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9.【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具。如图5-4-13，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易的计时装置。
【实验操作】
综合实践小组设计了如下实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，打开节流阀后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表5-4-2所示：
表5-4-2
任务1:(1)分别计算表中每隔10 min甲容器中水面高度的变化量，你能得出什么结论？
【建立模型】
小组讨论发现：“$t＝0$，$h＝30$”是初始状态下的准确数据，接着甲容器中的水面高度随着流水时间的变化而变化。
任务2:(2)请利用表中数据求甲容器中的水面高度$h$关于流水时间$t$的函数表达式。
【模型应用】
综合实践小组利用建立的模型，预测了后续甲容器中水面高度。
任务3:(3)当流水时间为2 h时，求甲容器中水面高度$h$的值。
【设计刻度】
综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间。
任务4:(4)请你简要写出时间刻度的设计方案。
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具。如图5-4-13，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易的计时装置。
【实验操作】
综合实践小组设计了如下实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，打开节流阀后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表5-4-2所示：
表5-4-2
任务1:(1)分别计算表中每隔10 min甲容器中水面高度的变化量，你能得出什么结论？
【建立模型】
小组讨论发现：“$t＝0$，$h＝30$”是初始状态下的准确数据，接着甲容器中的水面高度随着流水时间的变化而变化。
任务2:(2)请利用表中数据求甲容器中的水面高度$h$关于流水时间$t$的函数表达式。
【模型应用】
综合实践小组利用建立的模型，预测了后续甲容器中水面高度。
任务3:(3)当流水时间为2 h时，求甲容器中水面高度$h$的值。
【设计刻度】
综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间。
任务4:(4)请你简要写出时间刻度的设计方案。
答案
9. 解:(1)根据题表中的数据可知,每隔 10 min 甲容器中水面高度的变化量为 29-30=-1(cm),28-29=-1(cm),27-28=-1(cm),26-27=-1(cm),
结论:每隔 10 min 甲容器中水面高度的变化量为定值-1 cm。
(2)设甲容器中水面高度 h 关于流水时间 t 的函数表达式为 h=kt+b,
因为 t=0 时,h=30,t=10 时,h=29,所以 $\begin{cases}b=30,\\10k+b=29,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-0.1,\\b=30,\end{cases}$ 所以甲容器中水面高度 h 关于流水时间 t 的函数表达式为 h=-0.1t+30。
(3)2 h=120 min,把 t=120 代入 h=-0.1t+30 得 h=-0.1×120+30=18,
所以当流水时间为 2 h 时,甲容器中水面高度为 18 cm。
(4)在甲容器外壁每隔 1 cm 标记一次刻度,这样水面每降低一个刻度,就代表时间经过了 10 min。(答案不唯一)
结论:每隔 10 min 甲容器中水面高度的变化量为定值-1 cm。
(2)设甲容器中水面高度 h 关于流水时间 t 的函数表达式为 h=kt+b,
因为 t=0 时,h=30,t=10 时,h=29,所以 $\begin{cases}b=30,\\10k+b=29,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-0.1,\\b=30,\end{cases}$ 所以甲容器中水面高度 h 关于流水时间 t 的函数表达式为 h=-0.1t+30。
(3)2 h=120 min,把 t=120 代入 h=-0.1t+30 得 h=-0.1×120+30=18,
所以当流水时间为 2 h 时,甲容器中水面高度为 18 cm。
(4)在甲容器外壁每隔 1 cm 标记一次刻度,这样水面每降低一个刻度,就代表时间经过了 10 min。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要探究水面高度的变化规律，只需依次计算相邻10min间隔的水面高度差，观察差值是否恒定即可得出结论；
