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7.已知甲、乙两人从A地出发，到距离35 km的B地，甲步行先走，过了一段时间乙骑车追赶，两人行进的路程s(km)与时间t(h)的关系如图4-2所示，根据图中信息解答：
(1)乙出发
(2)当两人相距5 km时，求t的值。
图4-2
(1)乙出发
2
h后追上甲。(2)当两人相距5 km时，求t的值。
图4-2
答案
7. (1) 2
(2)解:设$s_甲=kt(k≠0),s_乙=mt+b(m≠0)$,
根据题图可得$4k=20$，
解得$k=5$。
所以$s_甲=5t$。
由题图知,对于$s_乙=mt+b$,当$t=2$时,$s_乙=0$，
所以$2m+b=0$，
所以$b=-2m$。
当$t=4$时,$s_乙=20$，
所以$4m+b=20$，
所以$4m-2m=20$，
所以$m=10$，
所以$b=-20$，
所以$s_乙=10t-20$。
当甲到达B地时,$5t=35$,得$t=7$;当乙到达B地时,$10t-20=35$,得$t=5.5$。
则①当$0＜t≤2$时,$5t-0=5$,解得$t=1$,符合题意。
②当$2＜t≤4$时,$5t-(10t-20)=5$,解得$t=3$,符合题意。
③当$4＜t≤5.5$时,$10t-20-5t=5$,解得$t=5$,符合题意。
④当$5.5＜t≤7$时,$35-5t=5$,解得$t=6$,符合题意。
综上可得,$t$的值为1或3或5或6。
(2)解:设$s_甲=kt(k≠0),s_乙=mt+b(m≠0)$,
根据题图可得$4k=20$，
解得$k=5$。
所以$s_甲=5t$。
由题图知,对于$s_乙=mt+b$,当$t=2$时,$s_乙=0$，
所以$2m+b=0$，
所以$b=-2m$。
当$t=4$时,$s_乙=20$，
所以$4m+b=20$，
所以$4m-2m=20$，
所以$m=10$，
所以$b=-20$，
所以$s_乙=10t-20$。
当甲到达B地时,$5t=35$,得$t=7$;当乙到达B地时,$10t-20=35$,得$t=5.5$。
则①当$0＜t≤2$时,$5t-0=5$,解得$t=1$,符合题意。
②当$2＜t≤4$时,$5t-(10t-20)=5$,解得$t=3$,符合题意。
③当$4＜t≤5.5$时,$10t-20-5t=5$,解得$t=5$,符合题意。
④当$5.5＜t≤7$时,$35-5t=5$,解得$t=6$,符合题意。
综上可得,$t$的值为1或3或5或6。
解析
【分析】
(1) 观察s-t图像可知，乙在t=2h时出发，两人的s-t图像交点对应t=4h，即此时乙追上甲，因此乙出发后追上甲的时间为4-2=2h。
(2) 求解两人相距5km时的t值，首先用待定系数法分别求出甲、乙的路程与时间的函数解析式；再计算甲、乙到达B地的时间，按行程阶段分4种情况讨论：①乙未出发时，仅甲行进，路程为5km；②乙出发后未追上甲时，甲的路程减乙的路程等于5km；③乙追上甲后、乙未到终点时，乙的路程减甲的路程等于5km；④乙到终点后、甲未到终点时，总路程减甲的路程等于5km。分别在对应时间范围内列方程求解，验证解是否符合区间要求即可。
【解析】
(1) 由图像可得，乙的出发时间为t=2h，追上甲的时间为t=4h，因此乙出发后追上甲的时长为$4-2=2\mathrm{h}$。
(2) 设甲的路程函数为$s_甲=kt(k≠0)$，乙的路程函数为$s_乙=mt+b(m≠0)$：
① 求$s_甲$的解析式：将点$(4,20)$代入$s_甲=kt$，得$4k=20$，解得$k=5$，因此$s_甲=5t$。
② 求$s_乙$的解析式：将$(2,0)$、$(4,20)$代入$s_乙=mt+b$，得方程组$\begin{cases}2m+b=0\\4m+b=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=10\\b=-20\end{cases}$，因此$s_乙=10t-20$。
③ 计算两人到达B地的时间：
甲到达B地时，$5t=35$，解得$t=7$；
乙到达B地时，$10t-20=35$，解得$t=5.5$。
分情况讨论相距5km的情况：
a. 当$0＜t≤2$时，乙未出发，仅甲行走，$5t=5$，解得$t=1$，符合区间要求；
b. 当$2＜t≤4$时，乙已出发但未追上甲，$s_甲-s_乙=5$，即$5t-(10t-20)=5$，解得$t=3$，符合区间要求；
c. 当$4＜t≤5.5$时，乙追上甲且两人均未到终点，$s_乙-s_甲=5$，即$10t-20-5t=5$，解得$t=5$，符合区间要求；
d. 当$5.5＜t≤7$时，乙已到终点，路程为35km，甲还在行进，$35-5t=5$，解得$t=6$，符合区间要求。
