1. 已知一个正整数满足以下条件:除以3余2，除以5余4，除以7余3，满足条件的最小正整数是()。

A.23
B.38
C.59
D.86

1. C

【分析】
本题是求同时满足多个带余除法条件的最小正整数，可采用两种思路解题：一是逐步满足法，先找到满足前两个条件的数的通用表达式，再结合第三个条件筛选出最小正整数；二是代入排除法，直接将选项依次验证三个条件，快速锁定正确答案，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：逐步满足法
1. 分析前两个条件：一个数除以3余2，说明该数加1后是3的倍数；除以5余4，说明该数加1后是5的倍数，因此这个数加1是3和5的公倍数。
2. 3和5的最小公倍数是15，因此满足前两个条件的数可表示为$15k - 1$（$k$为正整数）。
3. 结合第三个条件“除以7余3”，即$15k -1$除以7余3。由于$15÷7=2······1$，因此$15k$除以7的余数等于$k$除以7的余数，可得$k -1$除以7余3，最小的正整数$k=4$。
4. 代入得：$15×4 -1=59$，验证$59÷7=8······3$，符合所有条件。
方法二：代入排除法
依次验证各选项：
A选项23：$23÷7=3······2$，不符合除以7余3，排除；
B选项38：$38÷5=7······3$，不符合除以5余4，排除；
C选项59：$59÷3=19······2$，$59÷5=11······4$，$59÷7=8······3$，全部符合条件；
D选项86：数值大于59，不是最小的符合条件的数，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.带余除法 2.公倍数的应用 3.排除法解题
【点评】
本题是余数问题的基础题型，既可以通过推导逐步锁定符合条件的数，也可以结合选择题的特点用代入法快速求解，掌握不同解题思路可以提升解题的灵活性和效率。
【难度系数】
0.7

2. 幻方，中国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。如图5-6-1所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则$2x + y$的值为。

2. 20

【分析】
解题时首先利用幻方“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”的性质，先找含公共未知数的两组和建立等量关系，先消去x求出y的值，再代入另一组等量关系求出x的值，最后代入代数式计算2x+y即可。
【解析】
解：根据幻方的性质，所有行、列、对角线上的三个数之和相等。
1. 求y的值：
第一行的和与左上到右下对角线的和相等，列方程：
$x + 1 + y = x + 5 + \frac{1}{2}y$
两边同时消去x，整理得：
$\frac{1}{2}y = 4$，解得$y=8$。
2. 求x的值：
第一行的和与第三列的和相等，将$y=8$代入列方程：
$x + 1 + 8 = 8 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}×8$
化简整理得：
$\frac{1}{2}x = 3$，解得$x=6$。
3. 计算$2x+y$的值：
将$x=6,y=8$代入得：
$2x+y=2×6 + 8=20$。
【答案】
20
【知识点】
幻方的性质、解一元一次方程、代数式求值
【点评】
本题核心是利用幻方的等和性质建立方程，解题关键是找准合适的等量关系，消元求解未知数，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7

3. 根据以下素材，探索完成任务。
如何设计采购方案？
素材1 某学校举办“迎新年”知识竞赛活动，为了鼓励学生参与，特设奖励书签和保温杯，已知1个保温杯的售价比1个书签的售价高20元。
素材2 小明在商店购买了1个书签与4个保温杯共花费130元。
素材3 已知书签的进价为5元/个，保温杯的进价为18元/个。为了促销，阳光商店对保温杯进行八折销售。临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在阳光商店同时购买同款保温杯和书签两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额。
问题解决
任务1 (1)假设书签的售价为x元/个，保温杯的售价为y元/个，请用含x的代数式表示y。
任务2 (2)基于任务1的假设和素材1,2的条件，请尝试求出保温杯和书签的售价。(请用二元一次方程组解答)
续表
任务3 (3)请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案。在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高？

3. 解:(1)$y=x+20$ 或 $y=\dfrac{130-x}{4}$。
(2)根据题意得$\begin{cases} y=x+20, \\ y=\dfrac{130-x}{4}, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=10, \\ y=30, \end{cases}$
所以保温杯的售价为30元/个,书签的售价为10元/个。
(3)设购买保温杯m个,书签n个,根据题意得 $30×0.8m+10n=600$,
整理得 $n=60-\dfrac{12}{5}m$,
因为m,n是正整数,
所以$\begin{cases} m=5, \\ n=48 \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=36 \end{cases}$或$\begin{cases} m=15, \\ n=24 \end{cases}$或$\begin{cases} m=20, \\ n=12, \end{cases}$
所以可行的购买方案有4种。
因为保温杯每个利润为$30×0.8-18=6$(元),书签每个利润为$10-5=5$(元),所以
①购买保温杯5个,书签48个,商家获利270元;
②购买保温杯10个,书签36个,商家获利240元;
③购买保温杯15个,书签24个,商家获利210元;
④购买保温杯20个,书签12个,商家获利180元。
其中购买保温杯5个,书签48个商家获利最高。

