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1. 解三元一次方程组$\begin{cases}x+y+z=3①, \\ 3x+2y+z=10②, \\ 2x - y + z = -1③,\end{cases}$如果要消去未知数$z$，则应对方程组变形为（ ）。
A.①+③，①×2−②
B.①+③，③×2+②
C.②−①，②−③
D.①−②，①×2−③
A.①+③，①×2−②
B.①+③，③×2+②
C.②−①，②−③
D.①−②，①×2−③
答案
1. C
解析
【分析】
要消去未知数z，需运用加减消元法：当两个方程中z的系数相等时，两式相减即可消去z；若系数互为相反数则两式相加消去z。观察本题三个方程，z的系数均为1，因此只需将任意两个方程直接相减就能消去z，再逐一判断选项的操作是否符合要求即可。
【解析】
根据加减消元法的规则，消去z需要让两个方程运算后z的系数为0：
已知三个方程中z的系数均为1，相等，因此两式相减可消去z：
对选项C进行验证：
1. ②-①：$(3x+2y+z)-(x+y+z)=10-3$，化简得$2x+y=7$，z被消去；
2. ②-③：$(3x+2y+z)-(2x - y + z)=10 - (-1)$，化简得$x+3y=11$，z也被消去，符合要求。
验证其余选项：
A选项中①+③后仍含有z，无法消去z，错误；
B选项中①+③、③×2+②后均含有z，错误；
D选项中①×2−③后仍含有z，错误。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，三元一次方程组的消元
【点评】
本题考查三元一次方程组消元的基础应用，解题核心是观察目标未知数的系数特征，选择对应的加减运算完成消元，是方程组解法的基础类题目。
【难度系数】
0.8
要消去未知数z，需运用加减消元法：当两个方程中z的系数相等时，两式相减即可消去z；若系数互为相反数则两式相加消去z。观察本题三个方程，z的系数均为1，因此只需将任意两个方程直接相减就能消去z，再逐一判断选项的操作是否符合要求即可。
【解析】
根据加减消元法的规则，消去z需要让两个方程运算后z的系数为0：
已知三个方程中z的系数均为1，相等，因此两式相减可消去z：
对选项C进行验证：
1. ②-①：$(3x+2y+z)-(x+y+z)=10-3$，化简得$2x+y=7$，z被消去；
2. ②-③：$(3x+2y+z)-(2x - y + z)=10 - (-1)$，化简得$x+3y=11$，z也被消去，符合要求。
验证其余选项：
A选项中①+③后仍含有z，无法消去z，错误；
B选项中①+③、③×2+②后均含有z，错误；
D选项中①×2−③后仍含有z，错误。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，三元一次方程组的消元
【点评】
本题考查三元一次方程组消元的基础应用，解题核心是观察目标未知数的系数特征，选择对应的加减运算完成消元，是方程组解法的基础类题目。
【难度系数】
0.8
2. 我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫作这个二元一次方程的一个解。同样地，适合三元一次方程的一组未知数的值叫作这个三元一次方程的一个解。请写出方程$x+y+z=4$的一个正整数解：。
答案
2. $\begin{cases} x=1, \\ y=1, \\ z=2 \end{cases}$（或$\begin{cases} x=1, \\ y=2, \\ z=1 \end{cases}$，或$\begin{cases} x=2, \\ y=1, \\ z=1 \end{cases}$）
解析
【分析】
要写出方程$x+y+z=4$的一个正整数解，首先明确正整数的要求：x、y、z都必须是大于0的整数，即最小取值为1。我们可以采用赋值法，先给其中两个未知数取符合要求的正整数值，再代入方程计算第三个未知数的值，若计算出的第三个未知数也是正整数，则这组值就是符合要求的解。
【解析】
因为方程的解要求是正整数，所以x≥1，y≥1，z≥1，且均为整数。
我们令x=1，y=1，将其代入方程$x+y+z=4$中，可得：
$1+1+z=4$
解得$z=4-1-1=2$，z=2是正整数，满足要求。
（也可给x、y取其他正整数值，只要计算出的z为正整数即可）
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=1, \\ z=2 \end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
三元一次方程的解的定义，正整数的概念
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对三元一次方程解的概念的理解，解题时只需保证三个未知数均为正整数且满足方程即可，难度较低，容易得分。
【难度系数】
0.9
要写出方程$x+y+z=4$的一个正整数解，首先明确正整数的要求：x、y、z都必须是大于0的整数，即最小取值为1。我们可以采用赋值法，先给其中两个未知数取符合要求的正整数值，再代入方程计算第三个未知数的值，若计算出的第三个未知数也是正整数，则这组值就是符合要求的解。
【解析】
因为方程的解要求是正整数，所以x≥1，y≥1，z≥1，且均为整数。
