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二、拓展性作业
8.【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易。
例：已知 $\begin{cases} 3x + 2y + z = 4①, \\ 7x + 4y + 3z = 10②, \end{cases}$ 求 $2x + y + z$ 的值。
解：②$-$①得 $4x + 2y + 2z = 6③$，
③$× \dfrac{1}{2}$得 $2x + y + z = 3$，
所以 $2x + y + z$ 的值为 3。
【类比迁移】
已知 $\begin{cases} x + 2y + 3z = 10, \\ 5x + 6y + 7z = 26, \end{cases}$ 求 $3x + 4y + 5z$ 的值。
8.【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易。
例：已知 $\begin{cases} 3x + 2y + z = 4①, \\ 7x + 4y + 3z = 10②, \end{cases}$ 求 $2x + y + z$ 的值。
解：②$-$①得 $4x + 2y + 2z = 6③$，
③$× \dfrac{1}{2}$得 $2x + y + z = 3$，
所以 $2x + y + z$ 的值为 3。
【类比迁移】
已知 $\begin{cases} x + 2y + 3z = 10, \\ 5x + 6y + 7z = 26, \end{cases}$ 求 $3x + 4y + 5z$ 的值。
答案
8. 解:$\begin{cases} x+2y+3z=10①, \\ 5x+6y+7z=26②, \end{cases}$
①+②得 6x+8y+10z=36③,
③$×\dfrac{1}{2}$得 3x+4y+5z=18,
所以3x+4y+5z的值为18。
①+②得 6x+8y+10z=36③,
③$×\dfrac{1}{2}$得 3x+4y+5z=18,
所以3x+4y+5z的值为18。
解析
【分析】
本题可利用整体求值的思想求解，无需单独计算x、y、z的取值。首先观察已知的两个三元一次方程中各未知数的系数，以及待求代数式$3x+4y+5z$的系数：已知第一个方程x的系数为1，第二个方程x的系数为5，二者相加后x的系数为6，恰好是待求式x系数3的2倍；同理y的系数$2+6=8$，是待求式y系数4的2倍；z的系数$3+7=10$，是待求式z系数5的2倍。因此先将两个已知方程相加，再将得到的等式两边同时乘$\frac{1}{2}$，即可直接得到待求代数式的值。
【解析】
解：设$\begin{cases} x+2y+3z=10①, \\ 5x+6y+7z=26②, \end{cases}$
①+②，得 $6x + 8y + 10z = 36$ ③，
将③两边同时乘$\dfrac{1}{2}$，得 $3x + 4y + 5z = 18$。
所以$3x + 4y + 5z$的值为18。
【答案】
18
【知识点】
整体代入求值，三元一次方程组变形，代数式求值
【点评】
本题是整体思想在方程组求值中的典型应用，解题关键是观察待求式与已知方程的系数关系，通过对已知方程进行加减变形，无需逐个求解未知数即可快速得到结果，有助于培养学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
本题可利用整体求值的思想求解，无需单独计算x、y、z的取值。首先观察已知的两个三元一次方程中各未知数的系数，以及待求代数式$3x+4y+5z$的系数：已知第一个方程x的系数为1，第二个方程x的系数为5，二者相加后x的系数为6，恰好是待求式x系数3的2倍；同理y的系数$2+6=8$，是待求式y系数4的2倍；z的系数$3+7=10$，是待求式z系数5的2倍。因此先将两个已知方程相加，再将得到的等式两边同时乘$\frac{1}{2}$，即可直接得到待求代数式的值。
【解析】
解：设$\begin{cases} x+2y+3z=10①, \\ 5x+6y+7z=26②, \end{cases}$
①+②，得 $6x + 8y + 10z = 36$ ③，
将③两边同时乘$\dfrac{1}{2}$，得 $3x + 4y + 5z = 18$。
所以$3x + 4y + 5z$的值为18。
【答案】
18
【知识点】
整体代入求值，三元一次方程组变形，代数式求值
【点评】
本题是整体思想在方程组求值中的典型应用，解题关键是观察待求式与已知方程的系数关系，通过对已知方程进行加减变形，无需逐个求解未知数即可快速得到结果，有助于培养学生的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
9. 如图5-5-1，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字。它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别为前缀部分、制造厂商代码、商品代码和校验码。
图5-5-1
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性。它的编制是按照特定的算法得来的。其算法为：
步骤1:计算前12位数字中偶数位数字的和$a$，即$a=9+1+3+5+7+9=34$；
步骤2:计算前12位数字中奇数位数字的和$b$，即$b=6+0+2+4+6+8=26$；
步骤3:计算$3a$与$b$的和$c$，即$c=3×34+26=128$；
步骤4:取大于或等于$c$且为10的整数倍的最小数$d$，即$d=130$；
步骤5:计算$d$与$c$的差就是校验码$x$，即$x=130-128=2$。
请根据以上信息，解答下列各题:
(1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字的和$b=31$，计算步骤中的$d=140$，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字的和$a=$
(2)如图5-5-2，若条形码中被污染的两个数字的和是7，则被污染的两个数字中右边的数字是多少?