综上，t的值为1或3或5或6。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{1}$、$\boxed{3}$、$\boxed{5}$或$\boxed{6}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法；分类讨论
【点评】
本题结合行程问题的s-t图像考查一次函数的实际应用，解题核心是准确读取图像信息求出函数解析式，再根据行程的不同阶段分类讨论路程差的关系，求解后要注意验证解是否符合对应时间段的范围，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6
(1) 观察s-t图像可知，乙在t=2h时出发，两人的s-t图像交点对应t=4h，即此时乙追上甲，因此乙出发后追上甲的时间为4-2=2h。
(2) 求解两人相距5km时的t值，首先用待定系数法分别求出甲、乙的路程与时间的函数解析式；再计算甲、乙到达B地的时间，按行程阶段分4种情况讨论：①乙未出发时，仅甲行进，路程为5km；②乙出发后未追上甲时，甲的路程减乙的路程等于5km；③乙追上甲后、乙未到终点时，乙的路程减甲的路程等于5km；④乙到终点后、甲未到终点时，总路程减甲的路程等于5km。分别在对应时间范围内列方程求解，验证解是否符合区间要求即可。
【解析】
(1) 由图像可得，乙的出发时间为t=2h，追上甲的时间为t=4h，因此乙出发后追上甲的时长为$4-2=2\mathrm{h}$。
(2) 设甲的路程函数为$s_甲=kt(k≠0)$，乙的路程函数为$s_乙=mt+b(m≠0)$：
① 求$s_甲$的解析式：将点$(4,20)$代入$s_甲=kt$，得$4k=20$，解得$k=5$，因此$s_甲=5t$。
② 求$s_乙$的解析式：将$(2,0)$、$(4,20)$代入$s_乙=mt+b$，得方程组$\begin{cases}2m+b=0\\4m+b=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=10\\b=-20\end{cases}$，因此$s_乙=10t-20$。
③ 计算两人到达B地的时间：
甲到达B地时，$5t=35$，解得$t=7$；
乙到达B地时，$10t-20=35$，解得$t=5.5$。
分情况讨论相距5km的情况：
a. 当$0＜t≤2$时，乙未出发，仅甲行走，$5t=5$，解得$t=1$，符合区间要求；
b. 当$2＜t≤4$时，乙已出发但未追上甲，$s_甲-s_乙=5$，即$5t-(10t-20)=5$，解得$t=3$，符合区间要求；
c. 当$4＜t≤5.5$时，乙追上甲且两人均未到终点，$s_乙-s_甲=5$，即$10t-20-5t=5$，解得$t=5$，符合区间要求；
d. 当$5.5＜t≤7$时，乙已到终点，路程为35km，甲还在行进，$35-5t=5$，解得$t=6$，符合区间要求。
综上，t的值为1或3或5或6。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) $\boxed{1}$、$\boxed{3}$、$\boxed{5}$或$\boxed{6}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法；分类讨论
【点评】
本题结合行程问题的s-t图像考查一次函数的实际应用，解题核心是准确读取图像信息求出函数解析式，再根据行程的不同阶段分类讨论路程差的关系，求解后要注意验证解是否符合对应时间段的范围，避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6
8. 如图4-3，点P为直线BC：$y=-\dfrac{3}{4}x+6$上一动点，连接OP，则线段OP的长度的最小值为
4.8
。答案
8. 4.8
解析
【分析】
根据“垂线段最短”的性质可知，当OP垂直于直线BC时，线段OP的长度最小。解题时先求出直线BC与坐标轴的交点B、C的坐标，得到OB、OC的长度，再通过勾股定理计算BC的长度，最后利用△OBC的面积不变，用等面积法即可求出最短OP的长度。
【解析】
对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$：
1. 求交点坐标：
当$x=0$时，$y=6$，即点$C$坐标为$(0,6)$，得$OC=6$；
当$y=0$时，$0=-\dfrac{3}{4}x+6$，解得$x=8$，即点$B$坐标为$(8,0)$，得$OB=8$。
2. 计算BC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
3. 等面积法求最短OP：
$△ BOC$的面积可表示为$S=\dfrac{1}{2}× OB× OC$，也可表示为$S=\dfrac{1}{2}× BC× OP_{\mathrm{最小}}$，因此：
$\dfrac{1}{2}×8×6=\dfrac{1}{2}×10× OP_{\mathrm{最小}}$