我们令x=1，y=1，将其代入方程$x+y+z=4$中，可得：
$1+1+z=4$
解得$z=4-1-1=2$，z=2是正整数，满足要求。
（也可给x、y取其他正整数值，只要计算出的z为正整数即可）
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=1, \\ z=2 \end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
三元一次方程的解的定义，正整数的概念
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对三元一次方程解的概念的理解，解题时只需保证三个未知数均为正整数且满足方程即可，难度较低，容易得分。
【难度系数】
0.9
3. 若三元一次方程$2x - 3y + mz = 0$，当$x = 1$，$y = 2$时，$z = 4$，则$m$的值为
1
。答案
3. 1
解析
【分析】
根据三元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此我们可以将已知的x=1、y=2、z=4直接代入原方程，将三元一次方程转化为只含未知数m的一元一次方程，再解一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
解：将$x=1$，$y=2$，$z=4$代入方程$2x - 3y + mz = 0$，可得：
$\begin{aligned}2×1 - 3×2 + 4m &= 0\\2 - 6 + 4m &= 0\\-4 + 4m &= 0\\4m &= 4\\m &= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
三元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是基础计算题，核心考查方程解的性质，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”的规律，准确代入数值计算即可，需注意计算过程中符号不要出错。
【难度系数】
0.9
根据三元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此我们可以将已知的x=1、y=2、z=4直接代入原方程，将三元一次方程转化为只含未知数m的一元一次方程，再解一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
解：将$x=1$，$y=2$，$z=4$代入方程$2x - 3y + mz = 0$，可得：
$\begin{aligned}2×1 - 3×2 + 4m &= 0\\2 - 6 + 4m &= 0\\-4 + 4m &= 0\\4m &= 4\\m &= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
三元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是基础计算题，核心考查方程解的性质，只要掌握“方程的解代入原方程等式成立”的规律，准确代入数值计算即可，需注意计算过程中符号不要出错。
【难度系数】
0.9
4. 一个三位数,个位、百位上的数字和等于十位上的数字的2倍,百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字和大1,个位、十位、百位上的数字和是15,则这个三位数是
456
。答案
4. 456
解析
【分析】
遇到这类三位数数位的问题，我们可以通过设未知数建立方程组求解：首先分别设个位、十位、百位上的数字为3个未知数，再根据题目给出的3个等量关系列出三元一次方程组，通过消元法逐步求解出各个数位的数字，最后组合得到三位数即可。解题时要注意各个数位的位置，避免最后组合数字时混淆个位和百位。
【解析】
设这个三位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，百位数字为$z$，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + z = 2y \quad \mathrm{①} \\3z = x + y + 1 \quad \mathrm{②} \\x + y + z = 15 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
第一步：将①代入③，可得$2y + y = 15$，解得$y=5$。
第二步：把$y=5$代入①，得$x + z = 10$，变形为$x = 10 - z$ ④。
第三步：把$y=5$和④代入②，得$3z = (10 - z) + 5 + 1$，整理得$4z = 16$，解得$z=4$。
第四步：将$z=4$代入④，得$x = 10 - 4 = 6$。
所以这个三位数为$100z + 10y + x = 100×4 + 10×5 + 6 = 456$。
【答案】
456
【知识点】
三元一次方程组的应用；数位的表示；消元法解方程组
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题型，解题的核心是准确找到题目中的等量关系列方程组，求解时注意先找容易消元的式子快速求出其中一个未知数，简化计算过程，最后组合三位数时不要混淆各数位的顺序。