【分析】
1. 任务1：根据素材1“1个保温杯售价比1个书签高20元”，可直接得到y关于x的表达式；再结合素材2“1个书签和4个保温杯共花费130元”，整理后也能得到y关于x的另一个表达式。
2. 任务2：将任务1得到的两个等量关系联立为二元一次方程组，用代入消元法求解，即可得到两种商品的售价。
3. 任务3：先计算保温杯打八折后的实际售价，根据总销售额600元列出关于购买保温杯数量m、书签数量n的二元一次方程，结合m、n均为正整数的要求，找出所有符合条件的正整数解，得到全部可行采购方案；再分别计算每个方案的商家利润，对比后得出获利最高的方案。
【解析】
(1) 由素材1的数量关系可得：$ y = x + 20 $；
由素材2的数量关系得$ x + 4y = 130 $，整理得：$ y = \dfrac{130 - x}{4} $。
(2) 联立两个等量关系得到方程组：
$\begin{cases} y = x + 20 \\ y = \dfrac{130 - x}{4} \end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$ x + 20 = \dfrac{130 - x}{4} $，
两边同乘4得：$ 4x + 80 = 130 - x $，
移项合并同类项得：$ 5x = 50 $，解得$ x = 10 $，
将$ x = 10 $代入$ y = x + 20 $，得$ y = 30 $。
(3) 设购买保温杯$ m $个，书签$ n $个，保温杯八折后售价为$ 30×0.8=24 $元/个，根据总销售额为600元列方程：
$ 24m + 10n = 600 $，整理得$ n = 60 - \dfrac{12}{5}m $。
因为$ m,n $均为正整数，所以$ m $为5的正整数倍，且$ 60 - \dfrac{12}{5}m ＞ 0 $，即$ m ＜ 25 $，
因此$ m $可取5、10、15、20，对应$ n $的值为48、36、24、12，即可行方案共4种。
计算单个商品利润：保温杯单个利润为$ 24 - 18 = 6 $元，书签单个利润为$ 10 - 5 = 5 $元，各方案利润分别为：
① 购买保温杯5个、书签48个：$ 5×6 + 48×5 = 270 $元；
② 购买保温杯10个、书签36个：$ 10×6 + 36×5 = 240 $元；
③ 购买保温杯15个、书签24个：$ 15×6 + 24×5 = 210 $元；
④ 购买保温杯20个、书签12个：$ 20×6 + 12×5 = 180 $元。
对比可知购买保温杯5个、书签48个时商家获利最高。
【答案】
(1) $ y=x+20 $ 或 $ y=\dfrac{130-x}{4} $
(2) 书签售价为10元/个，保温杯售价为30元/个
(3) 可行购买方案有4种：①保温杯5个，书签48个；②保温杯10个，书签36个；③保温杯15个，书签24个；④保温杯20个，书签12个；其中购买保温杯5个、书签48个的方案商家获利最高。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程正整数解，销售利润计算
【点评】
本题结合生活中的采购场景，考查了方程类知识点在实际问题中的应用，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合正整数的要求，同时要熟练掌握销售额、利润相关的等量关系，能有效提升学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65

4. 某商场出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价90元。
(1)若商场用31 000元购进这两种商品，销售完共获利12 000元。求商场购进这两种商品各多少件；
(2)若商场要购进这两种商品共400件，设购进甲种商品a件，销售完这两种商品的总利润为w元，求w与a的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)，并指出购进甲种商品的件数a逐渐增加时，利润w是增加还是减少？

4. 解:(1)设商场购进甲种商品x件,乙种商品y件,根据题意得
$\begin{cases} 50x+70y=31\ 000, \\ (80-50)x+(90-70)y=12\ 000, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=200, \\ y=300, \end{cases}$
所以商场购进甲种商品200件,乙种商品300件。
(2)由题意得 $w=(80-50)a+(90-70)(400-a)=10a+8\ 000$,
因为$k=10＞0$,
所以当购进甲种商品的件数a逐渐增加时,利润w也逐渐增加。