化简得：$24=5OP_{\mathrm{最小}}$，解得$OP_{\mathrm{最小}}=\dfrac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是一次函数与几何最值的结合题型，解题核心是利用垂线段最短确定OP取最小值的位置，通过等面积法计算高，避免了复杂的坐标运算，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
根据“垂线段最短”的性质可知，当OP垂直于直线BC时，线段OP的长度最小。解题时先求出直线BC与坐标轴的交点B、C的坐标，得到OB、OC的长度，再通过勾股定理计算BC的长度，最后利用△OBC的面积不变，用等面积法即可求出最短OP的长度。
【解析】
对于直线$y=-\dfrac{3}{4}x+6$：
1. 求交点坐标：
当$x=0$时，$y=6$，即点$C$坐标为$(0,6)$，得$OC=6$；
当$y=0$时，$0=-\dfrac{3}{4}x+6$，解得$x=8$，即点$B$坐标为$(8,0)$，得$OB=8$。
2. 计算BC的长度：
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
3. 等面积法求最短OP：
$△ BOC$的面积可表示为$S=\dfrac{1}{2}× OB× OC$，也可表示为$S=\dfrac{1}{2}× BC× OP_{\mathrm{最小}}$，因此：
$\dfrac{1}{2}×8×6=\dfrac{1}{2}×10× OP_{\mathrm{最小}}$
化简得：$24=5OP_{\mathrm{最小}}$，解得$OP_{\mathrm{最小}}=\dfrac{24}{5}=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；等面积法
【点评】
本题是一次函数与几何最值的结合题型，解题核心是利用垂线段最短确定OP取最小值的位置，通过等面积法计算高，避免了复杂的坐标运算，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
9. 为了多方面培养学生的兴趣爱好，学校计划购买一批排球用于开设排球课程，两家体育用品商店分别推出了各自的优惠方案：
A商店：若购买超过20个，超过的部分每个排球的价格按标价打八折；
B商店：若购买超过15个，超过的部分每个排球的价格按标价打九折后再优惠10元。
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的应付钱数，其函数图象如图4-4。
(1)求两个商店中每个排球的标价分别是多少元。
(2)请分别求出：当x＞20时，A商店的应付钱数$y_A$与数量x之间的关系式；当x＞15时，B商店的应付钱数$y_B$与数量x之间的关系式。
(3)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠。
A商店：若购买超过20个，超过的部分每个排球的价格按标价打八折；
B商店：若购买超过15个，超过的部分每个排球的价格按标价打九折后再优惠10元。
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的应付钱数，其函数图象如图4-4。
(1)求两个商店中每个排球的标价分别是多少元。
(2)请分别求出：当x＞20时，A商店的应付钱数$y_A$与数量x之间的关系式；当x＞15时，B商店的应付钱数$y_B$与数量x之间的关系式。
(3)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠。
答案
9. 解:(1)由题图可知,A商店排球的标价为$2400÷20=120$(元/个)，
B商店排球的标价为$1800÷15=120$(元/个)。
(2)由题意得,当$x＞20$时,$y_A=120×20+0.8×120(x-20)=96x+480$，
当$x＞15$时,$y_B=120×15+(0.9×120-10)×(x-15)=98x+330$。
(3)由题图可知，
当$0≤x≤15$或$x=75$时,$y_A=y_B$,在A,B两家商店购买排球所付的钱数相同；
当$15＜x＜75$时,$y_A＞y_B$,选择B商店购买排球更优惠；
当$x＞75$时,$y_A＜y_B$,选择A商店购买排球更优惠。
B商店排球的标价为$1800÷15=120$(元/个)。
(2)由题意得,当$x＞20$时,$y_A=120×20+0.8×120(x-20)=96x+480$，
当$x＞15$时,$y_B=120×15+(0.9×120-10)×(x-15)=98x+330$。
(3)由题图可知，
当$0≤x≤15$或$x=75$时,$y_A=y_B$,在A,B两家商店购买排球所付的钱数相同；
当$15＜x＜75$时,$y_A＞y_B$,选择B商店购买排球更优惠；