【难度系数】
0.7
遇到这类三位数数位的问题，我们可以通过设未知数建立方程组求解：首先分别设个位、十位、百位上的数字为3个未知数，再根据题目给出的3个等量关系列出三元一次方程组，通过消元法逐步求解出各个数位的数字，最后组合得到三位数即可。解题时要注意各个数位的位置，避免最后组合数字时混淆个位和百位。
【解析】
设这个三位数的个位数字为$x$，十位数字为$y$，百位数字为$z$，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + z = 2y \quad \mathrm{①} \\3z = x + y + 1 \quad \mathrm{②} \\x + y + z = 15 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
第一步：将①代入③，可得$2y + y = 15$，解得$y=5$。
第二步：把$y=5$代入①，得$x + z = 10$，变形为$x = 10 - z$ ④。
第三步：把$y=5$和④代入②，得$3z = (10 - z) + 5 + 1$，整理得$4z = 16$，解得$z=4$。
第四步：将$z=4$代入④，得$x = 10 - 4 = 6$。
所以这个三位数为$100z + 10y + x = 100×4 + 10×5 + 6 = 456$。
【答案】
456
【知识点】
三元一次方程组的应用；数位的表示；消元法解方程组
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题型，解题的核心是准确找到题目中的等量关系列方程组，求解时注意先找容易消元的式子快速求出其中一个未知数，简化计算过程，最后组合三位数时不要混淆各数位的顺序。
【难度系数】
0.7
5. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x+y=5, \\ y$
$z=9, \\ z+x=8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y-z=11, \\ 2x+y-5z=8, \\ -2x+7y+z=19. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x+y=5, \\ y$
$z=9, \\ z+x=8; \end{cases}$(2) $\begin{cases} 2x+3y-z=11, \\ 2x+y-5z=8, \\ -2x+7y+z=19. \end{cases}$
答案
5. (1) $\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=6 \end{cases}$。
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{5}{8}, \\ y=3, \\ z=-\dfrac{3}{4} \end{cases}$。
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{5}{8}, \\ y=3, \\ z=-\dfrac{3}{4} \end{cases}$。
解析
【分析】
第(1)题思路：
观察到方程组中三个方程均为两个未知数的和，可先将三个方程左右两边同时相加，求出三个未知数的总和，再用总和分别减去每个原方程，即可直接求出每个未知数的值，比逐次消元更简便。
第(2)题思路：
观察到三个方程中x的系数为2、2、-2，可优先用加减消元法消去x，得到仅含y、z的二元一次方程组，解出y、z后再代入原方程求x即可。
【解析】
(1) 记方程组为：
$\begin{cases} x+y=5&① \\ y+z=9&② \\ z+x=8&③ \end{cases}$
①+②+③得：$2(x+y+z)=5+9+8=22$，化简得$x+y+z=11$ ④
用④分别减去①②③：
④-①得：$z=11-5=6$
④-②得：$x=11-9=2$
④-③得：$y=11-8=3$
(2) 记方程组为：
$\begin{cases} 2x+3y-z=11&① \\ 2x+y-5z=8&② \\ -2x+7y+z=19&③ \end{cases}$
①+③得：$10y=30$，解得$y=3$
②+③得：$8y-4z=27$ ④
将$y=3$代入④：$8×3-4z=27$，解得$z=-\frac{3}{4}$
将$y=3$、$z=-\frac{3}{4}$代入①：$2x+3×3 - (-\frac{3}{4})=11$，解得$x=\frac{5}{8}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=6 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{5}{8}, \\ y=3, \\ z=-\dfrac{3}{4} \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，加减消元法，消元思想
【点评】
本题是三元一次方程组的基础考查题，解题核心是通过消元将三元问题转化为二元、一元问题求解，解题时要先观察未知数系数的特点，选择最简便的消元顺序，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