(2) 由(1)可知水面高度随时间均匀变化，符合一次函数特征，因此设函数为一次函数的一般形式$h=kt+b$，代入两组已知的$t、h$值，用待定系数法求解参数，验证其余数据符合后即可得到函数表达式；
(3) 先将2小时换算为分钟统一单位，再将$t$值代入(2)中求得的函数表达式，计算即可得到对应的水面高度；
(4) 根据得出的“高度每下降1cm对应时间经过10min”的规律，结合初始位置的对应关系即可设计时间刻度。
【解析】
(1) 计算每隔10min的水面高度变化量：
$29-30=-1\ \mathrm{cm}$，$28-29=-1\ \mathrm{cm}$，$27-28=-1\ \mathrm{cm}$，$26-27=-1\ \mathrm{cm}$
结论：每隔10min甲容器中水面高度的变化量为定值$-1\ \mathrm{cm}$。
(2) 设甲容器中水面高度$h$关于流水时间$t$的函数表达式为$h=kt+b$，
将$t=0$时$h=30$，$t=10$时$h=29$代入得：
$\begin{cases}b=30\\10k+b=29\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.1\\b=30\end{cases}$，其余已知数据代入均符合表达式，因此函数表达式为$h=-0.1t+30$。
(3) 先统一单位：$2\ \mathrm{h}=2×60=120\ \mathrm{min}$，
将$t=120$代入$h=-0.1t+30$得：
$h=-0.1×120+30=18\ \mathrm{cm}$。
(4) 方案示例：在甲容器外壁高度30cm处标记0min，之后每向下1cm依次标记10min、20min……直到高度0cm处标记300min即可。（答案合理即可）
【答案】
(1) 每隔10min甲容器中水面高度的变化量为定值$-1\ \mathrm{cm}$；
(2) $h=-0.1t+30$；
(3) $18\ \mathrm{cm}$；
(4) 在甲容器外壁每隔1cm标记一次刻度，水面每降低1个刻度代表时间经过10min（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；函数代入求值
【点评】
本题以我国古代传统计时工具“刻漏”为背景，将数学知识与实际生活应用结合，既考查了一次函数的基础知识点，也锻炼了学生用数学模型解决实际问题的能力，兼具文化性和实用性。
【难度系数】
0.8
(1) 要探究水面高度的变化规律，只需依次计算相邻10min间隔的水面高度差，观察差值是否恒定即可得出结论；
(2) 由(1)可知水面高度随时间均匀变化，符合一次函数特征，因此设函数为一次函数的一般形式$h=kt+b$，代入两组已知的$t、h$值，用待定系数法求解参数，验证其余数据符合后即可得到函数表达式；
(3) 先将2小时换算为分钟统一单位，再将$t$值代入(2)中求得的函数表达式，计算即可得到对应的水面高度；
(4) 根据得出的“高度每下降1cm对应时间经过10min”的规律，结合初始位置的对应关系即可设计时间刻度。
【解析】
(1) 计算每隔10min的水面高度变化量：
$29-30=-1\ \mathrm{cm}$，$28-29=-1\ \mathrm{cm}$，$27-28=-1\ \mathrm{cm}$，$26-27=-1\ \mathrm{cm}$
结论：每隔10min甲容器中水面高度的变化量为定值$-1\ \mathrm{cm}$。
(2) 设甲容器中水面高度$h$关于流水时间$t$的函数表达式为$h=kt+b$，
将$t=0$时$h=30$，$t=10$时$h=29$代入得：
$\begin{cases}b=30\\10k+b=29\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.1\\b=30\end{cases}$，其余已知数据代入均符合表达式，因此函数表达式为$h=-0.1t+30$。
(3) 先统一单位：$2\ \mathrm{h}=2×60=120\ \mathrm{min}$，
将$t=120$代入$h=-0.1t+30$得：
$h=-0.1×120+30=18\ \mathrm{cm}$。
(4) 方案示例：在甲容器外壁高度30cm处标记0min，之后每向下1cm依次标记10min、20min……直到高度0cm处标记300min即可。（答案合理即可）
【答案】
(1) 每隔10min甲容器中水面高度的变化量为定值$-1\ \mathrm{cm}$；
(2) $h=-0.1t+30$；
(3) $18\ \mathrm{cm}$；
(4) 在甲容器外壁每隔1cm标记一次刻度，水面每降低1个刻度代表时间经过10min（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；函数代入求值
【点评】
本题以我国古代传统计时工具“刻漏”为背景，将数学知识与实际生活应用结合，既考查了一次函数的基础知识点，也锻炼了学生用数学模型解决实际问题的能力，兼具文化性和实用性。
【难度系数】
0.8
