方程即可求出a的值；(2)把求出的a代入方程，将方程变形为用x表示y的形式，结合正整数的要求（x、y均为大于0的整数），确定x的可取正整数值，再对应求出y的值，就能得到所有正整数解。
【解析】
(1)将$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$代入二元一次方程$2x + y = a$，可得：
$2×1+3=a$，计算得$a=5$。
(2)由(1)可知方程为$2x+y=5$，变形得$y=5-2x$。
因为x、y都是正整数，所以需满足$\begin{cases} x＞0 \\ 5-2x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜2.5$。
由于x是正整数，因此x可取1、2：
当$x=1$时，$y=5-2×1=3$；
当$x=2$时，$y=5-2×2=1$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$
(2) $\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$和$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 二元一次方程的正整数解求解
【点评】
本题为基础题，重点考查二元一次方程解的应用，求解正整数解时需注意未知数的取值限制，通过确定单个未知数的取值范围枚举即可得到全部解。
【难度系数】
0.9

8. 根据题意列方程组。
(1)一家商店进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,共需付费用3480元。问:甲、乙两组工作一天,商店各应付多少钱?
(2)如图5-1-1,小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,假设他始终保持平路每分钟走60 m,下坡路每分钟走80 m,上坡路每分钟走40 m,则他从家里到学校需10 min,从学校到家里需15 min。问:从小华家到学校的平路和下坡路各有多远?

图5-1-1

8. 解:(1)设甲组工作一天商店应付 $x$ 元,乙组工作一天商店应付 $y$ 元。
根据题意,得 $\begin{cases} 8x+8y=3\ 520, \\ 6x+12y=3\ 480。 \end{cases}$
(2)设平路有 $x$ m,下坡路有 $y$ m。
根据题意,得 $\begin{cases} \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10, \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15。 \end{cases}$

【分析】
（1）本题包含两个未知量，即甲组、乙组工作一天的费用，因此设两个未知数，从题干提取两个等量关系列方程组即可：①甲、乙两组同时施工8天总费用为3520元；②甲组单独做6天加乙组单独做12天总费用为3480元，将两个等量关系转化为方程即可得到方程组。
（2）本题包含两个未知量，即平路长度、下坡路长度，设两个未知数后提取行程的时间等量关系：①从家到学校时，平路行驶时间加下坡路行驶时间总和为10min；②从学校到家时，平路行驶时间加上坡路（原下坡路返程变为上坡，路程不变）行驶时间总和为15min，根据“时间=路程÷速度”将等量关系转化为方程即可得到方程组。
【解析】
(1) 设甲组工作一天商店应付$x$元，乙组工作一天商店应付$y$元。
根据甲乙同时施工8天总费用3520元，可列方程：$8x+8y=3520$；
根据甲单独做6天加乙单独做12天总费用3480元，可列方程：$6x+12y=3480$；
联立两个方程得到所求方程组。
(2) 设平路有$x$ m，下坡路有$y$ m。
从家到学校时，平路行驶时间为$\frac{x}{60}$，下坡路行驶时间为$\frac{y}{80}$，总用时10min，可列方程：$\frac{x}{60}+\frac{y}{80}=10$；
从学校到家时，平路行驶时间为$\frac{x}{60}$，原下坡路变为上坡，行驶时间为$\frac{y}{40}$，总用时15min，可列方程：$\frac{x}{60}+\frac{y}{40}=15$；
联立两个方程得到所求方程组。
【答案】
(1) $\begin{cases} 8x+8y=3520 \\ 6x+12y=3480 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{80}=10 \\ \dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{40}=15 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用、费用问题、行程问题
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确从题干中提取和未知量对应的等量关系，考查学生读题审题、将实际问题转化为数学关系的能力，掌握列方程组的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7