第(1)题思路：
观察到方程组中三个方程均为两个未知数的和，可先将三个方程左右两边同时相加，求出三个未知数的总和，再用总和分别减去每个原方程，即可直接求出每个未知数的值，比逐次消元更简便。
第(2)题思路：
观察到三个方程中x的系数为2、2、-2，可优先用加减消元法消去x，得到仅含y、z的二元一次方程组，解出y、z后再代入原方程求x即可。
【解析】
(1) 记方程组为：
$\begin{cases} x+y=5&① \\ y+z=9&② \\ z+x=8&③ \end{cases}$
①+②+③得：$2(x+y+z)=5+9+8=22$，化简得$x+y+z=11$ ④
用④分别减去①②③：
④-①得：$z=11-5=6$
④-②得：$x=11-9=2$
④-③得：$y=11-8=3$
(2) 记方程组为：
$\begin{cases} 2x+3y-z=11&① \\ 2x+y-5z=8&② \\ -2x+7y+z=19&③ \end{cases}$
①+③得：$10y=30$，解得$y=3$
②+③得：$8y-4z=27$ ④
将$y=3$代入④：$8×3-4z=27$，解得$z=-\frac{3}{4}$
将$y=3$、$z=-\frac{3}{4}$代入①：$2x+3×3 - (-\frac{3}{4})=11$，解得$x=\frac{5}{8}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=3, \\ z=6 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=\dfrac{5}{8}, \\ y=3, \\ z=-\dfrac{3}{4} \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，加减消元法，消元思想
【点评】
本题是三元一次方程组的基础考查题，解题核心是通过消元将三元问题转化为二元、一元问题求解，解题时要先观察未知数系数的特点，选择最简便的消元顺序，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
6. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)。已知加密规则为：明文$(x,y,z)$对应密文$(x+y+z,x-y+z,x-y-z)$。例如：明文$(1,2,3)$对应密文$(6,2,-4)$。若接收方收到的密文是$(12,4,-6)$，则解密得到的明文是多少？
答案
6. 解:由题意得$\begin{cases} x+y+z=12, \\ x-y+z=4, \\ x-y-z=-6, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3, \\ y=4, \\ z=5 \end{cases}$。所以解密得到的明文为(3,4,5)。
解析
【分析】
首先根据题目给出的加密规则，明文$(x,y,z)$对应的三个密文分别是$x+y+z$、$x-y+z$、$x-y-z$，已知接收的密文为$(12,4,-6)$，因此可以将密文的三个值与三个表达式分别相等，列出关于$x$、$y$、$z$的三元一次方程组。接下来使用加减消元法消去方程组中的部分未知数，先求出一个未知数的解，再依次代入求出剩余未知数的解，即可得到明文。
【解析】
解：根据加密规则，结合已知密文可列三元一次方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 12 \quad \mathrm{①} \\x - y + z = 4 \quad \mathrm{②} \\x - y - z = -6 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
用①减去②，得：
$(x+y+z)-(x-y+z) = 12 - 4$
化简得$2y = 8$，解得$y = 4$。
用②减去③，得：
$(x-y+z)-(x-y-z) = 4 - (-6)$
化简得$2z = 10$，解得$z = 5$。
将$y=4$，$z=5$代入①，得：
$x + 4 + 5 = 12$
解得$x = 3$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \\ z=5 \end{cases}$，即解密得到的明文为$(3,4,5)$。
【答案】
$(3,4,5)$
【知识点】
三元一次方程组的应用；三元一次方程组的解法
【点评】
本题结合信息加密的实际场景考查方程的应用，解题的关键是准确理解加密规则，找准等量关系列出方程组，再用消元法求解即可，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
首先根据题目给出的加密规则，明文$(x,y,z)$对应的三个密文分别是$x+y+z$、$x-y+z$、$x-y-z$，已知接收的密文为$(12,4,-6)$，因此可以将密文的三个值与三个表达式分别相等，列出关于$x$、$y$、$z$的三元一次方程组。接下来使用加减消元法消去方程组中的部分未知数，先求出一个未知数的解，再依次代入求出剩余未知数的解，即可得到明文。
【解析】