当$x＞75$时,$y_A＜y_B$,选择A商店购买排球更优惠。
解析
【分析】
(1) 求排球标价时，结合优惠规则可知：购买数量未达到优惠门槛时不享受优惠，总价=标价×数量。观察图像，A商店购买20个时总价2400元（未到优惠门槛无折扣），B商店购买15个时总价1800元（未到优惠门槛无折扣，直接用对应总价除以数量即可求得标价。
(2) 求超出优惠门槛的函数关系式，遵循“不享受优惠部分的总价+享受优惠部分的总价”的思路列式：A商店20个以内按原价，超过20个的部分打八折；B商店15个以内按原价，超过15个的部分按“标价打九折再减10元，代入数值计算后化简即可得到函数关系式。
(3) 比较哪家商店更优惠，本质是比较相同购买数量x下，两家费用的大小，结合图像交点（x=75时两家费用相等），分区间讨论：函数图像靠下的对应的费用更低，更优惠，交点处两家费用相同。
【解析】
(1) 由题图和优惠规则可知，购买数量未达到优惠门槛时无折扣：
A商店排球的标价为$2400÷20=120$(元/个)
B商店排球的标价为$1800÷15=120$(元/个)
(2) 当$x＞20$时，A商店20个按原价，超出部分打八折：
$y_A=120×20+0.8×120(x-20)=2400+96(x-20)=96x+480$
当$x＞15$时，B商店15个按原价，超出部分每个价格为$0.9×120-10=98$元：
$y_B=120×15+98×(x-15)=1800+98(x-15)=98x+330$
(3) 结合图像和函数关系分析：
当$0≤x≤15$或$x=75$时，$y_A=y_B$，两家商店购买费用相同；
当$15＜x＜75$时，$y_A＞y_B$，B商店费用更低；
当$x＞75$时，$y_A＜y_B$，A商店费用更低。
【答案】
(1) A、B两个商店每个排球的标价都是120元；
(2) 当$x＞20$时，$y_A=96x+480$；当$x＞15$时，$y_B=98x+330$；
(3) 当购买数量为$0≤x≤15$或$x=75$时，两家商店费用相同；当$15＜x＜75$时，选择B商店更优惠；当$x＞75$时，选择A商店更优惠。
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，既考查了从函数图像中提取信息的能力，也考查了一次函数解析式的求解和分类讨论思想的应用，和生活联系紧密，能够锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求排球标价时，结合优惠规则可知：购买数量未达到优惠门槛时不享受优惠，总价=标价×数量。观察图像，A商店购买20个时总价2400元（未到优惠门槛无折扣），B商店购买15个时总价1800元（未到优惠门槛无折扣，直接用对应总价除以数量即可求得标价。
(2) 求超出优惠门槛的函数关系式，遵循“不享受优惠部分的总价+享受优惠部分的总价”的思路列式：A商店20个以内按原价，超过20个的部分打八折；B商店15个以内按原价，超过15个的部分按“标价打九折再减10元，代入数值计算后化简即可得到函数关系式。
(3) 比较哪家商店更优惠，本质是比较相同购买数量x下，两家费用的大小，结合图像交点（x=75时两家费用相等），分区间讨论：函数图像靠下的对应的费用更低，更优惠，交点处两家费用相同。
【解析】
(1) 由题图和优惠规则可知，购买数量未达到优惠门槛时无折扣：
A商店排球的标价为$2400÷20=120$(元/个)
B商店排球的标价为$1800÷15=120$(元/个)
(2) 当$x＞20$时，A商店20个按原价，超出部分打八折：
$y_A=120×20+0.8×120(x-20)=2400+96(x-20)=96x+480$
当$x＞15$时，B商店15个按原价，超出部分每个价格为$0.9×120-10=98$元：
$y_B=120×15+98×(x-15)=1800+98(x-15)=98x+330$
(3) 结合图像和函数关系分析：
当$0≤x≤15$或$x=75$时，$y_A=y_B$，两家商店购买费用相同；
当$15＜x＜75$时，$y_A＞y_B$，B商店费用更低；
当$x＞75$时，$y_A＜y_B$，A商店费用更低。
【答案】
(1) A、B两个商店每个排球的标价都是120元；
(2) 当$x＞20$时，$y_A=96x+480$；当$x＞15$时，$y_B=98x+330$；
(3) 当购买数量为$0≤x≤15$或$x=75$时，两家商店费用相同；当$15＜x＜75$时，选择B商店更优惠；当$x＞75$时，选择A商店更优惠。
【知识点】
一次函数的应用；分段函数；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景，既考查了从函数图像中提取信息的能力，也考查了一次函数解析式的求解和分类讨论思想的应用，和生活联系紧密，能够锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