图5-5-2
图5-5-1
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性。它的编制是按照特定的算法得来的。其算法为：
步骤1:计算前12位数字中偶数位数字的和$a$，即$a=9+1+3+5+7+9=34$；
步骤2:计算前12位数字中奇数位数字的和$b$，即$b=6+0+2+4+6+8=26$；
步骤3:计算$3a$与$b$的和$c$，即$c=3×34+26=128$；
步骤4:取大于或等于$c$且为10的整数倍的最小数$d$，即$d=130$；
步骤5:计算$d$与$c$的差就是校验码$x$，即$x=130-128=2$。
请根据以上信息，解答下列各题:
(1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字的和$b=31$，计算步骤中的$d=140$，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字的和$a=$
34
；(2)如图5-5-2，若条形码中被污染的两个数字的和是7，则被污染的两个数字中右边的数字是多少?
图5-5-2
答案
9. (1) 34
(2)解:设被污染的两个数字中右边的数字是y,则左边被污染的数字是7−y。因为校验码是9,所以d−c=9,所以d=c+9。又d是10的倍数,所以c+9是10的倍数,即c的个位数字是1。因为前12位数字中奇数位数字的和b=6+1+7−y+1+2+4=21−y,前12位数字中偶数位数字的和a=9+9+2+y+3+5=y+28,3a+b=c,所以3(y+28)+21−y=c,所以c=2y+105。因为c的个位数字是1,所以2y+105的个位数字是1,所以2y的个位数字是6,所以y是3或8。若y是8,则7−8=−1,不符合题意,所以y=3,此时7−3=4,符合题意,所以被污染的两个数字中右边的数字是3。
(2)解:设被污染的两个数字中右边的数字是y,则左边被污染的数字是7−y。因为校验码是9,所以d−c=9,所以d=c+9。又d是10的倍数,所以c+9是10的倍数,即c的个位数字是1。因为前12位数字中奇数位数字的和b=6+1+7−y+1+2+4=21−y,前12位数字中偶数位数字的和a=9+9+2+y+3+5=y+28,3a+b=c,所以3(y+28)+21−y=c,所以c=2y+105。因为c的个位数字是1,所以2y+105的个位数字是1,所以2y的个位数字是6,所以y是3或8。若y是8,则7−8=−1,不符合题意,所以y=3,此时7−3=4,符合题意,所以被污染的两个数字中右边的数字是3。
解析
【分析】
（1）第一问可逆向运用校验码的计算规则求解：首先根据“校验码$x=d-c$”求出$c$的值，再代入公式$c=3a+b$，结合已知的$b$的值，即可计算出$a$。
（2）第二问先设右边被污染的数字为$y$，根据两数和为7可得左边数字为$7-y$；再分别计算前12位的偶数位和$a$、奇数位和$b$，代入$c=3a+b$得到$c$关于$y$的表达式；结合校验码为9，可知$d=c+9$是10的倍数，即$c$的个位数字为1，据此推导$y$的可能取值，最后结合数字为0~9的非负整数排除不符合的解即可。
【解析】
（1）根据校验码的计算规则，校验码$x=d-c$，已知$x=7$，$d=140$，因此：
$c=d-x=140-7=133$
又因为$c=3a+b$，且$b=31$，代入得：
$3a+31=133$
解得$3a=102$，即$a=34$。