解：根据加密规则，结合已知密文可列三元一次方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 12 \quad \mathrm{①} \\x - y + z = 4 \quad \mathrm{②} \\x - y - z = -6 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
用①减去②，得：
$(x+y+z)-(x-y+z) = 12 - 4$
化简得$2y = 8$，解得$y = 4$。
用②减去③，得：
$(x-y+z)-(x-y-z) = 4 - (-6)$
化简得$2z = 10$，解得$z = 5$。
将$y=4$，$z=5$代入①，得：
$x + 4 + 5 = 12$
解得$x = 3$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \\ z=5 \end{cases}$，即解密得到的明文为$(3,4,5)$。
【答案】
$(3,4,5)$
【知识点】
三元一次方程组的应用；三元一次方程组的解法
【点评】
本题结合信息加密的实际场景考查方程的应用，解题的关键是准确理解加密规则，找准等量关系列出方程组，再用消元法求解即可，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
7. 某校八年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛。比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分。记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表5-5-1），其中G队参加的比赛均未统计：
表5-5-1
(1)胜一场得
(2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总积分至少是多少分才有可能取得总积分第一名（不存在并列情况）？并求出此时G队的胜场数。
(3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场？
表5-5-1
(1)胜一场得
4
分，平一场得2
分，负一场得1
分，表格中D队的总积分是9
分。(2)若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总积分至少是多少分才有可能取得总积分第一名（不存在并列情况）？并求出此时G队的胜场数。
(3)联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场？
答案
7. (1) 4 2 1 9
(2)解:由题意,设G队胜a场,因为负场数比胜场数少2场,所以负场数为(a−2)场,平场数为6−a−(a−2)=(8−2a)场。因为场数为非负整数,所以a≥2,且8−2a≥0,所以2≤a≤4,即a的取值为2,3,4。所以G队总积分为4a+2(8−2a)+(a−2)=a+14。因为目前A～F队最高积分为A队15分,此时各队比赛场数均为5场,所以a+14＞16,则a＞2。所以a的取值为3,4。所以当a=3时,G队总积分至少为3+14=17(分)。此时G队的胜场数为3。
(3)解:由题意知,7支队伍比赛,采用单循环赛制,所以比赛总场数为$\dfrac{7×6}{2}=21$。所以平局:两队均得2分,单场总积分为2+2=4(分);分出胜负:胜队4分、负队1分,单场总积分为4+1=5(分)。
设平场数为m,则分出胜负的场数为(21−m),所以联赛总积分之和为4m+5(21−m)=105−m。因为总积分之和为97分,所以105−m=97。所以m=8。所以此次联赛共有8场平场。
(2)解:由题意,设G队胜a场,因为负场数比胜场数少2场,所以负场数为(a−2)场,平场数为6−a−(a−2)=(8−2a)场。因为场数为非负整数,所以a≥2,且8−2a≥0,所以2≤a≤4,即a的取值为2,3,4。所以G队总积分为4a+2(8−2a)+(a−2)=a+14。因为目前A～F队最高积分为A队15分,此时各队比赛场数均为5场,所以a+14＞16,则a＞2。所以a的取值为3,4。所以当a=3时,G队总积分至少为3+14=17(分)。此时G队的胜场数为3。
(3)解:由题意知,7支队伍比赛,采用单循环赛制,所以比赛总场数为$\dfrac{7×6}{2}=21$。所以平局:两队均得2分,单场总积分为2+2=4(分);分出胜负:胜队4分、负队1分,单场总积分为4+1=5(分)。
设平场数为m,则分出胜负的场数为(21−m),所以联赛总积分之和为4m+5(21−m)=105−m。因为总积分之和为97分,所以105−m=97。所以m=8。所以此次联赛共有8场平场。
解析
【分析】
(1) 要确定胜、平、负场次的积分，可先设三个未知量，结合A、B、F队的胜平负场数及总积分列出三元一次方程组求解得到积分规则，再代入D队的场次数据计算总积分即可。
(2) 先设G队胜场数为a，根据负场与胜场的数量关系表示出负场和平场数，结合场数为非负整数得到a的取值范围，再写出G队总积分的表达式；要获得无并列的第一名，需G队积分高于其他队伍的最高可能积分，据此列不等式求出a的最小值，进而得到最低总积分和对应胜场数。