【分析】
(1)本题属于购物获利的实际应用问题，可通过建立二元一次方程组求解。解题时先明确两个等量关系：一是购进甲、乙两种商品的总进价为31000元；二是销售完两种商品的总利润为12000元。设购进甲商品x件、乙商品y件，将等量关系转化为方程组即可求解。
(2)本题考查一次函数的实际应用，总利润等于甲商品总利润加乙商品总利润。已知购进甲商品a件，则乙商品购进(400-a)件，结合单件利润可写出w与a的函数关系式，再根据一次函数的系数正负即可判断w随a的变化趋势。
【解析】
(1)设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 50x+70y=31000 \\ (80-50)x+(90-70)y=12000 \end{cases}$
化简求解得：
$\begin{cases} x=200 \\ y=300 \end{cases}$
(2)已知购进甲种商品a件，则购进乙种商品(400-a)件，根据总利润公式可得：
$w=(80-50)a+(90-70)(400-a)$
化简得：$w=10a+8000$
因为一次项系数$k=10＞0$，所以w随a的增大而增大，即购进甲种商品的件数a逐渐增加时，利润w逐渐增加。
【答案】
(1)购进甲种商品200件，乙种商品300件；
(2)$w=10a+8000$，购进甲种商品的件数a逐渐增加时，利润w逐渐增加。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题结合商场销售的实际场景，考查方程与函数的基础应用，解题的核心是准确提取题干中的等量关系列方程或函数解析式，同时熟练掌握一次函数增减性的判断方法，是应用题中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 用“逐步确定”策略解决问题:若四位数$\overline{3m2n}$能被15整除,则这个数最大是多少?
【理解问题】一个数能被15整除,需要同时满足:条件1“能被5整除”;条件2“①”。
【拟定计划】先考虑满足条件②(填“1”或“2”),由此可知③;在③的基础上考虑满足条件④(填“1”或“2”),由此可知⑤;在⑤的基础上可以确定这个数的最大值为⑥。
【实施计划】补全以上6个空格。
【回顾反思】你认为分析解决问题时,应如何使用“逐步确定”策略?

5. ①能被3整除 ②1 ③$n=0$或5 ④2 ⑤当$n=0$时,$m$可以是1,4,7;当$n=5$时,$m$可以是2,5,8 ⑥3 825
分析解决问题时,应先将问题分解为多个小的条件或步骤,然后按照一定的顺序,逐步满足每个条件或完成每个步骤,最终解决整个问题。

【分析】
要解决本题，首先明确能被15整除的数需同时满足能被3、5整除（因为15是3和5的最小公倍数）。使用逐步确定策略时，优先选择判断更简单、限制更少的条件先突破：被5整除仅需判断个位，比被3整除需要计算全数位和更简便，因此先根据被5整除的特征确定n的取值范围，再根据被3整除的特征确定m的取值范围，最后结合“求最大四位数”的要求，优先让高位的m取最大值，即可得到最终结果。
【解析】
1. 能被15整除的数需同时具备被5、3整除的特性，因此①处填“能被3整除”；
2. 优先处理判断难度更低的条件，因此先考虑条件1（能被5整除），②处填“1”；
3. 个位是0或5的数能被5整除，因此③处填“$n=0$或5”；
4. 确定n的取值后，再满足被3整除的要求，即考虑条件2，④处填“2”；
5. 能被3整除的数各数位之和是3的倍数，这个四位数的数位和为$3+m+2+n=5+m+n$，需为3的倍数：
当$n=0$时，$5+m$是3的倍数，m为0~9的整数，可得m可取1、4、7；
当$n=5$时，$10+m$是3的倍数，可得m可取2、5、8；
因此⑤处填上述结论；
6. 要让四位数最大，需让高位的m尽可能大：n=5时m最大取8，对应数为3825；n=0时m最大取7，对应数为3720，3825更大，因此⑥处填“3825”。
回顾反思：使用逐步确定策略时，需先把复杂问题拆解为多个独立的小条件，按先易后难的顺序逐个满足，每一步缩小未知量的取值范围，最终得到符合所有要求的结果。
【答案】
①能被3整除；②1；③$n=0$或5；④2；⑤当$n=0$时,$m$可以是1,4,7;当$n=5$时,$m$可以是2,5,8；⑥3825
分析解决问题时,应先将问题分解为多个小的条件或步骤,然后按照一定的顺序,逐步满足每个条件或完成每个步骤,最终解决整个问题。
【知识点】
能被3、5整除的数的特征；公倍数的应用；最值求解
【点评】
本题考察整除特征与逐步确定策略的结合应用，解题时先易后难拆解多限制条件，既能降低解题难度，也能避免漏解，是处理多约束最值问题的常用思路。
【难度系数】
0.7