（2）设被污染的两个数字中右边的数字是$y$，则左边被污染的数字是$7-y$。
已知校验码是9，由$x=d-c$得$d=c+9$，因为$d$是10的整数倍，因此$c+9$是10的倍数，即$c$的个位数字为1。
计算前12位奇数位数字的和$b$：$b=6+1+(7-y)+1+2+4=21-y$
计算前12位偶数位数字的和$a$：$a=9+9+2+y+3+5=y+28$
代入$c=3a+b$得：
$c=3(y+28)+(21-y)=3y+84+21-y=2y+105$
因为$c$的个位数字是1，105的个位是5，所以$2y$的个位数字为$11-5=6$，因此$y$可取3或8。
若$y=8$，则左边数字为$7-8=-1$，不符合数字为非负整数的要求，舍去；
若$y=3$，则左边数字为$7-3=4$，符合题意。
因此被污染的两个数字中右边的数字是3。
【答案】
(1) 34；(2) 3
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的应用，整数的性质
【点评】
本题以生活中常见的商品条形码校验规则为背景，考查对新定义规则的理解和运用能力，解题的关键是严格按照给定的计算步骤逐步推导，同时注意数字的取值范围为0~9的非负整数，即可排除错误解得到正确结果。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可逆向运用校验码的计算规则求解：首先根据“校验码$x=d-c$”求出$c$的值，再代入公式$c=3a+b$，结合已知的$b$的值，即可计算出$a$。
（2）第二问先设右边被污染的数字为$y$，根据两数和为7可得左边数字为$7-y$；再分别计算前12位的偶数位和$a$、奇数位和$b$，代入$c=3a+b$得到$c$关于$y$的表达式；结合校验码为9，可知$d=c+9$是10的倍数，即$c$的个位数字为1，据此推导$y$的可能取值，最后结合数字为0~9的非负整数排除不符合的解即可。
【解析】
（1）根据校验码的计算规则，校验码$x=d-c$，已知$x=7$，$d=140$，因此：
$c=d-x=140-7=133$
又因为$c=3a+b$，且$b=31$，代入得：
$3a+31=133$
解得$3a=102$，即$a=34$。
（2）设被污染的两个数字中右边的数字是$y$，则左边被污染的数字是$7-y$。
已知校验码是9，由$x=d-c$得$d=c+9$，因为$d$是10的整数倍，因此$c+9$是10的倍数，即$c$的个位数字为1。
计算前12位奇数位数字的和$b$：$b=6+1+(7-y)+1+2+4=21-y$
计算前12位偶数位数字的和$a$：$a=9+9+2+y+3+5=y+28$
代入$c=3a+b$得：
$c=3(y+28)+(21-y)=3y+84+21-y=2y+105$
因为$c$的个位数字是1，105的个位是5，所以$2y$的个位数字为$11-5=6$，因此$y$可取3或8。
若$y=8$，则左边数字为$7-8=-1$，不符合数字为非负整数的要求，舍去；
若$y=3$，则左边数字为$7-3=4$，符合题意。
因此被污染的两个数字中右边的数字是3。
【答案】
(1) 34；(2) 3
【知识点】
新定义运算，一元一次方程的应用，整数的性质
【点评】
本题以生活中常见的商品条形码校验规则为背景，考查对新定义规则的理解和运用能力，解题的关键是严格按照给定的计算步骤逐步推导，同时注意数字的取值范围为0~9的非负整数，即可排除错误解得到正确结果。
【难度系数】
0.7