(3) 先根据单循环赛制计算比赛总场数，再分别明确平局、分出胜负两种情况的单场总积分，设平场数为m，结合总积分列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设胜一场得$x$分，平一场得$y$分，负一场得$z$分，根据表格数据列方程组：
$\begin{cases}3x+y+z=15\\2x+3y=14\\2y+3z=7\end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}x=4\\y=2\\z=1\end{cases}$
则D队总积分为$1×4 + 1×2 + 3×1 = 9$分。
(2) 设G队胜$a$场，由题意得负场数为$(a-2)$场，平场数为$6-a-(a-2)=8-2a$场。
∵场数为非负整数，
∴$\begin{cases}a-2≥0\\8-2a≥0\end{cases}$，解得$2≤ a≤4$，即$a$可取2、3、4。
G队总积分为$4a + 2(8-2a) + 1×(a-2) = a + 14$。
已知A~F队目前最高积分为A队15分，要取得总积分第一名且无并列，需$a+14＞16$，解得$a＞2$，因此$a$可取3、4。
当$a=3$时，总积分最低，为$3+14=17$分，此时胜场数为3。
(3) 7支队伍单循环赛的总比赛场数为$\dfrac{7×6}{2}=21$场。
平局时单场总积分为$2+2=4$分，分出胜负时单场总积分为$4+1=5$分。
设平场数为$m$，则分出胜负的场数为$(21-m)$，根据总积分列方程：
$4m + 5(21-m) = 97$
解得$m=8$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{2}$，$\boxed{1}$，$\boxed{9}$
(2) G队总积分至少是$\boxed{17}$分才有可能取得总积分第一名，此时胜场数为$\boxed{3}$。
(3) $\boxed{8}$场
【知识点】
三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，比赛积分问题
【点评】
本题结合体育赛事积分场景，综合考查了方程、不等式的实际应用，解题的关键是先通过已知数据求出积分规则，再结合题干限制条件逐步推导，需注意场数为非负整数这一隐含条件，能很好地考查学生的逻辑推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定胜、平、负场次的积分，可先设三个未知量，结合A、B、F队的胜平负场数及总积分列出三元一次方程组求解得到积分规则，再代入D队的场次数据计算总积分即可。
(2) 先设G队胜场数为a，根据负场与胜场的数量关系表示出负场和平场数，结合场数为非负整数得到a的取值范围，再写出G队总积分的表达式；要获得无并列的第一名，需G队积分高于其他队伍的最高可能积分，据此列不等式求出a的最小值，进而得到最低总积分和对应胜场数。
(3) 先根据单循环赛制计算比赛总场数，再分别明确平局、分出胜负两种情况的单场总积分，设平场数为m，结合总积分列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设胜一场得$x$分，平一场得$y$分，负一场得$z$分，根据表格数据列方程组：
$\begin{cases}3x+y+z=15\\2x+3y=14\\2y+3z=7\end{cases}$
解方程组得：$\begin{cases}x=4\\y=2\\z=1\end{cases}$
则D队总积分为$1×4 + 1×2 + 3×1 = 9$分。
(2) 设G队胜$a$场，由题意得负场数为$(a-2)$场，平场数为$6-a-(a-2)=8-2a$场。
∵场数为非负整数，
∴$\begin{cases}a-2≥0\\8-2a≥0\end{cases}$，解得$2≤ a≤4$，即$a$可取2、3、4。
G队总积分为$4a + 2(8-2a) + 1×(a-2) = a + 14$。
已知A~F队目前最高积分为A队15分，要取得总积分第一名且无并列，需$a+14＞16$，解得$a＞2$，因此$a$可取3、4。
当$a=3$时，总积分最低，为$3+14=17$分，此时胜场数为3。
(3) 7支队伍单循环赛的总比赛场数为$\dfrac{7×6}{2}=21$场。
平局时单场总积分为$2+2=4$分，分出胜负时单场总积分为$4+1=5$分。
设平场数为$m$，则分出胜负的场数为$(21-m)$，根据总积分列方程：
$4m + 5(21-m) = 97$
解得$m=8$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{2}$，$\boxed{1}$，$\boxed{9}$
(2) G队总积分至少是$\boxed{17}$分才有可能取得总积分第一名，此时胜场数为$\boxed{3}$。
(3) $\boxed{8}$场
【知识点】
三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，比赛积分问题
【点评】
本题结合体育赛事积分场景，综合考查了方程、不等式的实际应用，解题的关键是先通过已知数据求出积分规则，再结合题干限制条件逐步推导，需注意场数为非负整数这一隐含条件，能很好地考查学生的逻辑推理能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
